差分方程模型的稳定性分析及其应用信息与计算科学毕业设计论文.doc

差分方程模型的稳定性分析及其应用差分方程模型的稳定性分析及其应用 The Stability Analysis and Application of the Differential Equation Model 专专 业 业 2011 信息与计算科学信息与计算科学 姓姓 名 名 郭甜甜郭甜甜 指指 导导 教教 师 师 申请学位级别 申请学位级别 学学 士士 论文提交日期 论文提交日期 2015 年年 5 月月 25 日日 学位授予单位 学位授予单位 天津科技大学天津科技大学 摘 要 本文首先对差分方程这一门课程进行全面深入的研究 了解差分方程的背 景 学习差分方程的理论知识 在此基础上对差分方程的稳定性进行学习 并研 究相应的数学模型 不仅使这一类常见问题更容易得到解决 更增加了人们的 实践经验 差分方程模型作为一种重要的数学模型可以使复杂的生活问题准确 形象地反映出来 并通过对结果的分析对问题进行评估与改善 我主要研究了五 个差分模型 分别为金融问题 其一贷款问题研究了欠款 利率 还款额等的 关系 其二养老保险问题研究了交保费 保险收益 利率等的关系 减肥计划 模型 此模型研究了节食与运动对维持体重的影响关系 制定了减肥方案并给 出了维持体重的办法 市场经济中的蛛网模型 通过产品的销售价格和生产产量 建立数学模型 在得出市场经济趋于稳定的条件 并且对结果进行分析 最后探 讨了在市场经济不稳定时政府能够采用的干预措施 人口控制与预测模型 研 究了人口总数的变化状况 军备力量模型 研究了军备力量参与预测战争时的 影响 在整个过程中 用MATLAB软件进行计算和画图 关键词 差分方程 稳定性 数学建模 MATLAB ABSTRACT This paper firstly gives a profound and systematic overview of the course of diff erential equation including its background and the related theories and uses these kn owledge as a basis to study the stability of the differential equations Then the study o f the related mathematical model is given which will not only make solving this kind of common problems easier but also provide more practical experience for future stu dies As an important mathematical model the differential equation can reflect the co mplicated problems in people s life both accurately and vividly And analyzing the out come of the differential equation will lead to the evaluation and improvement of the p roblem In this paper I mainly analyze five types of models by using differential equa tions the first one is the financial model which can be further divided into two parts the loan model which studies the relationship of the debt the interest rate the repaym ent and other related elements and the endowment insurance model which studies the relationship of the premium the insurance proceeds the interest rate and other related elements the second one is the weight loss plan model which studies the influence of diet and exercise on keeping fit and has created a plan to lose weight and keep fit the third one is the cobweb model in marke t economy which is created by taking into account the price and production volume of the