高考数学一轮复习 6.4数列求和及数列的综合问题课件.ppt

课标版理数 6 4数列求和及数列的综合问题 1 等差数列前n项和sn 等比数列前n项和sn 2 常见数列的前n项和 1 1 2 3 n 2 2 4 6 2n n2 n 3 1 3 5 2n 1 n2 4 12 22 32 n2 3 1 分组求和 把一个数列分成几个可以直接求和的数列 2 裂项相消 有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式 相加消去中间项 只剩有限项再求和 3 错位相减 适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和 4 倒序相加 例如 等差数列前n项和公式的推导方法 4 常见的拆项公式 1 2 3 5 等比数列与等差数列的比较 6 数列常与不等式结合 如比较大小 不等式恒成立 求参数范围等 需熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题 数列作为特殊的函数 在实际问题中有着广泛的应用 如增长率 银行信贷 分期付款 合理定价等 7 解答数列应用题的基本步骤 1 审题 仔细阅读材料 认真理解题意 2 建模 将已知条件翻译成数学 数列 语言 将实际问题转化成数学问题 弄清该数列的结构和特征 3 求解 求出该问题的数学解 4 还原 将所求结果还原到实际问题中 8 数列应用题常见模型 1 等差模型 当后一个量与前一个量的差是一个固定量时 该模型是等差模型 这个固定量就是公差 2 等比模型 当后一个量与前一个量的比是一个固定的数时 该模型是等比模型 这个固定的数就是公比 3 递推数列模型 当题目中给出的前后两项之间的关系不固定 随项的变化而变化时 应考虑是an与an 1之间的递推关系 还是sn与sn 1之间的递推关系 1 设 an 是等比数列 则 a1 a2 a3 是 数列 an 是递增数列 的 a 充分而不必要条件b 必要而不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 答案c an 为等比数列 an a1 qn 1 若a10 q 1或a1 0 0 q 1 则数列 an 为递增数列 反之也成立 故选c 2 已知数列 an 前n项和为sn 1 5 9 13 17 21 1 n 1 4n 3 则s15 s22 s31的值是 a 13b 76c 46d 76 答案bs15 1 5 9 13 4 13 3 4 14 3 4 15 3 7 4 57 29 s22 1 5 9 13 4 21 3 4 22 3 11 4 44 s31 1 5 9 13 4 29 3 4 30 3 4 31 3 15 4 121 61 s15 s22 s31 29 44 61 76 故选b 3 已知等比数列 an 中 各项都是正数 且a1 a3 2a2成等差数列 则的值为 a 1 b 1 c 3 2d 3 2答案c设等比数列 an 的公比为q a1 a3 2a2成等差数列 a3 a1 2a2 a1q2 a1 2a1q 又a1 0 q2 2q 1 0 q 1 各项都是正数 q 0 q 1 1 2 3 2 4 已知数列 an 的前n项和为sn 且sn n2 n 数列 bn 满足bn n n tn是数列 bn 的前n项和 则t9等于 a b c d 答案d 数列 an 的前n项和为sn 且sn n2 n n 1时 a1 2 n 2时 an sn sn 1 2n an 2n n n bn t9 5 已知数列 an 的前n项和为sn 过点p n sn 和q n 1 sn 1 n n 的直线的斜率为3n 2 则a2 a4 a5 a9的值等于 a 52b 40c 26d 20答案b由题意得 3n 2 n n sn 1 sn 3n 2 n n 即an 1 3n 2 n n an 3n 5 n 2 所以a2 a4 a5 a9 2 a3 a7 4a5 40 故选b 6 已知等比数列 an 的首项为1 若4a1 2a2 a3成等差数列 则数列 an 