高中数学 3.1.3 概率的基本性质课件 新人教A版必修3.ppt

3 1 3概率的基本性质 1 能够说出事件的包含 并 交 相等事件 互斥事件 以及对立事件的概念 2 能叙述互斥事件与对立事件的区别与联系 3 会使用互斥事件 对立事件的概率性质求概率 1 本课重点是事件的关系与运算 概率的几个基本性质和加法公式及其应用 2 本课难点是互斥事件与对立事件的关系 1 事件的关系与运算 一般地 对于事件a与事件b 如果事件a发生 则事件b一定发生 这时称事件b包含事件a 或称事件a包含于事件b 若a b为不可能事件 则称事件a与事件b互斥 b a 或a b 若a b 则a与b互斥 若a b为不可能事件 a b为必然事件 那么称事件a与事件b互为对立事件 若a b 且a b u 则a与b对立 若某事件发生当且仅当事件a发生或事件b发生 则称此事件为事件a与事件b的并事件 或和事件 a b 或a b 若某事件发生当且仅当事件a发生且事件b发生 则称此事件为事件a与事件b的交事件 或积事件 a b 或ab 2 概率的基本性质 1 概率的取值范围是0 1之间 即 2 必然事件的概率是 3 不可能事件的概率是 4 概率的加法公式 当事件a与事件b互斥时 p a b 5 当事件a与事件b互为对立事件时 p a 0 p a 1 1 0 p a p b 1 p b 1 互斥事件能否同时不发生 提示 可以 互斥事件是指两个事件在一次试验中不会同时发生 但可以同时不发生 2 对立事件与互斥事件是什么关系 提示 对立事件是互斥事件的特殊情形 3 在同一试验中 对任意两个事件a b p a b p a p b 一定成立吗 提示 不一定 只有a与b互斥时 p a b p a p b 才成立 4 从1 2 9中任取两个数 其中 恰有一个偶数和恰有一个奇数 至少有一个是奇数和两个数都是奇数 至少有一个奇数和两个数都是偶数 至少有一个奇数和至少有一个偶数 是对立事件的是 解析 从1 2 9中任取两个数字包括一奇一偶 两奇 两偶共三种互斥事件 所以只有 中的两个事件才是对立的 答案 1 利用集合间的关系掌握事件间的关系设事件a与b所含的结果组成的集合分别是a b 事件a与b互斥 即集合a b 事件a与b对立 即集合a b 且a b i i为全集 也即a ib或b ia 2 概率加法公式的推广如果事件a1 a2 an彼此互斥 那么事件a1 a2 an发生 即a1 a2 an中有一个发生 的概率 等于这 个事件分别发生的概率的和 即p a1 a2 an p a1 p a2 p an 事件间关系的判断 技法点拨 1 判断事件是否互斥的两步骤第一步 确定每个事件包含的结果 第二步 确定是否有一个结果发生会意味着两个事件都发生 若是 则两个事件不互斥 否则就是互斥的 2 判断事件对立的两步骤第一步 判断是互斥事件 第二步 确定两个事件必然有一个发生 否则只是互斥 但不对立 典例训练 1 在一次随机试验中 彼此互斥的事件a b c d的概率分别为0 2 0 2 0 3 0 3 则下列说法正确的是 a a b与c是互斥事件 也是对立事件 b b c与d是互斥事件 也是对立事件 c a c与b d是互斥事件 但不是对立事件 d a与b c d是互斥事件 也是对立事件 2 从一堆产品 其中正品与次品都多于2件 中任取2件 观察正品件数与次品件数 判断下列每件事件是不是互斥事件 如果是 再判断它们是不是对立事件 1 恰好有1件次品和恰好有2件次品 2 至少有1件次品和全是次品 3 至少有1件正品和至少有1件次品 解析 1 选d 由于a b c d彼此互斥 且a b c d是一个必然事件 故其事件的关系可由如图所示的韦恩图表示 由图可知 任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件 任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件 2 依据互斥事件的定义 即事件a与事件b在一次试验中不会同时发生可知 1 中恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生 因此它们是互斥事件 又因为它们的和事件不是必然事件 所以它们不是对立事件 同理可以判断 2 中的2个事件不是互斥事件 从而也不是对立事件 3 中的2个事件不是互斥事件 从而也不是对立事件 互动探究 题2中事件 至少有1件次品 和 全是正品 间的关系是什么 解析 是互斥事件 也是对立事件 总结 互斥事件与对立事件的不同 互斥事件一定不会同时发生 但可以同时不发生 对立事件不但不能同时发生 也不能同时不发生 