高中数学 4.1.1利用函数的性质判定方程解的存在课件 北师大版必修1.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 北师大版 必修1 函数应用 第四章 第四章 1函数与方程 1 1利用函数的性质判定方程解的存在 二次函数是我们很熟悉的一类函数 以前我们曾研究过其图像与性质 请大家画几个函数的图像 画草图即可 1 y x2 2x 3 2 y x2 2x 1 3 y x2 2x 3 画完以后 请说出你能知道的知识 如果我们把二次函数与其相关的方程 x2 2x 3 0 x2 2x 1 0 x2 2x 3 0放在一起观察 又会有什么发现呢 你能再找几个函数与相应的方程看看我们的想法是否正确吗 1 函数的零点我们把函数y f x 的图像与横轴的交点的 称为这个函数的零点 2 零点存在定理一般地 如果函数y f x 在闭区间 a b 上的图像是连续曲线 并且有 那么 函数y f x 在区间 a b 内至少有一个零点 即至少存在一个c a b 使得f c 这个c就是方程f x 0的解 横坐标 f a f b 0 0 3 二次函数零点与二次方程实根个数的关系 1 函数f x x2 3x 4的零点是 a 1 4b 4 1c 1 3d 不存在 答案 b 解析 令x2 3x 4 0 解得x 4或 1 零点为4 1 答案 d 解析 由f x 0知f x 不存在零点 3 函数f x lnx 1的零点所在的大致区间为 a 1 2 b 2 3 c 3 4 d 4 5 答案 b 解析 因为在给出的区间中 只有f 2 f 3 0 而在其余区间两个端点处的函数值均同号 4 二次函数y ax2 bx c中 ac0 所以二次函数与x轴有两个交点 故函数有两个零点 5 若f x x x 2 则y f x 的零点个数为 答案 1 求函数的零点 规律总结 1 函数零点的求法 解方程f x 0 所得实数解就是f x 的零点 解三次以上的高次方程时 一般需要因式分解 2 对于不能用求根公式的方程f x 0 可以将它与函数y f x 的图像联系起来 图像与x轴交点的横坐标即为函数的零点 答案 d 解析 函数不存在零点即函数不与x轴相交或方程无实根 对选项a 有两个零点 1或1 对选项b 因为 1 2 4 2 1 9 0 有两个零点 对选项c 有两个零点 1和1 只有d无零点 函数的零点与方程根的关系 已知函数f x ax b有一个零点是2 求g x bx2 ax的零点 思路分析 先由f x 的零点求a b的关系 再求g x 的零点 规律总结 1 函数y f x 的零点就是对应方程f x 0的根 2 二次函数的零点与一元二次方程的实根的关系如下表 求函数y x3 7x 6的零点 解析 x3 7x 6 x3 x 6x 6 x x2 1 6 x 1 x x 1 x 1 6 x 1 x 1 x2 x 6 x 1 x 2 x 3 由x3 7x 6 0即 x 1 x 2 x 3 0得x1 3 x2 1 x3 2 函数y x3 7x 6的零点为 3 1 2 函数零点个数的判断 判断函数f x x 3 lnx的零点的个数 思路分析 构造函数y lnx和函数y x 3 从而将原问题转化为判断这两个函数图像交点的个数问题 也可利用函数的单调性借助函数零点的存在性定理来判断 规范解答 解法1 在同一平面直角坐标系中画出函数y lnx y x 3的图像 如图所示 由图可知函数y lnx y x 3的图像只有一个交点 即函数f x x 3 lnx只有一个零点 规律总结 判断函数零点的个数的方法主要有 1 对于一般函数的零点个数的判断问题 可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性 然后借助于函数的单调性判断零点的个数 2 由f x g x h x 0 得g x h x 在同一坐标系下作出y1 g x 和y2 h x 的图像 利用图像判定方程根的个数 函数零点的性质 规律总结 这是最基本的题型 所用的方法也是基本方法 只要判断区间 a b 的端点值的乘积是否有f a f b 0 并且看函数f x 的图像在 a b 上是否是连续曲线即可 解答这类判断函数零点的大致区间的选择题 只需用零点的性质依次检验所提供的区间 即可得到答案 方程 x 1 x 2 x 3 x 0的一个实数根所在的大致区间不可能是 a 3 2 b 2 1 c 0 2 d 2 4 答案 d 解析 设f x x 1 x 2 x 3 x 则其图像是连续曲线 又知f 3 30 所以f x 在 3 2 内有零点 即原方程在 3 2 内有实数解 同理原方程在 2 1 0 2 内也必有实数解 而在区间 2 4 上恒有f x 0 所以f x 在 2 4 内没有零点 故选d 函数零点的应用 若函数y ax2 x 1只有一个零点 求实数a的取值范围 思路分析 由分类讨论思想分为a 0 a 0两种情况分别对一次函数 二次函数加以判断 若函数f x x2 2x a的两个零点中一个大于1 另一个小于1 那么实数a的取值范围是 答案 a 3 解析 依题意 由图像可知f 1 3 关于x的方程mx2 2 m