的前5项和为 答案31解析 4a1 2a2 a3成等差数列 4a1 a3 4a2 4a1 a1q2 4a1q 解得q 2 所以s5 1 2 4 8 16 31 典例1 2014山东 19 12分 已知等差数列 an 的公差为2 前n项和为sn 且s1 s2 s4成等比数列 1 求数列 an 的通项公式 2 令bn 1 n 1 求数列 bn 的前n项和tn 解析 1 因为s1 a1 s2 2a1 2 2a1 2 s4 4a1 2 4a1 12 由题意得 2a1 2 2 a1 4a1 12 解得a1 1 所以an 2n 1 2 bn 1 n 1 1 n 1 数列求和 1 n 1 当n为偶数时 tn 1 当n为奇数时 tn 1 所以tn 1 利用裂项相消法求和时 应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项 也有可能前面剩两项 后面也剩两项 2 若 an 是等差数列 d 0 则 3 在求含有参数的等比数列的前n项和时 要分公比q 1和q 1进行讨论 由一个等差数列和一个等比数列对应项乘积组成的数列求和时 可利用错位相减法 4 用错位相减法求和时 应注意 1 要善于识别题目类型 特别是等比数列公比为负数的情形 2 在写出 sn 与 qsn 的表达式时应特别注意将两式 错项对齐 以便下一步准确写出 sn qsn 的表达式 1 1已知数列 an 的前n项和sn 3n 数列 bn 满足b1 1 bn 1 bn 2n 1 n n 1 求数列 an 的通项公式 2 求数列 bn 的通项公式 3 若cn 求数列 cn 的前n项和tn 解析 1 sn 3n sn 1 3n 1 n 2 an sn sn 1 3n 3n 1 2 3n 1 n 2 2分 当n 1时 2 31 1 2 s1 a1 3 an 4分 2 bn 1 bn 2n 1 b2 b1 1 b3 b2 3 b4 b3 5 bn bn 1 2n 3 n 2 以上各式相加得bn b1 1 3 5 2n 3 n 1 2 n 2 b1 1 bn n2 2n n 2 又上式对于n 1也成立 bn n2 2n n n 8分 3 由题意得cn 当n 2时 tn 3 2 0 31 2 1 32 2 2 33 2 n 2 3n 1 3tn 9 2 0 32 2 1 33 2 2 34 2 n 2 3n 相减得 2tn 6 2 32 2 33 2 3n 1 2 n 2 3n tn n 2 3n 3 32 33 3n 1 n 2 3n tn tn n n 12分 典例2 2013天津 19 14分 已知首项为的等比数列 an 不是递减数列 其前n项和为sn n n 且s3 a3 s5 a5 s4 a4成等差数列 1 求数列 an 的通项公式 2 设tn sn n n 求数列 tn 的最大项的值与最小项的值 解析 1 设等比数列 an 的公比为q 因为s3 a3 s5 a5 s4 a4成等差数列 所以s5 a5 s3 a3 s4 a4 s5 a5 即4a5 a3 于是q2 又 an 不是递减数列且a1 所以q 故等比数列 an 的通项公式为an 1 n 1 等差数列与等比数列的综合应用 2 由 1 得sn 1 当n为奇数时 sn随n的增大而减小 所以1sn s2 综上 对于n n 总有 sn 所以数列 tn 最大项的值为 最小项的值为 对等差 等比数列的综合问题的分析 应重点分析等差 等比数列的通项及前n项和 分析等差 等比数列项之间的关系 往往用到转化与化归的思 想方法 2 1 2014福建厦门一中期中 17 等差数列 an 的前n项和为sn a1 1 等比数列 bn 中 b1 1 若a3 s3 14 b2s2 12 1 求an与bn 2 设cn an 2bn n n 数列 cn 的前n项和为tn 若对n n 不等式tn 恒成立 求 的最大值 解析 1 设等差数列 an 的公差为d 等比数列 bn 的公比为q 则an 1 n 1 d bn qn 1 由题意得 2分 解得 4分 an 2n 1 bn 3n 1 6分 2 tn c1 c2 c3 