product and whose outcome is studied after the condition in which the market eco nomy is heading to stability is achieved and then discusses about the measures the go vernment can take to enhance its intervention when the market is unstable the forth o ne is the population control and prediction model which studies the pattern of the vari ation in population the fifth one is the arms race model which studies the impact of ar ms race on predicting wars In the whole process I have used the software MATLAB to do calculation and drawings Key words differential calculation stability creating mathematic models MATLAB 目 录 1 基础知识 1 1 1 差分方程 1 1 2 MATLAB 介绍 3 1 3 数学建模 3 2 金融问题模型 5 2 1 贷款问题 5 2 2 养老保险模型 6 3 减肥计划模型 9 3 1 问题重述 9 3 2 问题分析 9 3 3 模型假设 9 3 4 符号说明 9 3 5 建立模型 9 4 蛛网模型 11 4 1 问题重述 12 4 2 问题分析 12 4 3 符号说明 12 4 4 蛛网模型 12 4 5 差分方程模型 14 4 6 干预办法 15 4 7 模型的推广 16 5 人口的预测与控制模型 18 5 1 问题重述 18 5 2 问题分析 18 5 3 建立模型 18 5 4 模型的扩展 20 6 军备力量模型 21 6 1 问题重述 21 6 2 问题分析 21 6 3 建立模型 21 结论 24 参考文献 25 致 谢 27 天津科技大学 2015 届本科生毕业论文 0 1 1 基础知识基础知识 差分方程表达的为有关离散变量的取值与变换的规律 它是根据所要解决 的问题 引进过程中或系统的离散变量 依照实际问题中背景的本质 规律 相关联系 写出离散变量符合的关系等式 进而建立差分方程 得到方程的解后 利用分析方程的解 或分析方程的解的某些特性 如稳定性 周期性等 进 而明确这些离散变量的变换进程的规律 然后再连同其他分析 从而得到原问 题的解 1 1 差分方程差分方程 差分方程的使用范围十分普遍 因为能够使离散变量的逼近与近似来表示 连续变量 所以许多模型就可以类似于差分方程模型来解决 所以差分方法既可 以在建立离散的数学模型进程中使用 也可以在连续模型化为离散模型的数值 计算中广泛的使用 一般来说 但凡涉及到有关变量的规律 本质 便能够使用 差分方程模型去表达与分析求解 1 1 1 差分方程的概念 差分 对于数列 称在处的前向差分为差分算子 n x n xn 并且称在处的后向差分为差分算子 本文皆 n xxx nn 1n xn 1 n xxx nn 是只前向差分 可知是关于的函数 n xn 进而可以定义为处的二阶差分为的差分 它反映的为n n x nn xx 2 量的增量 同理可以定义为处的阶差分 n k n k xx 1 nk 差分方程 由某个函数多个不同时期值的符号或者某个函数的差分组成的 方程称为差分方程 其中大多形式为 0 2 x n xxx yyyyxF 或 0 21 nxxxx yyyyxG 或 0 21 nxxxx yyyyxH 通过差分方程的性质和定义能够知道 各种表达形式的差分方程能够互相 变换 各自相通 差分方程的解 若将某函数代入差分方程 让方程两边相等 那么就称此 函数为差分方程的解 要是差分方程的阶数与此方程的所有解中拥有互相独立 的任意常数的个数相同 那么就称此解释差分方程的通解 以便体现在变化过程 中某一事物的客观规律性 通常依据此事物在初始时刻所处情况 在差分方程 天津科技大学 2015 届本科生毕业论文 1 上添加一定的条件 称此为初始条件 若初始条件确定了通解中任意常数后 此解称之为差分方程的特解 1 1 1 2 差分方程常用解法 常系数线性差分方程的解 方程 1 110 nbxaxaxa nkknkn 1 其中是常数 则称方程 1 1 为常系数线性方程 并且称方程 k aaa 10 1 0 110 nkknkn xaxaxa 2 是方程 1 1 相对应的齐次方程 若 1 2 的解形式为 代近方程中可以得到 n n x 1 0 1 1 10 kk kk aaaa 3 则称方程 1 3 是方程 1 1 和 1 2 的特征方程 可见 只要能够得到方程 1 3 的根 就能够求出方程 1 2 的解 一般结果为 如果方程 