变式训练 从一批产品中取出三件产品 设a表示 三件产品全不是次品 b表示 三件产品全是次品 c表示 三件产品不全是次品 则下列结论不正确的是 a a与b互斥且为对立事件 b b与c互斥且为对立事件 c a与c存在包含关系 d a与c不是对立事件 解题指南 从事件包含的产品情况分析 并且注意对立事件与互斥事件的区别与联系 解析 选a 事件a中三件全是正品 事件b中三件全是次品 事件c中可能全是正品 也可能既有次品 又有正品 但一定不能全是次品 所以b c d都正确 a不正确 概率加法公式的应用 技法点拨 概率加法公式的应用注意点 1 应用公式时要保证事件互斥 2 复杂事件要拆分成若干个互斥事件 以化繁为简 注意不重不漏 典例训练 1 中国乒乓球队甲 乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛 甲夺得冠军的概率为 乙夺得冠军的概率为那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 2 2012 湖南高考 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息 安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据 如下表所示 已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55 1 试确定x y的值 并估计顾客一次购物的结算时间的平均值 2 求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率 将频率视为概率 解析 1 设事件a为 甲夺得冠军 事件b为 乙夺得冠军 则因为事件a和事件b是互斥事件 p a b p a p b 答案 2 1 由已知得 顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均值估计为 2 记a为事件 一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟 将频率视为概率 由互斥事件的概率加法公式得故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分种的概率为 想一想 本题1 2中如何判断事件是互斥的 提示 根据实际意义 题1中冠军只有一个 甲获得则乙不能获得 题2中结算时间的标准很明确 达到标准即可确定是哪一时间段的 变式训练 某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示 1 求年降水量在 100 200 mm 范围内的概率 2 求年降水量在 150 300 mm 范围内的概率 解析 1 年降水量在 100 200 mm 范围内可分为 100 150 mm 和 150 200 mm 两种情况 所求概率为0 12 0 25 0 37 2 同 1 年降水量在 150 300 mm 范围内的概率为0 25 0 16 0 14 0 55 对立事件的应用 技法点拨 应用对立事件解题的注意点 1 找准对立事件 2 要有应用对立事件的意识 当事件本身包含的情况较多 而其对立事件包含的结果很少时 就应该利用对立事件间的关系求解 即贯彻 正难则反 的思想 典例训练 1 一个箱子内有9张票 其号数分别为1 2 9 从中任取2张 其号数至少有一个为奇数的概率是 2 由经验得知 在某商场付款处排队等候付款的人数及概率如下表 求至少有2人排队的概率是多少 解析 1 从9张票中任取2张 有 1 2 1 3 1 9 2 3 2 4 2 9 3 4 3 5 3 9 7 8 7 9 8 9 共计36种取法 记 号数至少有一个为奇数 为事件b 号数全是偶数 为事件c 则事件c为从号数为2 4 6 8的四张票中任取2张有 2 4 2 6 2 8 4 6 4 8 6 8 共6种取法 由对立事件的性质得p b 1 p c 答案 2 至少有2人排队 包含 2人 3人 4人 5人以上 四种情况 较复杂 而对立事件只包含 0人 1人 两种情况 所以可以利用对立事件得所求概率为1 0 1 0 16 0 74 思考 题1中如何列举所有取法 提示 应该按照一定的顺序来列举 从1开始 依次向后取 取完后 再从2开始向后取 这样就可以不重不漏 变式训练 某射手在一次射击中 射中10环 9环 8环的概率分别是0 20 0 30 0 10 则此射手在一次射击中不够8环的概率为 a 0 40 b 0 30 c 0 60 d 0 90 