河北省保定市物探中心学校第四分校高中数学一轮复习 导数应用 最大值与最小值课件 新人教A版.ppt

高中数学选修导数 2019年12月27日 书山有路勤为径 学海无崖苦作舟 少小不学习 老来徒伤悲 成功 艰苦的劳动 正确的方法 少谈空话 天才就是百分之一的灵感 百分之九十九的汗水 天才在于勤奋 努力才能成功 导数的应用 最大值与最小值 知识回顾 1 用导数法确定函数的单调性时的步骤是 1 求出函数的导函数 2 求解不等式f x 0 求得其解集 再根据解集写出单调递增区间 3 求解不等式f x 0 求得其解集 再根据解集写出单调递减区间 3 检查f x 在方程f x 0的根的左右的符号 并根据符号确定极大值与极小值 口诀 左负右正为极小 左正右负为极大 2 求可导函数f x 的极值的步骤 1 确定函数的定义区间 求导数f x 2 求方程f x 0的根 3 是可导函数f x 在x x0处取极值的必要而不充分条件 4 在x0两侧的导数异号是x0为极值点的充要条件 新课讲授 1 函数的最大值和最小值 观察图中一个定义在闭区间上的函数的图象 图中与是极小值 是极大值 函数在上的最大值是 最小值是 一般地 在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值 说明 在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值 如函数在内连续 但没有最大值与最小值 函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的 函数的极值是比较极值点附近函数值得出的 函数在闭区间上连续 是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件 函数在其定义区间上的最大值 最小值最多各有一个 而函数的极值可能不止一个 也可能没有一个 2 将y f x 的各极值与f a f b 比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个最小值 2 设函数f x 在 a b 上连续 f x 在 a b 在内可导 求f x 在闭区间 a b 上的最值的步骤 1 求f x 在区间 a b 内极值 极大值或极小值 一是利用函数性质 如函数图象 函数单调性等 二是利用不等式三是利用导数 3 求函数最值的一般方法 例1 求函数f x x2 4x 6在区间 1 5 内的最大值和最小值 法一 利用二次函数单调性 将二次函数f x x2 4x 6配方 结合二次函数图像来解决 例题讲解 法二 利用导数 f x 2x 4 令f x 0 即2x 4 0 得x 2 故函数f x 在区间 1 5 内的极小值为3 最大值为11 最小值为2 3 11 2 例2求函数f x x2 3x 2 在 3 4 上的最大值与最小值 解 比较可得f 3 20是f x 在 3 4 上的最大值 f 1 f 2 0是f x 在 3 4 上的最小值 例3 一个圆的内接矩形中 正方形的面积最大 法一 设半径为r 常数 矩形长为一边长为x 则面积 此时另一边长为 因为s x 只有一个极值 x过小或过大s x 都变小所以正方形面积最大 a b c 负值舍去 矩形为正方形 不等式当且仅当时取等号 此时矩形为正方形 当且仅当 法三 上式取等号 此时矩形是正方形 法二 设 则 例4已知 x 0 是否存在实数a b 使f x 同时满足下列两个条件 1 f x 在 0 1 上是减函数 在 1 上是增函数 2 f x 的最小值是1 若存在 求出实数a b 若不存在 说明理由 解 令 f x 在 0 1 上是减函数 在 1 上是增函数 g x 在 0 1 上是减函数 在 1 上是增函数 g 1 0 经检验 a 1 b 1时 f x 满足题设的两个条件 解得 f x 的最小值是1 g x 的最小值是3 g 1 3 1 下列说法正确的是 a 函数的极大值就是函数的最大值b 函数的极小值就是函数的最小值c 函数的最值一定是极值d 在闭区间上的连续函数一定存在最值2 函数y f x 在区间 a b 上的最大值是m 最小值是m 若m m 则f x a 等于0b 大于0c 小于0d 以上都有可能 课堂练习 d a 3 函数 在 1 1 上的最小值为 a 0b 2c 1d 4 函数的最大值为 a b 1c d a a 课堂练习 5 函数在上的最小值是 6 函数在上的最大值为 最小值为 7 将正数a分成两部分 使其立方和为最小 这两部分应分成 和 8 使内接椭圆的矩形面积最大 矩形的长为 宽为 9 在半径为r的圆内 作内接等腰三角形 当底边上高为 时 它的面积最大 15 课堂小结 函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中 导数等于零的点 导数不存在的点 区间端点 函数f x 在闭区间 a b 上连续 是f x 在闭区间 a b 上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件 闭区间 a b 上的连续函数一定有最值