1 3 存在个不相同的实根 那么方程 1 2 有通解 k n kk nn n cccx 2211 如果方程 1 3 存在重根 那么方程 1 2 通解可以表示为 m nm mn ncnccx 1 21 如果方程 1 3 存在两个单复根 记 i e 22 那么方程 1 2 通解可以表示为 arctan ncncx nn n sincos 21 如果方程 1 3 存在重复根 记 那么方程 1 2 通解m i e 可以表示为 nncnccnncnccx nm mmm nm mn sin cos 1 221 1 21 由上可知 由于方程 1 3 恰好有个根 所以方程 1 2 的通解定有个相kk 天津科技大学 2015 届本科生毕业论文 2 互独立的任意常数 记方程 1 2 的通解为 若可以得到方程 1 1 的一个 n X 特解 那么方程 1 1 定有通解 n x nnn xXx 差分方程的变换解法Z 在差分方程的左右取有关的变换 然后写出的变换 利用的变 n xZ kn x Z n xZ 换 最后利用求解代数方程的方法求出 同时将展开成洛朗级 zF zF zF 数在解析圆环域里 此系数即为所要求的 0 z n x 1 1 3 差分方程稳定性 阶常系数线性差分方程 1 1 稳定的充分必要条件为它所相应的特征方k 程 1 3 所有的特征根满足 1 ki i 2 1 1 i 一阶非线性差分方程 1 4 1nn xfx 的平衡点由方程所决定 展开为泰勒形式将在点处 因此 x xfx n xf x 当时 方程 1 4 的解是稳定的 1 xf x 当时 方程 1 4 的平衡点是不稳定的 1 xf x 1 2 MATLAB 介绍介绍 MATLAB 为一个面向科学与工程计算的高级语言 一个具有超强能力的数 值计算和可视化特点的软件 相对于别的计算机软件 MATLAB 的运行方式与 人们计算公式时的思考方法非常类似 它编写程序的过程就如同人们在演算纸 上罗列出公式进行求解 这避免了较多的重复 繁琐的机械性的编写程序细节 把重点放在有创造性问题上 在最短的时间内得到更具价值的结果 MATLAB 具有许多特点 比如功能性强 容易学懂 效率高 应用面广泛 操作简单 节约时间等 MATLAB 不仅简单好用 而且数据和图像处理能力很 是强大并且可以完成数值分析 管理与调度优化计算 通讯系统设计与仿真 工程与科学绘图等众多功能 现在 MATLAB 已经演变成为一种大型软件应用在 多科学 多工作平台 被各个国家所接收和认可并在一定程度上体现了国际上 计算机软件的总体水平 也成为了众多大学生应该熟练掌握的一项基本技能 本 文在研究进程中将会使用到制作图像和求解功能 1 3 数学建模数学建模 数学建模是通过数学的知识和思想来简单清晰的表示现实问题中的重点方 天津科技大学 2015 届本科生毕业论文 3 面 以此完成现实中的问题 即通过使用各种数学办法来完成现实问题 数学 建模是一个模拟过程 它是用程序 图像 数学的公式等对实际问题进行抽象 假设 简化后用数学方式描述出来 它可以预料将来的进行情况 可以说明一 些客观存在的现象 也可以为有些现象的未来走向提供在特定环境中最合适的 方案或相对好的方法 数学模型建立不但要求对现实问题谨小慎微的分析和观察 而且要求熟练应用各个方面的数学知识 建立数学模型多数应有如下几个阶段 最开始应该明确研究的角色 目标 以及问题的类型是确定型还是随机型 把问题简单化后列出将要研究的因素 并把这些因素用参量和变量的方式表现出来 应用数学知识和方法表达出问题 中变量之间的联系 一般是列成数学表达式 进而建立了数学模型 通过各种 数学知识 数学软件等解出模型的解 把模型的结果转换为与实际问题相适应 的清晰易懂的语言 最后进行模型的检测与评估 天津科技大学 2015 届本科生毕业论文 4 2 2 金融问题模型金融问题模型 2 1 贷款问题贷款问题 2 1 1 问题重述 由于社会经济的飞速增长 人们生活水平的持续攀升 人们的经济需要更 加增多 越来越多的人尤其是工薪阶层需要通过贷款来实现一些经济活动 比如 买房 买车 向银行贷款等等 作为贷款人必须清楚贷款的整个运行过程 了解 每一个细节尤其是要知道还款方式是等额本息还款法 等额本金还款法或是等 本等息等额还款法亦或是其他方法 还应清楚贷款总额 各种还款方式每期应还 款额 贷款时间以及贷款利率等 2 1 2 问题分析 在日常生活中较为常用的就是等额本息还款法 因此在本文中只讨论此贷 款方法 等额本息还款法即为每期的所要还的钱数是一定的 而每期所还的本金 在逐渐增多 利息越来越少 将通过贷款总值 贷款时间 贷款利率 每期还款 额这些因素相互的联系建立模型 再通过数学的递推思想得出第期的欠款额 k 令欠款额为零时即可得到每期还款额的表达式 6 2 1 3 模型假设 贷款期间贷款利率一直不变 贷款人能如期偿还每期的还款额 贷款期间不考虑其他的经济问题影响 2 1 4 符号说明 贷款总额 0 A 贷款期限 以月计算 N 第个月的欠款额 k Ak0 N A 贷款月利率 R 每月还款额 x 2 1 5 建立模型 等额本息还款法中每月所还的钱应等于每月所还的本金加上每月利息 