安徽省安庆市桐城吕亭初级中学八年级数学上册 平方根课件 新人教版.ppt

某教学模具厂要制面积如下表所示的正方形模具 你能帮他们计算出这些正方形模具的边长是多少吗 1 3 4 6 1 4 1 5 5 这些正方形模具的边长和面积是什么关系呢 新课导入 1 理解平方根和算术平方根的概念 了解平方与开平方的关系 2 学会平方根 算术平方根的表示方法 3 会用计算器求一个数的算术平方根 4 理解无限不循环的含义 能用夹值法估计一个数的算术平方根的大小范围 5 理解被开方数越大 它的算术平方根也越大 被开方数扩大 或缩小 与它的算术平方根扩大 或缩小 的规律 教学目标 知识与能力 1 发展数感 经历认识平方根的概念 经历总结发现正数 负数 零的平方根的情况 2 会求一个数的平方根 3 理解开平方与平方互为逆运算 4 通过学习算数平方根 建立初步的数感和符号感 发展抽象思维 5 通过探究的大小 培养估算意识 了解从两个方向无限逼近的数学思想 过程与方法 1 通过学习算术平方根 进一步建立数感和符号感 发展抽象思维 2 通过探究被开方数扩大 缩小 与它的算术平方根扩大 缩小 的规律 培养观察能力 抽象概括能力 3 培养优算意识 了解两个方向无限逼近的数学思想 情感态度与价值观 4 体验 无限不循环 的含义 感受存在着不同于有理数的一类新数 5 通过用计算器求值及近似值计算 提高运算能力和动手能力 6 通过利用计算器求值体验现代科技产品迅速 精确的功能 激发学习知识的兴趣 1 平方根的概念 算术平方根的定义 2 探索被开方数扩大 缩小 与算术平方根扩大 缩小 的规律 3 用计算器求一个正数的平方根的程序 4 体验 无限不循环 的含义 教学重难点 重点 1 平方根的概念和平方根的表示方法 2 利用平方根定义解决问题 3 用夹值法估计一个 无理 数的大小 4 准确用计算器求解一个正数的平方根 难点 知识要点 规定 0的算术平方根是0 一般地 如果一个正数x的平方等于a 即x2 a 那么这个正数x叫做a的算术平方根 a的算术平方根记为 读作 根号a a叫做被开方数 是算术平方根的运算符号 a的算术平方根也是非负数 即 其中 表示a的算术平方根 被开方数a是非负数 即a 0 下列各式中哪些有意义 哪些无意义 答 有意义的是 无意义的是 想一想 例1求下列各数的算术平方根 1 400 2 3 0 0025 解 1 因为202 400 所以400的算术平方根为20 即 20 3 因为0 052 0 0025 所以0 0025的算术平方根为0 05 即 0 01 2 因为 所以的算术平方根是 即 例2填空 1 121的算术平方根是 0 25的算术平方根是 0的算术平方根是 2 100的算术平方根是 25的算术平方根是 0 81的算术平方根是 0 0 9 5 10 11 0 5 比较结果 1 4 9 16 25 36 被开方数大的数算术平方根也大 解 例3求下列各数的算术平方根 并用 分别把被开方数和算术平方根连接起来 1 4 9 16 25 36 结论 解 设这个正方形原来的边长为a 则其原来的面积为a2 又设变大后的正方形的边长为b 则b2 4a2 2a 2 所以 正方形的面积变为原来的4倍 则其边长变为原来的2倍 例4一个正方形的面积变为原来的4倍 其边长变为原来的多少倍 正方形的面积扩大n倍 那么其边长对应扩大倍 结论 某气垫厂接到订单 要求把两块面积为1的正方形材料 缝成一块正方形的气垫面 你有没有办法进行设计 帮助他们解决这个问题 缝成的这个大正方形的边长是多少呢 想一想 如图 把两个小正方形材料沿对角线剪开 将所得的4个直角三角形拼在一起 就得到一个面积为2的大正方形气垫面 小正方形的对角线长度即为大正方形的边长 设大正方形的边长为x 则x2 2 由算术平方根的意义可知x 有多大呢 接着往下计算 可以发现 1 41421356 是一个无限不循环小数 想一想 12 1 22 4 1 2 1 42 1 96 1 52 2 25 1 4 1 5 1 412 1 999396 1 4152 2 002225 1 414 1 415 第一个发现这样数的人是希伯索斯 但他却被抛进了大海 你想知道这其中的曲折离奇吗 这得追溯到2500年前 有个叫毕达哥拉斯的人 他是一个伟大的数学家 他创立了毕达哥拉斯学派 这是一个非常神秘的学派 他们以领袖毕达哥拉斯为核心 认为毕达哥拉斯是至高无尚的 他所说的一切都是真理 无限不循环小数的发现 读一读 毕达哥拉斯认为 宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比 即都可用有理数来描述 但后来 这学派的一位年轻成员希伯索斯发现边长为1的正方形的对角线的长不能用有理数来表示 这就动摇了毕达哥拉斯学派的信条 引起了信徒们的恐慌 他们试图封锁这一发现 