高考数学一轮复习 2.3二次涵数与幂函数课件.ppt

课标版理数 2 3二次函数与幂函数 1 二次函数的定义形如 f x ax2 bx c a 0 的函数叫做二次函数 2 二次函数的三种表示形式 1 一般式 f x ax2 bx c a 0 2 顶点式 f x a x m 2 n a 0 3 两根式 f x a x x1 x x2 a 0 3 二次函数的图象和性质 1 图象 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象是以直线 x 为对称轴的抛物线 其开口方向由a的符号确定 顶点坐标为 2 性质 二次函数y ax2 bx c a 0 的单调区间以顶点的横坐标 分界 若a 0 则x 时 f x 单调递减 x 时 f x 单调递增 若a 0 则x 时 f x 单调递增 x 时 f x 单调递减 4 若二次函数y f x 恒满足f x m f x n 则其对称轴为x 5 幂的有关概念 1 正整数指数幂 an n n 2 零指数幂 a0 1 a 0 3 负整数指数幂 a p a 0 p n 4 正分数指数幂 a 0 m n n 且n 1 5 负分数指数幂 a 0 m n n 且n 1 6 0的正分数指数幂等于0 0的负分数指数幂没有意义 6 幂的运算性质 1 aras ar s a 0 r s q 7 函数 y x r 叫做幂函数 8 在幂函数y x y x2 y x3 y y x 1中 为奇函数的是y x y x3 y x 1 为偶函数的是y x2 定义域为r的是y x y x2 y x3 定义域为 0 的是y 在第一象限内是增函数的是y x y x2 y x3 y 是减函数的是y x 1 9 幂函数的性质 1 当 0时 幂函数y x 有下列性质 a 图象都通过点 0 0 1 1 b 在第一象限内 函数值随x的增大而增大 c 在第一象限内 1时 图象是向下凸的 0 1时 图象是向上凸的 2 当 0时 幂函数y x 有下列性质 a 图象都通过点 1 1 b 在第一象限内 函数值随x的增大而减小 图象是向下凸的 10 两个特殊幂函数的图象对于幂函数y x r 当 1时 y x的图象是直线 当 0时 y x0 1 x 0 的图象是不包括 0 1 点的 断 直线 1 y x2 y y 4x2 y x5 1 y x 1 2 y x y ax a 1 上述函数是幂函数的有 a 0个b 1个c 2个d 3个 答案c只有y x2 y x是幂函数 故选c 2 已知幂函数y f x 的图象经过点 则f 2 a b 4c d 答案c设f x x 因为图象过点 代入解析式得 f 2 故选c 3 若四个幂函数y xa y xb y xc y xd在同一坐标系中的图象如图 则a b c d的大小关系是 a d c b ab a b c dc d c a bd a b d c 答案b根据幂函数的性质及图象知选b 4 已知y f x 为二次函数 且f 0 5 f 1 4 f 2 5 求此二次函数的解析式 解析设f x ax2 bx c a 0 因为f 0 5 f 1 4 f 2 5 所以解得a b c 5 故f x x2 x 5 典例1 2014运城模拟 已知x 1 1 时 f x x2 ax 0恒成立 则实数a的取值范围是 a 0 2 b 2 c 0 d 0 4 答案a解析二次函数f x 的图象开口向上 对称轴为x x 1 1 时 f x x2 ax 0恒成立 f x 最小值 0 x 1 1 当 1 即a 2时 f 1 1 a 0 解得a 与a 2矛盾 二次函数 当 1 即a 2时 f 1 1 a 0 解得a 2 与a 2矛盾 当 1 1 即 2 a 2时 a 2 4 0 解得0 a 2 综上得实数a的取值范围是 0 2 选a 1 二次函数最值问题常见类型及处理方法解决二次函数求最值问题 一般先用配方法化成y a x m 2 n a 0 的形式 得顶点 m n 和对称轴方程x m 再结合二次函数的图象求解 常见类型有三 种 1 顶点固定 区间也固定 2 顶点含参数 即顶点为动点 区间固定 这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内 何时在区间之外 3 顶点固定 区间变动 这时要讨论区间中的参数 讨论的目的是确定对称轴和区间的关系 明确函数的单调性 从而确定函数的最值 2 二次函数与一元二次方程 一元二次不等式统称为 三个二次 它们常有机结合在一起 而二次函数又是 三个二次 的核心 它们通过二次函数的图象贯穿为一体 因此 有关二次函数的问题 数形结合 密切联系图象是探求解题思路的有效方法 1 1已知关于x的二次方程x2 2mx 2m 1 0 1 若方程有两根 其中一根在区间 1 0 内 另一根在区间 1 2 内 求m的范围 2 若方程两根均在区间 0 1 内 求m的范围 解析 1 由题意知 抛物线f x x2 2mx 2m 1与x轴的交点分别在区间 1 0 和 1 2 内 如图 所示 得 即 m 图 2 由题意知 抛物线与x轴的交点均落在区间 0 1 内 如图 所示 得 即 m 1 图 典例2已知幂函数f x 的图象过点 2 幂函数g x 的图象过点 1 求f x g x 的解析式 2 当x为何值时 f x g x f x g x f x g x 解析 1 设f x x 其图象过点 2 故2 解得 2 f x x2 设g x x 其图象过点 2 解得 2 g x x 2 幂函数 2 在同一直角坐标系下作出f x x2与g x x 2的图象 如图所示 由图象可知 f x g x 的图象均过点 1 1 与 1 1 当x 1或xg x 当x 1或x 1时 f x g x 当 1 x 1且x 0时 f x g x 1 作幂函数的图象要联系函数的定义域 值域 单调性 奇偶性等 只要作出幂函数在第一象限内的图象 然后根据它的奇偶性就可作出幂函数在定义域内完整的图象 2 利用幂函数的图象和性质可处理比较大小的问题 3 幂函数的图象最多只能同时过两个象限 一定过第一象限 一定不会过第四象限 若幂函数为偶函数 则同时过第二象限 若为奇函数 则同时过第三象限 若幂函数图象与坐标轴相交 则交点一定是原点 2 1已知幂函数f x m n 的图象关于y轴对称 且在 0 上是减函数 求满足 a 1 3 2a的a的取值范围 解析 函数f x 在 0 上递减 m2 2m 3 0 解得