即 为 RAAAx kkk 1 则有第个月还款后欠款额 1 k xRAA kk 1 1 第 1 个月还款后欠款额 xRAA 1 01 天津科技大学 2015 届本科生毕业论文 5 第 2 个月还款后欠款额 xxRRAxRAA 111 2 012 第 3 个月还款后欠款额 xxRxRRAxRAA 1111 23 023 第个月还款后欠款额 k xxRxRRAxRAA kk kk 1 111 1 01 应用数学归纳法和等比级数求和公式可得 2 R R xRAA k k k 11 1 0 1 当到达最后期限即时 有 带入 2 1 式可得Nk 0 N A 2 11 1 0 N N R RRA x 2 2 2 式即为等额本息还款法中每月还款额 2 1 6 举例 买一辆 11 万元的汽车 首付 分 12 个月还完 年利率为 分别 30 57 6 用等额本息和等额本金还款法计算 并进行分析 贷款金额为元 月利率为 0 A 77000 301110000 R 12 0657 0 等额本息还款法 贷款期限为 12 个月 每月还款额为Nx 元 75 6696 1 12 0657 0 1 12 0657 0 12 0657 0 177000 11 1 12 12 0 N N R RRA x 所以还款总额元 其中总利息为 3361 元 803611275 6696 W 等额本金还款法 还款总额 元 24 7974077000 2 12 0657 0 1377000 2 1 0 0 A RNA W 其中总利息为 2740 24 元 由上可知 等额本金还款法所付的利息相对等额本息还款法要少些 并且还款 天津科技大学 2015 届本科生毕业论文 6 时间越长 利息差值越大 2 2 养老保险模型养老保险模型 2 2 1 问题重述 随着社会的不断发展 人们生活水平的持续攀升 人们平均寿命也有所增 加 以至于我国慢慢进入老龄化阶段 为了确保人们老年后的生活有所保障 使 得养老保险问题备受关注 现有一保险公司提出了一个养老保险策略 为投保人 每月缴费 200 元一直到 59 岁末 从 60 岁开始领取养老金 如果投保人从 25 岁 开始投保 那么 60 岁以后每月可得 2282 元养老金 如果投保人从 35 岁开始投 保 那么 60 岁以后每月可得 1056 元养老金 2 2 1 问题分析 本文要研究此保险公司每月至少要有多少投资收益率才能确保保险责任 即 保险公司为确保保险人的保险收益必需利用保险人所交的保费最少收获多少利 润 通过缴纳的保费和收益的总值 每月收益率 60 岁前每月缴费额 60 岁后 每月领取额 终止缴纳保险费与终止领取养老金的月份之间的关系建立数学模 型 2 1 3 模型假设 投保人能按期缴纳保险费 2 1 4 符号说明 截止到第个月所交保费和收益的总额 k Fk Mk 0 每月收益率 r 60 岁前每月缴费额 p 60 岁后每月领取额 q 停缴保险费的月份 N 停领养老金的月份 M 2 1 5 建立模型 在全部过程中 可知 2 3 MNkqrFF NkprFF kk kk 1 1 1 0 1 1 1 其中代表的是从投保人开始交保费月后算起的 k F 所要研究的是在第个月时 的数值为多少 若为正数 那么代表保M k F k F 险公司最终获 若为负数 那么代表保险公司最终亏损 若为零 那么代 k F k F 表保险公司最终一无所有 投保人最终获益 2 1 6 举例 某男子从 25 岁开始投保 假设男子活到 75 岁 所以 天津科技大学 2015 届本科生毕业论文 7 420 2282 200 Nqp 由 2 3 式可得 0 600 0 FM 2 4 MNkr r q rFF Nkr r p rFF NkNk k kk k 1 111 1 0 111 0 0 在 2 4 式中 分别取 可得MkNk 0111 p q r p q r NMM 设 利用 MATLAB 软件编写代码如下 rx 1 syms x F x 600 12 14 x 180 11 41 x solve F 由于一定大于 1 对众多的根进行分析可得 即求出每月收益x00485 1 x 率为 00485 0 r 用同样的方法也可求出 35 岁开始投保的每月收益率为 00461 0 r 天津科技大学 2015 届本科生毕业论文 8 3 3 减肥计划模型减肥计划模型 3 1 问题重述问题重述 在现代社会中 越来越多的人们尤其女性认为瘦是衡量美的一种重要标准 因此许多自感肥胖的人开始尝试用各种方法减肥 但是减肥药和节食等方法都 是存在安全隐患的 专家表明 想要在健康的条件下达到减肥的效果并且维持下 去 只有利用控制饮食和进行适当的运动 通常用体重指标 简记 来衡量BMI 体重 为体重 千克 除以身高 米 的平方 当时 体重BMI25 5 18 BMI 为正常 当时 体重为超重 当时 体重为肥胖 25 BMI30 BMI 3 2 问题分析问题分析 一般 但凡人体内的能量守恒被破坏就将会导致体重的变化 人们在饮食过 程中吸收热量 以至体重增加 人们又通过运动以及代谢消耗热量 以至体重 减少 当然减肥的前提是不伤害身体 所以要求每天吸收的热量不能过多 