§5-7晶体中电子能态密度.doc

5-7 晶体中电子的能态密度571 带底附近的能态密度在本章第一节中，我们已经得到自由电子的态密度N（E），图5-7-1 自由电子能态密度（5-7-1）而且N(E)E的关系曲线已由图5-7-1给出。晶体中电子受到周期性势场的作用，其能量E(k)与波矢的关系不再是抛物线性质，因此式（5-7-1）不再适用于晶体中电子。下面以紧束缚理论的简立方结构晶格的s态电子状态为例，分析晶体中电子态密度的知识。由前面的紧束缚理论，我们已经得到简立方结构晶格的s能带的E(k)形式为：（5-7-2）其中能量极小植在点k=(0, 0, 0)处，其能量为，所以在点附近的能量，可以通过将展开为在k=0处的泰勒级数而得到，以，取前两项代入，可以得到：（5-7-3）在第五节，我们已经根据有效质量的定义，算得简立方晶格s带点处的有效质量为一个标量，（5-7-4）代入后，可得到（5-7-5）式（5-7-5）表明：在能带底k=0附近，等能面是球面，如果以及分别代替自由电子的能量E及质量m，就可得到晶体中电子在能带底附近的能态密度函数：（5-7-6）572 带顶附近的能态密度能带顶在的R点处，容易知道，其能量为。以R点附近的波矢代入E(k)表达式中，就得到在能量极大值附近的能量表达式：（5-7-7）再利用(，就可得到：（5-7-8）将式中余弦函数展开为后，上式变成：（5-7-9）或写成（5-7-10）式中，是波矢k与能带顶R的波矢之差。所以，若以R点为原点建立坐标系轴，则的意义就与的意义是一样的。因此，式（5-7-10）表示能量极大值附近的等能面是一些以R点为球心的球面。这样，我们就得到能带极大值附近的态密度函数：（5-7-11）虽然，式（5-7-10）和式（5-7-11）是从一个特例出发得到的，但却具有普遍意义。也就是说，当能带极值处的有效质量是各向同性的，等能面是球面时，式（5-7-10）和（5-7-11）均适用。573 非极值点处能态密度图5-7-2 紧束缚近似等能面AC当能量远离极值点时，晶体电子的等能面不再是球面。图5-7-2给出在截面上的简立方晶格电子等能面示意图。从图看出，从原点（点，是能带底）向外，等能面基本上保持为球面的原因在于周期性场的作用，使晶体电子能量下降，为得到与自由电子相同的能量E，晶体电子的波矢k就必然要大。当能量超过边界上的A点的能量时，等能面将不再是完整的闭合面。在顶角C点（能量极大值处）附近，等能面是被分割在顶角附近的球面，到达C点时，等能面缩成几个顶角点。在能量接近时，等能面向外突出，所以，这些等能面之图5-7-3 自由电子与晶体中电子态密度E自由电子近自由电子间的体积显然比球面之间的体积大，因而所包含的状态代表点也较多，使晶体电子的态密度在接近时比自由电子的显著增大（见图5-7-3）。当能量超过时，由于等能面开始残破，它们之间的体积愈来愈小，最后下降为零。因此，能量在到之间的态密度将随能量增加而逐渐减小，最后下降为零，如图5-7-3所示。如果考虑两个没有交叠的能带的态密度，下面一个带的态密度曲线亦如图5-7-3所示，在能带顶处态密度为零。在禁带内亦一直保持为零（因禁带内无电子的量子态存在），当能量到达上面能带的带底时，态密度才又随能量的增加而增加，如图5-7-4（a）所示。如果所考虑的能带有交叠，则两能带态密度也会发生交叠，态密度函数如图5-7-4（b）所示。可见，交叠能带与不交叠能带的态密度函数是很不相同的，这一点，可以从软X射线发射谱中得到证明。 （a） (b)图5-7-4 （a）不交叠能带（b）交叠能带当晶体受到能量约为电子伏特的电子撞击时，低能带中的一些电子被激发，因而在能带中留下空能级。由于低能带是很窄的，可近似看作是分立能级。当高能带中的电子落入低能带中的空能级上时，就发射出x射线。因这种X射线的波长较长(约100)，所以，称之为软x射线软x射线发射谱的强度I(E)与能量等于E处的态密度N(E)成正比，亦与能量为E的电子向空能级跃迁的几率W(E)(或称发射几率)成正比，即 I(E)W(E)N(E)图5-7-5 金属与非金属的X射线发射谱上式中的W(E)是一个随E连续缓变的函数，所以，可以认为，I(E)主要由E（E)随E的变化来决定。也就是说，软x射线发射谱的形状直接反映出晶体电子态密度的特征。图5-7-5是几种典型的金属与非金属的X射线发射谱由图看出，各晶体的发射谱在低能方面都是随能量增加而逐渐上升的，说明从能带底起，随着电子能量的增加，态密度逐渐增大；在高能端，金属的x射线发射谱是突然下降的，所对应的能量大致与费米能相同；非金属的发射增则随能量增加而逐渐下降为零这正好反映了金属与非金届的电子填充能带的状况。金属中的电子没有填满能带，电子填充的最高能级的能量约为，态密度，所以，发射谱就突然下降。镁