高考数学一轮总复习 第八章 第2节 圆与方程课件.ppt

第八章平面解析几何 第2节圆与方程 1 掌握确定圆的几何要素 掌握圆的标准方程与一般方程 2 能根据给定直线 圆的方程 判断直线与圆的位置关系 能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系 3 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题 4 初步了解用代数方法处理几何问题的思想 要点梳理 1 圆的定义与方程 1 圆的定义在平面内 到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 2 圆的方程 质疑探究1 圆的一般方程中为何限制d2 e2 4f 0 2 点a x0 y0 与 c的位置关系 1 ac r 点a在圆内 x0 a 2 y0 b 2 r2 2 ac r 点a在圆上 x0 a 2 y0 b 2 r2 3 ac r 点a在圆外 x0 a 2 y0 b 2 r2 3 直线与圆的位置关系把直线的方程与圆的方程组成的方程组转化为一元二次方程 其判别式为 设圆心到直线的距离为d 圆的半径为r 位置关系列表如下 5 圆与圆的位置关系 o1 o2半径分别为r1 r2 d o1o2 质疑探究2 两圆相交时 公共弦所在直线方程与两圆的方程有何关系 提示 两圆的方程作差消去二次项得到的关于x y的二元一次方程 就是公共弦所在直线的方程 基础自测 1 直线x y 1 0与圆 x 1 2 y2 1的位置关系是 a 相切b 相交 且直线过圆心c 直线不过圆心 但与圆相交d 相离 解析 由方程知x2 y2 2mx 2y 3m 5 0 由方程表示圆的条件得4m2 4 12m 20 0 解得m 4或m 1 故选d 答案 d 3 圆c1 x2 y2 2x 2y 2 0与圆c2 x2 y2 4x 2y 1 0的公切线有且仅有 a 1条b 2条c 3条d 4条 得 x0 x y0y r2 而两圆相交于a b两点 故直线ab的方程是x0 x y0y r2 答案 5 若圆x2 y2 1与直线y kx 2没有公共点 则实数k的取值范围为 典例透析 思路点拨 1 由圆过a b两点得圆心在线段ab的中垂线上 结合已知即可求出圆心和半径 也可直接利用待定系数法求解 2 设出圆的一般方程 利用待定系数法求解 或者将圆在y轴上截得的线段长转化为圆心到直线的距离 从而根据 1 的求解思路求其方程 拓展提高1 求圆的方程的两种方法 1 直接法 根据圆的几何性质 直接求出圆心坐标和半径 进而写出方程 2 待定系数法 若已知条件与圆心 a b 和半径r有关 则设圆的标准方程 依据已知条件列出关于a b r的方程组 从而求出a b r的值 若已知条件没有明确给出圆心或半径 则选择圆的一般方程 依据已知条件列出关于d e f的方程组 进而求出d e f的值 2 确定圆心位置的方法 1 圆心在过切点且与切线垂直的直线上 2 圆心在圆的任意弦的垂直平分线上 3 两圆相切时 切点与两圆圆心共线 提醒 解答圆的有关问题 应注意数形结合 充分运用圆的几何性质 活学活用1 1 求经过p 2 4 q 3 1 两点 并且在x轴上截得的弦长等于6的圆的方程 2 求圆心在直线y 4x上 且与直线l x y 1 0相切于点p 3 2 的圆的方程 2 把y x看作过圆上动点 x y 的直线y x b的截距b 由数形结合求出截距b的最大值 最小值 3 x2 y2看作原点 0 0 圆上点 x y 两点间距离的平方 2 形如t ax by型的最值问题 可转化为动直线的截距的最值问题 3 形如 x a 2 y b 2型的最值问题 可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题 解得m 1或m 2 综上所述 当m 5或m 1或m 2时 圆c1与圆c2相切 故填 2或 5或 1 拓展提高线与圆的位置关系及应用的常见题型与求解策略 提醒 注意圆上的点的纵横坐标都有取值范围 考向四与圆有关的轨迹问题例4 2015 昆明模拟 设定点m 3 4 动点n在圆x2 y2 4上运动 以om on为邻边作平行四边形monp 则点p的轨迹为 拓展提高求与圆有关的轨迹问题的四种方法 活学活用4已知直角三角形abc的斜边为ab 且a 1 0 b 3 0 则直角顶点c的轨迹方程为 答案 x2 y2 2x 3 0 x 3且x 1 审题视角求解本题应先画出点p所在的平面区域 再画出点q所在的圆 最后利用几何意义将问题转化为圆上的点到定直线的距离的最值问题 即可求出 pq 的最小值 画出点p所在的平面区域 由点q在圆x2 y 2 2 1上 画出点q所在的圆 如图所示 方法点睛本题考查线性规划及圆 点到直线的距离等知识 并考查考生综合应用知识解决问题的能力 本题的突出特点就是将圆与线性规划问题有机地结合起来 为我们展现了数学知识相互交汇的新天地 求解时既要注意使用线性规划的基本思想 又要利用圆上各点的特殊性 实际上是对数形结合思想的提升 即利用线性或非线性函数的几何意义 通过作图来解决最值问题 思维升华 方法与技巧 1 确定一个圆的方程 需要三个独立条件 选形式 定参数 是求圆的方程的基本方法 是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式 进而确定其中的三个参数 3 过圆外一点 x0 y0 的圆的切线方程的求法 1 几何方法当斜率存在时 设为k 切线方程为y y0 k x x0 即kx y y0 kx0 0 由圆心到直线的距离等于半径 即可得出切线方程 2 代数方法设切线方程为y y0 k x x0 即y kx kx0 y0 代入圆方程 得一个关于x的一元二次方程 由 0 求得k 切线方程即可求出 4 两圆公共弦所在直线方程的求法 失误与防范 1 求圆的方程需要三个独立条件 所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程 2 过圆外一定点 求圆的切线 应该有两个结果 若只求出一个结果 应该考虑切线斜率不存在的情况 3 求圆的弦长问题 注意