体重 减少的也不能过快了 由此就可以通过体重 吸收热量 消耗热量的关系建立数 学模型 3 3 模型假设模型假设 增加的体重与吸收的热量成正比 每吸收 8000 千卡热量体重增加 1 千 克 由代谢导致的体重减少与体重成正比 一般一公斤体重每周消耗 200 千卡到 320 千卡的热量 每人不同 即为一个 70 千克的人每天消耗 2000 千卡到 3200 千卡的热量 7 运动导致的体重减少与体重成正比 并且与运动的时间和形式相关 为保证身体的健康 一周内吸收的热量不能小于 10000 千卡 一周内体 重减少不能超过 1 5 千卡 3 4 符号说明符号说明 第周末体重 kwk 第周吸收的热量 kck 热量转换系数 每小时每千克体重运动消耗的热量 千卡 每周运动的时间 小时 t 代谢消耗系数 因人而异 1 天津科技大学 2015 届本科生毕业论文 9 运动消耗系数 2 3 5 建立模型建立模型 可知体重变化的方程为 3 2 1 0 11 21 kkwkckwkw 1 3 5 1 减肥计划的提出 现为一个具体的人制定减肥计划来探讨此模型的应用 某人高为 1 7 米 体重为 100 千克 现在每周平均吸收 20000 6 34 BMI 千卡热量 并保证体重不发生改变 现若让此人体重减到 75 千克并且保持下去 请依照以下三点制定减肥计划 当不进行任何运动时计划划分为两个阶段 第一阶段 每周控制饮食慢慢 减少吸收的热量 使每周体重减 1 千克 一直到所吸收热量的最低点 10000 千卡 第二阶段 每周吸收的热量维持在下限 直至达到减肥的 目标 在第二阶段添加运动以加速减肥速度 重新制定第二阶段方案 制定一个达到目标体重后保持体重的策略 3 5 2 减肥计划的制定 在不进行运动时 可知 已知千卡 千克 0 2 20000 c100 w 千克 千卡 由 5 1 式可得 8000 1 wcww 1 025 0 1008000 20000 1 w c 也就是每周每千克体重消耗千卡的热量 200 100 20000 第一阶段 需要每周体重减 1 千克 一直到所吸收的热量成为最低点 10000 千卡 可得 11 kwkw kwkw 0 带入 5 1 式可得 k wkwkc 1 0 1 1 1 再将带入上式 又因吸收热量的下限为 10000 千100 0 025 0 8000 1 w 卡 可得 10000200120001 kkc 说明第一阶段为 10 周 热量的吸收是依照 天津科技大学 2015 届本科生毕业论文 10 9 1 0 200120001 kkkc 使得每周体重减少 1 千克 到第 10 周末体重减为 90 千克 第二阶段 每周吸收的热量维持在下限 要将体重减到 75 千克 由 3 1 可得 3 ckwkw 1 1 2 对 5 2 式进行递推并用等比数列求和可得 3 cc kw ckwnkw n nn 1 1 1 1 1 1 3 将代入 3 3 可得90 75 10000 025 0 8000 1 kwnkwc 3 50 5090 975 0 75 n 4 19 975 0 lg 40 25 lg n 说明第二阶段为 19 周 在吸收的热量每周维持在 10000 千卡时 依照 减到目标体重 75 千克 依据查询资料可知每小时每千克体重各项运动消耗的热量如下 表 5 1 各项运动消耗的热量 运动跑步跳舞乒乓自行车 中速 游泳 min 50m 热量消耗 千卡 7 03 04 42 57 9 在第二阶段添加运动以加速减肥进程 其中 在此取 t 2 003 0 t 故 那么 3 4 式中的应改为 则 3 4 式为24 t 025 0 1 028 0 21 6 44 6 4490 975 0 75 n 天津科技大学 2015 届本科生毕业论文 11 说明如果在第二阶段增加的运动 如一周骑 10 小时自行车或跳 8 小时的24 t 舞蹈 那么第二阶段将会减为 14 周 若想达到目标后保持体重 那么要使每一周吸收的热量都维持某常数 c 并让体重维持不变 由 3 1 式可得 w cwcww 21 21 可得出 如果不运动 千卡 1500075025 0 8000 c 如果运动 千卡 1680075028 0 8000 c 4 4 蛛网模型蛛网模型 4 1 问题重述问题重述 在处于完全自由的经济市场里 许多商品的销售和生产明显表现出周期性 主要体现在 在一定时期里商品的生产产量 销售价格和销售量是稳定的 所 以这些经济数据在某个时期里是离散变量的形式 商品的销售价格和生产产量是 最为关注的两个因素 若要做好经营 获得较好的经济效益 必须掌握好这两 个经营过程中的最重要的因素 4 2 问题分析问题分析 由于本期产品的销售价格决定于消费者的需求关系 产品数量越少就会导 致价格越高 然而下一期产品的数量决定于供应关系 产品的价格越高生产的数 量就越多 市场经济中的产品数量与价格产生的振荡决定于这种供求关系 事实上 存在各种形式的振荡 既有可能振幅越来越小直至趋于平稳 也有可能振幅越 来越大 此时若没没有外界的干预 如政府 极有可能致使经济崩溃 通过产品的销售价格和生产产量建立数学模型 在得出市场经济趋于稳定 