高考数学第一轮总复习 2.6 幂函数与二次函数课件 文 新人教A版.ppt

第六节幂函数与二次函数 知识梳理 1 幂函数 1 定义 形如 r 的函数叫幂函数 其中x是 是常数 2 幂函数y x y x2 y x3 y y x 1的图象与性质 y x 自变量 r r r x x 0 x x 0 r y y 0 r y y 0 y y 0 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非 偶函数 奇函数 在r上 单调 递增 在 0 上单 调递减 在 0 上 单调递 增 在r上 单调 递增 在 0 上单调递 增 在 0 和 0 上单调递 减 1 1 2 二次函数 1 解析式 ax2 bx c h k 2 图象与性质 b 0 考点自测 1 思考 给出下列命题 函数y 2x是幂函数 如果幂函数的图象与坐标轴相交 则交点一定是原点 当n 0时 幂函数y xn是定义域上的减函数 二次函数y ax2 bx c x m n 的最值一定是 关于x的不等式ax2 bx c 0恒成立的充要条件是其中正确的是 a b c d 解析 选b 错误 不符合幂函数的定义 正确 因若相交 则x 0得y 0 若y 0 则得x 0 错误 幂函数y x 1在定义域上不单调 错误 当 m n 时 二次函数的最值 在区间端点达到 而非 错误 由ax2 bx c 0恒成立不一定有因为a可以为0 2 函数f x m 1 x2 2mx 3为偶函数 则f x 在区间 5 3 上 a 先减后增b 先增后减c 单调递减d 单调递增 解析 选d 因为f x m 1 x2 2mx 3为偶函数 所以2m 0 所以m 0 则f x x2 3在 5 3 上是增函数 3 已知函数f x ax2 x 5的图象在x轴上方 则a的取值范围是 解析 选c 由已知得解得a 4 图中c1 c2 c3为三个幂函数y xk在第一象限内的图象 则解析式中指数k的值依次可以是 a 1 3b 1 3 c 1 3d 3 1 解析 选a 设c1 c2 c3对应的k值分别为k1 k2 k3 则k11 故选a 5 2014 株洲模拟 如果函数f x x2 a 2 x b x a b 的图象关于直线x 1对称 则函数f x 的最小值为 解析 由已知得解得所以f x x2 2x 6 x 1 2 5 x 4 6 故f x min f 1 5 答案 5 考点1幂函数及其图象与性质 典例1 1 2014 恩施模拟 若则a b c的大小关系是 a a b cb c a bc b c ad b a c 2 已知幂函数f x m n 的图象关于y轴对称 且在 0 上是减函数 求满足 a 1 3 2a 的实数a的取值范围 解题视点 1 利用幂函数与指数函数的单调性比较 2 首先根据单调性求m的范围 其次由图象的对称性确定m的值 最后根据的大小 求解关于a的不等式 规范解答 1 选d 因为y 在第一象限内是增函数 所以因为y 是减函数 所以所以b a c 2 因为f x 在 0 上是减函数 所以m2 2m 3 0 解之得 1 m 3 又m n 所以m 1或m 2 由于f x 的图象关于y轴对称 所以m2 2m 3为偶数 又当m 2时 m2 2m 3为奇数 所以m 2舍去 因此m 1 又y x在 0 上为增函数 所以 a 1 3 2a 等价于0 a 1 3 2a 解之得 1 a 故实数a的取值范围是 a 1 a 易错警示 注意对所求值的检验本例第 2 题在求得m的值后要注意检验是否符合题意 否则易导致错解 规律方法 1 利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂 选择适当的幂函数 借助其单调性进行比较或应用 2 幂函数的指数与图象特征的关系当 0 1时 幂函数y x 在第一象限的图象特征 变式训练 1 2014 大同模拟 函数y 的图象大致是 解析 选c y 其定义域为x r 排除a b 又0 1 图象在第一象限为上凸的 排除d 故选c 2 2014 包头模拟 若a 0 则下列不等式成立的是 解析 选b 因为a 0 所以y xa在 0 上是减函数 且函数值大于零 所以故选b 加固训练 1 如图给出4个幂函数大致的图象 则图象与函数对应正确的是 a y x y x2 y x y x 1b y x3 y x2 y x y x 1c y x2 y x3 y x y x 1d y