高中数学 1.3.2函数的极值与导数课件 新人教A版选修22.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 人教a版 选修2 2 导数及其应用 第一章 1 3导数在研究函数中的应用 第一章 1 3 2函数的极值与导数 1 掌握极值的概念 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 2 会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值 极小值 及其他简单函数的极值 重点 函数极值的概念与求法 难点 函数的单调性与极值的综合应用 思维导航在函数的图象上 有的点左 右两侧函数的单调性相同 有的点左 右两侧的单调性相反 有些情形下左增右减 在些情况下左减右增 这些点对研究函数有何特殊意义 函数的极值与导数的关系 新知导学 c f c d f d 大 大 小 小 2 一般地 已知函数y f x 及其定义域内一点x0 对于包含x0在内的开区间内的所有点x 如果都有 则称函数f x 在点x0处取得 并把x0称为函数f x 的一个 如果都有 则称函数f x 在点x0处取得 并把x0称为函数f x 的一个 极大值与极小值统称为 极大值点与极小值点统称为 f x f x0 极大值 极大值点 f x f x0 极小值 极小值点 极值 极值点 3 理解极值概念时需注意的几点 1 函数的极值是一个局部性的概念 是仅对某一点的左 右两侧 的点而言的 2 极值点是函数 的点 而函数定义域的端点绝不是函数的极值点 3 若f x 在定义域 a b 内有极值 那么f x 在 a b 内绝不是单调函数 即在定义域区间上的单调函数 极值 附近 定义域内 没有 4 极大值与极小值没有必然的大小关系 一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值 在某一点的极小值可能大于另一点的极 值 如图 大 牛刀小试1 已知函数y f x 其导函数y f x 的图象如图所示 则y f x a 在 0 上为减函数b 在x 0处取极小值c 在 4 上为减函数d 在x 2处取极大值 答案 c 解析 使导函数y f x 0的x的取值范围为增区间 使导函数y f x 0 当04时 f x 0 故选c 2 2013 江西理 13 设函数f x 在 0 内可导 且f ex x ex 则f 1 答案 2 3 求下列函数的极值 1 f x x3 12x 2 f x x2e x 解析 1 函数f x 的定义域为r f x 3x2 12 3 x 2 x 2 令f x 0 得x 2或x 2 当x变化时 f x f x 变化状态如下表 从表中可以看出 当x 2时 函数有极大值16 当x 2时 函数有极小值 16 解析 1 由图象可知 当x0 f x 在 1 上为增函数 当13时 f x 0 f x 在 3 上为增函数 x 3是函数f x 的极小值点 函数f x 的单调减区间是 1 3 分析 首先对函数求导 然后求方程y 0的根 再检查y 在方程根左 右两侧的值的符号 如果左正右负 那么y在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么y在这个根处取得极小值 利用导数求函数的极值 方法规律总结 1 当函数f x 在点x0处连续时 判断f x0 是否为极大 小 值的方法是 1 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是极小值 3 如果f x 在点x0的左右两侧符号不变 则f x0 不是函数f x 的极值 2 利用导数求函数极值的步骤 1 确定函数的定义域 2 求导数f x 3 解方程f x 0得方程的根 4 利用方程f x 0的根将定义域分成若干个小开区间 列表 判定导函数在各个小开区间的符号 5 确定函数的极值 如果f x 的符号在x0处由正 负 变负 正 则f x 在x0处取得极大 小 值 答案 c 解析 f x x2 x 2 x 1 x 2 则知在区间 1 和 2 上 f x 0 故当x 1时 f x 取极小值 分析 本题的关键是理解 f x 在x 1处的极大值为4 极小值为0 的含义 即x 1是方程f x 0的两个根且在根x 1处f x 取值左 右异号 解析 f x 5ax4 3bx2 x2 5ax2 3b 由题意 f x 0应有根x 1 故5a 3b 于是f x 5ax2 x2 1 求参数的值或取值范围问题 方法规律总结 已知函数极值 确定函数解析式中的参数时 注意以下两点 1 根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组 利用待定系数法求解 2 因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件 所以利用待定系数法求解后必须验证充分性 3 2013 泰州二中高二期中 已知函数f x x3 ax2 3ax 1在区间 2 2 内 既有极大值也有极小值 则实数a的取值范围是 解析 1 f x 6x2 6x 令f x 0 得6x2 6x 0 解得x 0或1 且易知x 0是极大值点 f 0 a 6 2 y ex a 由题意知a0 a 1 故选c 图象信息问题 在区间 2 1 内f x 是增函数 在区间 1 3 内f x 是减函数 x 2时 f x 取到极大值 在x 3时 f x 取到极小值 其中正确的是 将你认为正确的序号填在横线上 分析 给出了y f x 的图象 应观察图象找出使f x 0与f x 0的x的取值范围 并区分f x 的符号由正到负和由负到正 再做判断 答案 方法规律总结 有关给出图象研究函数性质的题目 要分清给的是f x 的图象还是f x 的图象 若给的是f x 的图象 应先找出f x 的单调区间及极 最 值点 如果给的是f x 的图象 应先找出f x 的正负区间及由正变负还是由负变正 然后结合题目特点分析求解 函数f x 的定义域为开区间 a b 导函数f x 在 a b 内的图象如图所示 则函数f x 在开区间 a b 内有极小值点 a 1个b 2个c 3个d 4个 答案 a 解析 由f x 的图象可知 函数f x 在区间 a b 内 先增 再减 再增 最后再减 故函数f x 在区间 a b 内只有一个极小值点 分类讨论思想在含参数的函数极值中的应用 解题思路探究 第一步 审题 审结论明确解题方向 求函数f x 的单调区间与极值 需求f x 然后按单调性和极值与导数的关系求解 审条件 发掘解题信息 f x 是三次函数 f x 是二次函数 由二次方程的根探求极值点和单调区间 f x 解析式中含参数 应分类讨论 第二步 建联系 找解题途径 先求f x 解方程f x 0找分界点 再按a的符号讨论单调性求极值 第三步 规范解答 已知函数f x x3 3ax 1 a 0 1 求f x 的单调区间 2 若f x 在x 1处取得极大值 直线y m与y f x 的图象有三个不同的交点 求m的取值范围 分析 1 f x 的表达式中含字母a a的取值影响f x 的符号变化 故求f x 的单调区间应分类讨论 2 f x 在x 1处取得极大值 即f 1 0 由此可求得a的值 从而解出f x 0的两根 直线y m与y f x 的图象有三个不同交点 且f x 只有一个极大值和一个极小值 应有f x 极小值 m f x 极大值 2 f x 在x 1处取得极大值 f 1 3 1 2 3a 0 a 1 f x x3 3x 1 f x 3x2 3 由f x 0解得x1 1 x2 1 由 1 中f x 的单调性可知 f x 在x 1处取得极大值f 1 1 在x 1处取得极小值f 1 3 直线y m与函数y f x 的图象有三个不同的交点 又f 3 191 结合f x 的单调性可知 m的取值范围是 3 1 辨析 根据极值定义 函数先减后增为极小值 函数先增后减为极大值 上述解法未验证x 1时函数两侧的单调性 导致错误 正解 在上述解法之后继续 当a 1 b 3时 f x 3x2 6x 3 3 x 1 2 0 所以f x 在r上为增函数 无极值 故舍去 当a 2 b 9时 f x 3x2 12x 9 3 x 1 x 3 当x 3 1 时 f x 为减函数 当x 1 时 f x 为增函数 所以f x 在x 1时取得极小值 因此a 2 b 9 若函数f x x3 ax2 bx a2在x 1处取得极值10 则a b的值依次为 答案 4 1