的条件 并且对结果进行分析 再探讨政府能够采用的干预措施在市场经济不 稳定时 4 3 符号说明符号说明 第时段产品的数量 k xk 第时段产品的数量 k yk 平衡点在函数的斜率的绝对值 f Kf 平衡点在函数的斜率的绝对值 g Kg 天津科技大学 2015 届本科生毕业论文 12 4 4 蛛网模型蛛网模型 将时间离散化划分为若干段 产品的一个生产周期即为一个时段 由于在 一个时间段中产品的销售价格由产品产量决定 因此可设 4 kk xfy 1 它是需求函数 体现的是此商品与消费者的需求关系 由于产品的销售产量与价 格成反比 故是单调递减的函数 f 由于上一个时段的销售价格决定了下一个时段产品的产量 因此可设 或 4 1kk yhx 1 kk xgy 2 为的反函数 它们都是供应函数 体现的是生产者的供应关系 由于本时段gh 价格与下时段生产产量成正比 故是单调递增的函数 g 通过函数和反映和的变化过程 把点列和利用对fg k x k y kk yx 1kk yx 应的几何关系画出来 即将点列连接起 231221122111 yxpyxpyxpyxp 来 见图4 1 则将连成折线形似蛛网 因此这种用图形来研究市场经济的稳 定性称为蛛网模型 图4 1 图4 2 可见 若点列最终收敛于点 231221122111 yxpyxpyxpyxp 即而且点是函数和的交点 则代表市场经济 000 yxp 00 yyxx nn 0 pfg 在未来的一段时间里将会趋向稳定 若没有收敛于一点 见图4 2 则代表市场 经济将会趋向不稳定 通常 是由消费者的消费能力和需求程度决定的 是fg 由生产者的经营能力和生产能力等因素决定的 8 通过分析图形可知 当时 点是稳定的 gf KK 0 p 当时 点是不稳定的 gf KK 0 p 天津科技大学 2015 届本科生毕业论文 13 举例说明蛛网模型 设 产品的本期产品数量由上期的销售价格决定 那么供给函数是 s t Q 1 t P 产品本期的需求量由本期产品销售价格 那么需求函数是 1 t s t PfQ d t Q t P 那么结合动态供需均衡模型 蛛网模型可以表达为 t d t PfQ s t d t t s t t d t QQ PQ PQ 1 其中都是正值 由上述三式可得 4 1 tt PP 3 因此能够知道第 期的产品价格是 t tt t t tt t ttt P P P P PPP 1 1 1 1 1 0 0 12 0 2 2 21 由于市场是均衡的 故有均衡价格 带入 4 3 式得 1 tte PPP e P 将其带入上式有 4 e tt e t t PPPPPP 00 1 4 对 4 4 式进行分析可得 天津科技大学 2015 届本科生毕业论文 14 当时 那么 称为收敛型蛛网 1 et PP 当时 那么 称为发散型蛛网 1 t P 当时 那么是常数 称为封闭型蛛网 1 t P 4 5 差分方程模型差分方程模型 分别取函数和在点附近的近似曲线 可得 f h 0 p 4 0 00 xxyy kk 3 4 0 001 yyxx kk 4 将 4 3 和 4 4 合并后能得 4 1 0 001 kxxxx kk 5 对 4 5 进行递推可得 4 0101 xxxx k k 6 由 4 6 可得 当时 则当或时点稳定 k 0 xxk 1 1 0 p 当时 则当或时点稳定 k k x1 1 0 p 由于是点在上的切线斜率 是点在上的切线斜率 则有 0 pf 1 0 pg 可见差分方程模型与蛛网模型结果是相同的 1 gf KK 从 4 3 可得 的意义是产品的数量下降一单位时销售价格的上升幅度 因此代表的是购买者对产品需要的灵敏度 若是生活必需的产品 并且消费 者的状态是持币待购 一旦产品的数量缺少 人们就会抢购 则相对较大 的意义为这期销售价格上升一单位是产品数量的增加量 因此代表生产者 对产品价格的灵敏度 若生产者贪图当下的高利润 一旦价格上升就增多生产 则相对较大 天津科技大学 2015 届本科生毕业论文 15 4 6 干预办法干预办法 综上可知 当一定时 越小 代表购买者对产品需要的灵敏度就越小 越对经济稳定有利 当一定时 越小 代表生产者对产品价格的灵敏度就越 小 越对经济稳定有利 相反的 当 越大时 越对经济稳定不利 图4 3 图4 4 存在两种干预办法在市场经济倾向不稳定时 第一种是让尽可能小 为 了更加明显研究的情况 也就是的图像为水平直线 见图4 3 此刻0 f 市场经济永远是稳定的无论如何变化 也就是无论多大 现实中就相当于g 控制价格不能变化 不管产品数量为多少 即政府控制物价 第二种是让尽可 能小 为了更加明显研究的情况 也就是的图像为竖直直线 见图4 0 g 4 此刻市场经济永远是稳定的无论如何变化 也就是无多大 现实中f 就相当于不管产品的价格为多少 产品数量不能变化 当供不应求时将从其他 地方购买或调货过来 当供应多于需要时 收购多于部分 4 7 模型的推广模型的推广 为了更加谨慎生产者在计算下一期的产品数量时 不但考虑这期的销 1 k x 售价格也考虑前一期的销售价格 则 4 2 式将变为 k y 1 k y 4 2 1 1 