然而希伯索斯偷偷将这一发现传播出去 这为他招来了杀身之祸 在他逃回家的路上 遭到毕氏成员的围捕 被投入大海 无限不循环小数的计算 借助于计算器 无限不循环小数 即无理数 是指小数位数无限 且小数部分不循环的小数 无限不循环小数是不能转化为分数的 常见无限不循环小数 圆周率 自然对数的底数e 知识要点 例5用计算器求下列各式的值 精确到0 01 解 例6用计算器计算下列各数的值 有什么规律 规律 被开方数扩大 缩小 100倍 它的算术平方根扩大 缩小 10倍 解 结论 能用一块面积为100cm 的正方形纸片沿着边的方向裁出一块面积为90cm 的长方形纸片 使它的长宽之比为3 2吗 想一想 解 设长方形纸片的长为3xcm 宽为2xcm 根据边长与面积的关系得 答 不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片 因此长方形的长应为cm 因为15 12 25 所以 3 5 所以 10 5 所以长方形纸片的长大于原正方形的长 10cm 宇宙飞船离开地球进入轨道正常运行的速度v 米 秒 要大于第一宇宙速度v1 米 秒 小于第二宇宙速度v2 米 秒 其中v12 gr v22 2gr g 9 8米 秒2 r 6400000米 地球半径 求v的范围 练一练 所以7900 v 11200 答 要使宇宙飞船离开地球进入轨道正常运行 必须使它的速度大于7900米 秒 小于11200米 秒 要做一张边长是4cm的方桌面 它的面积是多少 这个问题实际上就是求 42 的问题 根据乘方运算 可知42 16cm2 想一想 16cm2 我们知道 4 2 16 但 4不符合题意 所以 方桌面的边长应是4cm 反过来 要做一张面积是16cm2的桌面 它的边长是多少cm 知识要点 一般地 如果一个数的平方等于a 那么这个数叫做a的平方根或二次方根 即如果x2 a 那么x叫做a的平方根 求一个数的平方根 二次方根 的运算 叫做开平方 开平方运算的结果就是平方根 平方与开平方互为逆运算 平方根的表示法 一个非负数a的平方根用符号表示为 读作 正 负根号a 其中a叫做被开方数 即 如果x2 a 则x 注意 1 表示非负数a的正的平方根 即算数平方根 表示非负数a的负的平方根 2 表示非负数a的平方根 与 互为相反数 3 在 中 a 0 4 2 a a 0 5 一个正数有两个平方根 它们互为相反数 零的平方根是零 负数没有平方根 区别 1 定义不同 2 个数不同 3 表示法不同 4 取值范围不同 平方根与算术平方根的联系与区别 联系 1 算术平方根是平方根的一种 2 只有非负数才有算术平方根和平方根 3 0的算术平方根和平方根都是0 例7求下列各数的平方根 1 25 2 81 3 0 16 4 121 解 1 因为 5 2 25 所以25的平方根是 5 2 因为 9 2 81 所以81的平方根是 9 3 因为 0 4 2 0 16 所以0 16的平方根是 0 4 4 因为 11 2 121 所以121的平方根是 11 已知一个自然数的算术平方根是n 则与这个自然数相邻的下一个自然数的平方根是多少 解 因为这个数的算术平方根是n 所以这个自然数为n2 那么与它相邻的下一个自然数为n2 1 所以下一个自然数的平方根是 想一想 已知a 6与2a 9是m的平方根 试求m的值 解 因为a 6与2a 9是m的平方根 则a 6与2a 9相等或互为相反数 当a 6 2a 9时 得a 15 所以m 152 225 当a 6 2a 9 0时 得a 1 所以m 1 所以 m的值为225或1 练一练 一个正数x的平方等于a 那么这个正数x叫做a的算术平方根 正数a的算术平方根记作 1 算数平方根 0的算术平方根还是0 课堂小结 2 平方根 一个数的平方等于a 这个数叫做a的平方根 性质 一个正数的平方根有两个 它们互为相反数 0的平方根还是0 负数没有平方根 平方根的表示法 3 无理数 即无限不循环小数 无理数不能写成分数的形式 1 8 2的平方根是 算术平方根是 8 8 2 的平方根是 算术平方根是 3 3 3 若x2 49 则x 若 9 则x 7 4 若 x 2 2 36 则x 9 8或 4 随堂练习 5 对于正数a 等于 a 7 下列各数中 不一定有平方根的是 a 2x2 5b x 2c d a 2 6 对于任意数a 等于 若a是正数 则等于a 若a是负数 则等于 a 若a是0 则等于0 d d 8 已知有意义 则下列说法正确的是 a 一定是正数b x一定是负数c x一定是非负数d x一定是非正数 9 已知 2x 2 36 y是 5 2的正的平方根 求代数式5x 3y的值 10 一个数的两个平方根分别是3a 2与5a 10 求这个数 解 因为一个数的平方根互为相反数 所以 3a 2 5a 10 0所以a 1 习题答案 5 1 29 44 2