x y x y x2 y x 1 解析 选b 根据常见幂函数的图象判断或取特殊值 逐个验证知b正确 2 已知0 5且 z 若幂函数y x3 是r上的偶函数 则 的取值为 a 1b 1 3c 1 3 5d 0 1 2 3 解析 选a 根据0 5且 z 得 0 1 2 3 4 5 使函数y x3 为r上的偶函数的 的值为1 则 的取值为1 3 2014 长春模拟 已知幂函数f x m2 m 1 x 5m 3在 0 上是增函数 则m 解析 由已知得解得m 1 答案 1 考点2利用二次函数的图象与性质求解二次函数问题 典例2 1 2013 浙江高考 已知a b c r 函数f x ax2 bx c 若f 0 f 4 f 1 则 a a 0 4a b 0b a0 2a b 0d a 0 2a b 0 2 2014 成都模拟 如图直角梯形oabc位于平面直角坐标系中 其中oc 1 bc 1 oa 2 动点p从c出发沿折线段cba运动到a 包括端点 设点p的横坐标为x 函数f x 求函数y f x 的解析式 作出函数y f x 的草图 并求f x 的单调递增区间 若函数y f x c有零点 求c的取值范围 解题视点 1 根据条件确定函数图象的开口方向和对称轴 化简即得 2 分点p分别在线段bc ba上两种情况确定p点坐标 进而构建函数y f x 作出y f x 的图象 数形结合求解 规范解答 1 选a 因为f 0 f 4 f 1 所以函数图象应开口向上 即a 0 且其对称轴为x 2 即 2 所以4a b 0 2 由已知c 0 1 a 2 0 b 1 1 当点p位于线段bc上 即0 x 1时 点p x 1 于是 x 1 2 x 1 y x 2 x 1 x2 2x 1 当点p位于ba上 即1 x 2时 点p x 2 x 于是 x 2 x 2 x x 2 y x 2 x 2 x x 2 2x2 6x 4 于是函数f x f x 的图象如图所示 由图象知 f x 的单调增区间为 0 由图象知 f 0 1 f 若函数y f x c有零点 即方程f x c有解 故c的取值范围为 1 互动探究 若本例 2 条件不变 求函数y f x 的最大值 解析 由本例 2 的函数图象知 规律方法 1 求二次函数在闭区间上的最值 值域 的方法及类型二次函数求最值问题 一般先用配方法化为y a x m 2 n a 0 的形式 得顶点 m n 和对称轴方程x m 结合二次函数的图象求解 常见有三种类型 1 顶点固定 区间也固定 2 顶点含参数 即顶点为动点 区间固定 这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内 何时在区间之外 3 顶点固定 区间变动 这时要讨论区间中的参数 提醒 讨论的目的是确定对称轴和区间的关系 明确函数的单调性 从而确定函数的最值 2 二次函数单调性有关问题的求解策略根据二次函数的单调性 结合二次函数图象的开口方向及升 降情况对对称轴进行分析 讨论 进而求解 变式训练 2014 北京模拟 已知函数f x x2 2ax 3 x 4 6 1 当a 2时 求f x 的最值 2 求实数a的取值范围 使y f x 在区间 4 6 上是单调函数 3 当a 1时 求f x 的单调区间 解析 1 当a 2时 f x x2 4x 3 x 2 2 1 则函数在 4 2 上为减函数 在 2 6 上为增函数 所以f x min f 2 1 f x max f 4 4 2 4 4 3 35 2 函数f x x2 2ax 3的对称轴为x a 所以要使f x 在 4 6 上为单调函数 只需 a 4或 a 6 解得a 4或a 6 3 当a 1时 f x x2 2 x 3其图象如图所示 又因为x 4 6 所以f x 在区间 4 1 和 0 1 上为减函数 在区间 1 0 和 1 6 上为增函数 加固训练 1 已知函数f x x2 2a 1 x 3 1 当a 2 x 2 3 时 求函数f x 的值域 2 若函数f x 在 1 3 上的最大值为1 求实数a的值 解析 1 当a 2时 f x x2 3x 3又x 2 3 所以f x max f 3 15 所以值域为 2 对称轴为 当 1 即a 时 f x max f 3 6a 3 所以6a 3 1 即a 满足题意 当 即a 时 f x max f 1 2a 1 所以 2a 1 1 即a 1满足题意 综上可知a 或 1 2 2014 