cn a1 a2 a3 an 2 b1 b2 b3 bn 1 3 5 2n 1 2 1 3 32 3n 1 n2 3n 1 10分 tn 是递增数列 tn的最小值为t1 3 11分 又 tn 恒成立 3 故 的最大值为3 12分 典例3 2014四川 19 12分 设等差数列 an 的公差为d 点 an bn 在函数f x 2x的图象上 n n 1 若a1 2 点 a8 4b7 在函数f x 的图象上 求数列 an 的前n项和sn 2 若a1 1 函数f x 的图象在点 a2 b2 处的切线在x轴上的截距为2 求数列的前n项和tn 解析 1 由已知得 b7 b8 4b7 有 4 解得d a8 a7 2 所以 sn na1 d 2n n n 1 n2 3n 2 函数f x 2x的图象在 a2 b2 处的切线方程为 数列与函数 不等式的综合问题 y ln2 x a2 它在x轴上的截距为a2 由题意得 a2 2 解得a2 2 所以d a2 a1 1 从而an n bn 2n 所以tn 2tn 因此 2tn tn 1 2 所以 tn 解决数列与函数 不等式的综合问题的关键是从题设中提炼出数列的基本条件 综合函数与不等式的知识求解 数列是特殊的函数 以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇 点上命题的特点 3 1已知函数f x logkx k为常数 k 0且k 1 且数列 f an 是首项为4 公差为2的等差数列 1 求证 数列 an 是等比数列 2 若bn an f an 当k 时 求数列 bn 的前n项和sn 3 若cn anlgan 问是否存在实数k 使得 cn 中的每一项恒小于它后面的项 若存在 求出k的范围 若不存在 说明理由 解析 1 证明 由题意知f an 4 n 1 2 2n 2 即logkan 2n 2 an k2n 2 k2 常数k 0且k 1 k2为非零常数 数列 an 是以k4为首项 k2为公比的等比数列 2 由 1 知 bn anf an k2n 2 2n 2 当k 时 bn 2n 2 2n 1 n 1 2n 2 sn 2 23 3 24 4 25 n 1 2n 2 2sn 2 24 3 25 n 2n 2 n 1 2n 3 得sn 2 23 24 25 2n 2 n 1 2n 3 23 23 24 25 2n 2 n 1 2n 3 sn 23 n 1 2n 3 n 2n 3 3 由 1 知 cn anlgan 2n 2 k2n 2lgk 要使cn1时 lgk 0 n 1 lgk n 2 k2对一切n n 恒成立 故需k2 h n 1 单调递增 当n 1时 k2 又0 k 1 0 k 综上所述 存在实数k 1 满足条件 典例4 2012北京 8 5分 某棵果树前n年的总产量sn与n之间的关系如图所示 从目前记录的结果看 前m年的年平均产量最高 m的值为 a 5b 7c 9d 11 数列在实际问题中的应用 答案c解析前m年的年平均产量为 由各选项知求 的最大值 问题可转化为求图中4个点a 5 s5 b 7 s7 c 9 s9 d 11 s11 与原点连线的斜率的最大值 由图可知koc 最大 即前9年的年平均产量最高 故选c 用数列知识解决相关的实际问题 关键是列出相关信息 合理建立数学模型 数列模型 求解时 要明确目标 即搞清是求和 求通项 还是解递推关系问题 所求结论对应的是解方程问题 解不等式问题 还是最值问题 然后经过数学推理与计算得出结果 进而将结果放回到实际问题中进行检验 最终得出结论 4 1某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备m m的价值在使用过程中逐年减少 从第2年到第6年 每年初m的价值比上年初减少10万元 从第7年开始 每年初m的价值为上年初的75 1 求第n年初m的价值an的表达式 2 设an 若an大于80万元 则m继续使用 否则须在第n年初对m更新 证明 须在第9年初对m更新 an 120 10 n 1 130 10n 当n 7时 数列 an 是以