解析 选a 依题意 射中8环及以上的概率为0 20 0 30 0 10 0 60 故不够8环的概率为1 0 60 0 40 事件的运算 技法点拨 1 事件间运算的类型 2 事件间运算方法 1 利用事件间运算的定义 列出同一条件下的试验所有可能出现的结果 分析并利用这些结果进行事件间的运算 2 利用韦恩图 借助集合间运算的思想 分析同一条件下的试验所有可能出现的结果 把这些结果在图中列出 进行运算 典例训练 1 同时抛掷两枚骰子 两枚骰子的点数之和可能是2 3 4 11 12中的一个 记事件a为 点数之和是2 4 7或12 事件b为 点数之和是2 4 6 8 10 12 事件c为 点数之和大于8 则事件 点数之和为2或4 可记为 a a b b a b c c d 2 在某大学数学系图书室中任选一本书 设a 数学书 b 中文版的书 c 2010年后出版的书 问 1 表示什么事件 2 在什么条件下有a b c a 3 表示什么意思 4 若是否意味着图书室中数学书都不是中文版的 解析 1 选c 事件a b为 点数之和是2 4或12 而事件c为 点数之和大于8 所以事件 点数之和为2或4 可记为2 1 2010年或2010年前出版的中文版的数学书 2 在 图书室中所有的数学书都是2010年后出版的且为中文版 的条件下才有a b c a 3 表示2010年或2010年前出版的书全是中文版的 4 是 意味着图书室中非数学书都是中文版的 而且所有的中文版的书都不是数学书 同时又可等价成因而也可解释为 图书室中所有数学书都不是中文版的 而且所有外文版的书都是数学书 规范解答 概率加法公式及对立事件的应用 典例 12分 2012 沈阳高一检测 某校射击队的队员经过训练 某队员射击一次 命中7环 10环的概率如下表所示 求该射击队员射击一次 1 射中9环或10环的概率 2 至少命中8环的概率 3 命中不足8环的概率 解题指导 规范解答 记事件 射击一次 命中k环 为ak k n k 10 则事件ak彼此互斥 3分 1 记 射击一次 射中9环或10环 为事件a 那么当a9 a10之一发生时 事件a发生 由互斥事件的概率加法公式得p a p a9 p a10 0 32 0 28 0 60 6分 2 设 射击一次 至少命中8环 的事件为b 那么当a8 a9 a10之一发生时 事件b发生 由互斥事件的概率加法公式得p b p a8 p a9 p a10 0 18 0 28 0 32 0 78 9分 3 由于事件 射击一次 命中不足8环 是事件b 射击一次 至少命中8环 的对立事件 即表示事件 射击一次 命中不足8环 根据对立事件的概率公式得1 p b 1 0 78 0 22 12分 阅卷人点拨 通过阅卷后分析 对解答本题的失分警示和解题启示总结如下 注 此处的 见规范解答过程 规范训练 12分 某省是高中新课程改革试验省份之一 按照规定每个学生都要参加学业水平考试 全部及格才能毕业 不及格的可进行补考 某校有50名同学参加物理 化学 生物水平测试补考 已知只补考物理的概率为只补考化学的概率为只补考生物的概率为随机选出一名同学 求他不止补考一门的概率 解题设问 1 事件 只补考物理 只补考化学 只补考生物 间的关系是什么 2 事件 不止补考一门 包含的情况是什么 3 如何联系已知事件与待求事件 互斥 补考两门或三门 利用对立事件 规范答题 设 不止补考一门 为事件e 只补考一门 为事件f 2分 只补考物理 为事件a 则 只补考化学 为事件b 则 只补考生物 为事件c 则p c 这三个事件为互斥事件 5分所以p f p a b c p a p b p c 8分 又因为事件e和事件f互为对立事件 所以p e 1 p f 1 0 6 0 4 10分即随机选出一名同学 他不止补考一门的概率为0 4 12分 1 把红桃 黑桃 方块 梅花四张纸牌随机发给甲 乙 丙 丁四个人 每人分得一张 事件 甲分得梅花 与事件 乙分得梅花 是 a 对立事件 b 不可能事件 c 互斥但不对立事件 d 以上答案均不对 解析 选c 根据互斥事件和对立事件的定义 由题设易知两事件互斥但不对立 2 设a b为两个事件 且p a 0 3 则当 时一定有p b 0 7 a a与b互斥 b a与b对立 c a b d a不包含b 解析 选b p a p b 1 当a与b对立时 结论成立 3 一个人连续射击2次 则下列各事件中 与事件 恰中一次 互斥但不对立的事件是 a 至多射中一次 b 至少射中一次 c 第一次射中 d 两次都不中 解析 选d 记射中为1 不中为0 用 x y 表示第一次射击结果为x 第二次射击结果为y 则所有可能结果有 1 0 1