盐城模拟 已知函数f x ax2 2x 1 1 试讨论函数f x 的单调性 2 若 a 1 且f x 在 1 3 上的最大值为m a 最小值为n a 令g a m a n a 求g a 的表达式 3 在 2 的条件下 求证 g a 解析 1 当a 0时 函数f x 2x 1在 上为减函数 当a 0时 抛物线f x ax2 2x 1开口向上 对称轴为x 所以函数f x 在 上为减函数 在 上为增函数 当a 0时 抛物线f x ax2 2x 1开口向下 对称轴为x 所以函数f x 在 上为增函数 在 上为减函数 2 因为由 a 1得1 3 所以当1 2 即 a 1时 m a f 3 9a 5 故g a 9a 6 当2 3 即时 m a f 1 a 1 故g a a 2 所以 3 当a 时 g a 1 0 所以函数g a 在 上为减函数 当a 1 时 g a 9 0 所以函数g a 在 1 上为增函数 所以当a 时 g a 取最小值 g a min g 故g a 考点3利用二次函数的图象与性质求解一元二次方程 不等式问题 考情 二次函数的图象与性质与一元二次方程 一元二次不等式等知识交汇命题是高考考查频率非常高的一个热点 常以选择 填空题的形式出现 考查求解一元二次不等式 一元二次不等式恒成立及一元二次方程根的分布等问题 同时考查函数与方程 数形结合 转化与化归思想 高频考点通关 典例3 1 2014 珠海模拟 若当x 1 2 时 不等式x2 mx 4 0恒成立 则m的取值范围为 2 2014 合肥模拟 已知二次函数f x x2 2bx c b c r 若f x 0的解集为 x 1 x 1 求实数b c的值 若f x 满足f 1 0 且关于x的方程f x x b 0的两个实数根分别在区间 3 2 0 1 内 求实数b的取值范围 解题视点 1 方法一 构建函数f x x2 mx 4数形结合求解 方法二 分离参数法求解 2 根据解集 构建b c的方程组求解 构建函数g x f x x b 结合g x 的图象数形结合求解 规范解答 1 方法一 令f x x2 mx 4 结合f x 的图象知 要使f x 0在 1 2 上恒成立 则有即解得 m 5 方法二 由x2 mx 4 0 当x 1 2 时 得m x 令g x x 则g x 0 x 1 2 所以g x 在 1 2 上单调递增 所以g x min g 1 5 所以m 5 答案 5 2 设x1 x2是方程f x 0的两个根 由根与系数的关系 得即所以b 0 c 1 由题知 f 1 1 2b c 0 所以c 1 2b 记g x f x x b x2 2b 1 x b c x2 2b 1 x b 1 则即b的取值范围为 通关锦囊 特别提醒 当所研究的方程 不等式二次项系数a与0的关系不明确时 要分类讨论 通关题组 1 2014 长沙模拟 已知函数f x 的图象与直线y k x 2 2恰有三个公共点 则实数k的取值范围是 a 0 2 b 0 2 c 2 d 2 解析 选a 因为直线y k x 2 2过定点c 2 2 作出函数f x 的图象如图 要使函数f x 与直线y k x 2 2恰有三个公共点 则0 k kcd 因为kcd 2 所以实数k的取值范围是0 k 2 即k 0 2 2 2014 莆田模拟 已知函数f x m 2 x2 mx 2m 1 m 2 的两个零点分别在区间 1 0 和区间 1 2 内 则实数m的取值范围是 解析 选a 当m 2 0 即m 2时 需满足 当m 2 0 即m 2时 需满足综上可知m 3 2014 湘潭模拟 已知f x m x 2m x m 3 g x 2x 2 若 x r f x 0或g x 0 则m的取值范围是 解析 当x 1时 g x 0 当x 1时 g x 0 只需f x 0 易知m 0时 不成立 所以解得 4 m 0 综上 4 m 0 答案 4 m 0 4 2014 武汉模拟 已知函数f x ax 的最大值不大于 又当x 时 f x 则a 解析 得 1 a 1 对称轴为x 当 1 a 时 是f x 的递减区间 而f x 即f x min 与 1 a 矛盾 当 a 1时 且所以而 a 1 所以a 1 答案 1 加固训练 1 2014 广州模拟 已知函数f x x2 2ax 5在 2 上是减函数 且对任意的x1 x2 1 a 1 总有 f x1 f x2 4 则实数a的取值范围是 a 1 4 b 2 3 c 2 5