kk k yy hx 7 4 2 式的近似直线 4 4 相应的改为 4 0101 2 2 yyyxx kkk 8 由于 4 1 式和 4 3 式没有变化 所以合并 4 3 式和 4 8 式可得 4 2 1 12 012 kxxxx kkk 天津科技大学 2015 届本科生毕业论文 16 9 只要方程的特征根都在单位圆里 那么当时 即点稳定 k 0 xxk 0 p 4 9 式的特征方程为 4 02 2 10 并得出 4 10 的特征根为 4 4 8 2 2 1 11 当时 有8 44 8 2 2 因而 故不在单位圆内 所以舍去 当时 可由 4 11 式得 2 2 2 8 2 2 1 如果让所有特征根在单位圆里 也就是 所有1 2 1 4 2 12 4 12 式即为点稳定的条件 与之前点稳定的条件相比 这个模型 0 p 0 p1 的的使用范围都放宽了 即稳定性条件变宽了 若要更深一步的研究这个模型 在计算下一期的产品数量时 可考虑 1 k x 最近三年来的价格 即 3 21 1 kkk k yyy hx 天津科技大学 2015 届本科生毕业论文 17 5 5 人口的预测与控制模型人口的预测与控制模型 5 1 问题重述问题重述 随着生活水平的不断提高 人口问题备受人们的关注 人口的均衡发展是与 每一个国家息息相关的 有些国家的出生率过高 持续发展下去会对人们的正 常生活产生很大的影响 又有些国家的自然增长率接近于零更有甚者成为负数 对国家的发展也很是不利的 如缺少劳动力 我国在人口问题上就有很大问题 不但人口总数增长率太高 并且人口老龄化问题日益明显 所以现在最重要的任 务就是在控制人口增长率的情况下有效的控制人口老龄化问题 尽量将年龄结 构调节成适当的水平 天津科技大学 2015 届本科生毕业论文 18 5 2 问题分析问题分析 每个地方人口数量的变化都是由多种因素所决定的 例如国家政策 社会 发展水平 迁移 自然灾害等 本文主要研究性别比例 女性生育率与死亡率对 人口数量的影响 通过总人数 死亡率 性别比例 生育率的关系建立差分模型 5 3 建立模型建立模型 为了便捷定义时间单位为年 即将时间离散化 设第 年为 岁的人数是ti 其中岁为最大年龄 第 年为 岁的人口死亡率是 2 1 0 2 1 tmitximti 也就是第 年为 岁的人中死亡总数与总人数的比 tditi 1 1 tx txtx td i ii i 由此可得到 2 1 0 1 1 0 1 1 1 tmiixtdtx iii 第 年为 岁女性的生育率是 生育区间是 第 年为 岁的人口女性ti tbi 21 iiti 比是 也就是第 年为 岁的人中女性总数与第 年总人数的比 tkitit 可见 在第 年出生的总人数是 t 1 2 txtktbtf ii i i i 其中 第 年婴儿存活下来的数量为t 1 00 tftdtx 有 代表 岁女性的总生育率 那么有 若 1 2 t tb tb tb th i i i i i i i thttb ii 假定女性生育率一直维持不变 那么 1 121 1 211 211 iitbtbtb tbtbtbt iii iii 可知 代表平均生育孩子的数量每个女性一生中 体现了人口数量变化的 t 基本因素 定义为总和生育率 综上可得 天津科技大学 2015 届本科生毕业论文 19 1 2 1 2 00 00 00 001 11 11 11 1 1 i i iii i i iii txtkthttdtd txtktbtdtd tftdtd txtdtx 记可得 1 1 00 tkthtdtdtb iii 1 2 1 1 i i ii txtbttx 并且有 txtdtx txtdtx mmm11 112 11 11 以便深入的表达人口数量的状况 用向量说明此问题 用代表人口的分布向量 即 tX 21 txtxtxtX m 记存活率矩阵为 0 1 00 0 10 0 01 0 00 1 2 1 td td td tA m 记生育模式矩阵为 0 00 0 00 0 00 0 00 21 tbtb tB ii 那么可知 tXtBttXtAtX 1 即 tXtBttAtX 1 天津科技大学 2015 届本科生毕业论文 20 这里是状态变量 是控制变量 tX t 在实际应用中 可以通过查阅资料了解人口最原始的分布与存活率矩 0 X 阵 同时知道了生育模式矩阵 那么再知道总和生育率后就可以预测未来AB t 的人口数 若想控制未来人口数就通过改变总和生育率 t 5 4 模型的扩展模型的扩展 以便于更加全面的表达人口的相关因素 还可以加入以下因素 人口总数 m i i txtN 0 平均年龄 m i i tix tN tR 0 1 平均寿命 0 00 exp i j i i tdtS 利用这三个因素与关系 在原有的模型上进行扩展 对此模型更加具体科 tx 学的分析 6 6 军备力量模型军备力量模型 6 1 问题重述问题重述 历史证明武器会触发一个国家宣布战争 大型军械库的存在会增加暴力冲突 的可能性 如果没有破坏性武器 有时国与国之间也许会以其他方式解决争端 因 此对军备竞赛进行研究是至关重要的 