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第三章空间向量与立体几何 3 2立体几何中的向量方法 第2课时空间向量与垂直关系 1 理解线面的位置关系与向量的联系 2 能用向量语言表述线线 线面 面面的垂直关系 新知视界1 空间垂直关系的向量表示 2 空间中垂直关系的证明方法 答案 b 2 若直线l的方向向量为a 1 0 2 平面 的法向量为u 2 0 4 则 a l b l c l d l与 斜交答案 b 3 平面 的一个法向量为 1 2 0 平面 的一个法向量为 2 1 0 则平面 和平面 的位置关系是 a 平行b 相交但不垂直c 垂直d 重合答案 c 4 如图1 正方体abcd a1b1c1d1中 平面a1acc1的一个法向量可以是 图1 图2 证明 设ab中点为o 作oo1 aa1 以o为坐标原点 建立如图5所示的空间直角坐标系 点评 将线线垂直问题转化为向量垂直问题后 可以选择基向量法也可用坐标法 熟练掌握证明线线垂直的向量方法是关键 迁移体验1已知正三棱柱abc a1b1c1的各棱长都为1 若侧棱c1c的中点为d 求证 ab1 a1d 类型二证明线面垂直 例2 如图7所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是bb1 d1b1的中点 求证 ef 平面b1ac 分析 利用线面垂直的判定定理 即只需证ef垂直于平面b1ac中的两条相交直线 也可以利用直线ef的方向向量与平面b1ac的法向量平行 证明 法一 设正方体的棱长为2 以d为原点 以da dc dd1所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立如图8所示的空间直角坐标系 则a 2 0 0 c 0 2 0 b1 2 2 2 e 2 2 1 f 1 1 2 迁移体验2在正方体abcd a1b1c1d1中 p为dd1的中点 o为底面abcd的中心 求证 ob1 平面pac 证明 如图9 建立空间直角坐标系 不妨设正方体棱长为2 则a 2 0 0 p 0 0 1 c 0 2 0 b1 2 2 2 o 1 1 0 又ad aa1 a bc 平面ada1 而bc 平面bcc1b1 平面a1ad 平面bcc1b1 迁移体验3在正方体abcd a1b1c1d1中 e为cc1的中点 证明 平面b1ed 平面b1bd n1 1 1 2 同理求得平面b1bd的法向量为n2 1 1 0 由n1 n2 0 知n1 n2 平面b1ed 平面b1bd 思悟升华空间中的垂直关系主要是指 线线垂直 线面垂直 面面垂直 1 线线垂直设直线l1 l2的方向向量分别是a b 则要证明l1 l2 只需证明a b 即a b 0 2 线面垂直 1 设直线l的方向向量是a 平面 的法向量是u 则要证l 只需证明a u 2 根据线面垂直的判定定理 转化为直线与平面内的两条相交直线垂直 即 设a b在平面 内 或与平面 平行 且a与b不共线 直线l的方向向量为c 则l c a且c b
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