军备竞赛即为在不战争时期与对立国家 或者可能成为对立国家互相当成假想敌 进行质量与数量在军备部分的竞争 每 个国家考虑到将来有可能触发的战争 扩大军备 提高军事水平 6 2 问题分析问题分析 一个国家的军备力量是由多方面所决定的 本文中将通过理查森军备竞赛 模型来建立数学模型对军备力量进行研究 军备竞赛往往是战争的前兆 如果两个 国家都增加国防支出 那么即使是一件小事也会触发战争 而如果两国减少国防 天津科技大学 2015 届本科生毕业论文 21 支出 小事不会触发战争 因此将用一个具体的例子用此模型来检验这场军备竞 赛是 稳定 还是 不稳定 6 3 建立模型建立模型 现假设国在时间的军备力量为 国从 时 到 X ntt nXX1 nt 时的军备力量的变化表示为 nt 1 nXnXnX 这个模型同样适用于国 国在时间的军备力量为 国从YY ntt nYY1 nt 时到时的军备力量的变化表示为 nt 1 nYnYnY 考虑到一国军备力量对另一国的影响 需引入对方军备力量对自己影响程度的 相关系数 即有 1 1 nYnX 1 2 nXnY 再考虑到自己以往军备力量对现在的影响 需引入自身制约程度的系数 即有 11 11 nXnYnX 11 22 nYnXnY 最后考虑到其他因素 如管理者的野心 政治格局等 需引入一个常量 即有 6 gnXnYnX 11 11 1 6 hnYnXnY 11 22 2 仔细思考表 6 1 中的数据 该表显示的是伊拉克和伊朗在 1975 年战争之前 的军备力量 表中的数据是两国从 1954 年到 1974 年的军备费用 国防支出 表 6 1 军备费用 国防支出 年费伊朗伊拉克 19547875 天津科技大学 2015 届本科生毕业论文 22 195510767 195612694 1957151102 1958243110 1959271129 61960292145 1961320185 1962345206 1963387271 1964425359 1965435402 1966460450 1967473480 1968498513 1969534549 1970612723 1971732781 1972840921 19739801292 197413081632 利用表 6 1 中的数据计算出 6 1 式和 6 2 式中的系数 可以通过 MATLAB 软件编写代码如下 data 7875 107 67 126 94 151 102 243110 271 129 292 145 320 185 345 206 387271 425 359 435 402 460 450 473 480 498513 534 549 612 723 732 781 840 921 9801292 13081632 x data 2 end 1 y data 1 end 1 y 78 75 107 67 126 94 天津科技大学 2015 届本科生毕业论文 23 151 102 243 110 271 129 292 145 320 185 345 206 387 271 425 359 435 402 460 450 473 480 498 513 534 549 612 723 732 781 840 921 980 1292 LinearModel fit y x ans Linear regression model y 1 x1 x2 Estimated Coefficients Estimate SE tStat pValue Intercept 37 063 26 353 1 4064 0 17761 x1 0 65077 0 1651 3 9416 0 0010523 x2 0 43169 0 12041 3 5853 0 0022805 因此可得 6 3 1 371651 0 1432 0 nXnYnX 同理可得 6 4 9 52113 1 1195 0 nYnXnY 使用线性代数 可以解出系统稳定性 现将 6 3 式和 6 4 式化为矩阵 式 模型如下 6 9 52 1 37 1 1 13 1 195 0 432 0651 0 nY nX nY nX 天津科技大学 2015 届本科生毕业论文 24 5 现用向量表示 向量表示 该模型可以简化为 nA nY nX 1 nA 1 1 nY nX 9 52 1 37 1 13 1 195 0 432 0 651 0 nAnA 找出并使用特征值和特征向量 解出 6 5 式齐次部分的通解 得出以下的解 31662 0 1 5142019 0 1 70152 0 266798 1 21 kk ccnA 用公式解出 6 5 式非齐次的部分特解 如下 BRED 1 626 86 531 213 9 52 1 37 13 0 195 0 432 0 349 0 D 综上 最终的通解是 626 86 531 213 31662 0 1 5142019 0 1 70152 0 266798 1 21 kk ccnA 由此可知当时 1 266798 这项的增长是趋于无限的 因此这个系统不稳 k 定 将会导致战争 一场稳定的军备竞赛中至