高中数学 1.1.1 数列的概念同步课件 北师大版必修5.ppt

1 了解数列 通项公式的概念 能根据通项公式确定数列的某一项 重点 2 能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式 难点 an 与an有何区别 提示 数列的项通常用字母加右下角标表示 其中右下角标表示项的位置序号 如an表示这个数列的第n项 an 与an是不同的 an 表示数列a1 a2 a3 an 这里 an 是数列的简记符号 并不表示一个集合 数列与函数的关系数列函数数列的通项公式就是相应函数的解析式 它揭示了数列 an 中第n项an与n之间的函数关系 一般用式子an f n 表示 数列的有关概念 数列的项与项数的区别数列的项是指这个数列中的某一个确定的数 是一个函数值 也就是相当于f n 而项数是指这个数在数列中的位置序号 它是自变量的值 相当于f n 中的n 数列是按一定 次序 排成的一列数 一个数列不仅与组成数列的 数 有关 而且与这些数的排列顺序有关 因此 如果组成数列的数相同而排列次序不同 那么它们就是不同的数列 例1 下列说法哪些是正确的 哪些是错误的 并说明理由 1 0 1 2 3 4 是有穷数列 2 所有自然数能构成数列 3 3 1 1 x 5 7 y 11是一个项数为8的数列 4 数列1 2 3 4 2n是无穷数列 审题指导 解决本题的关键是正确掌握数列的有关概念和特点 逐项的分析判断正误 规范解答 1 错误 0 1 2 3 4 是集合 不是数列 2 正确 如将所有自然数按从小到大的顺序排列 3 错误 当x y代表数时为项数为8的数列 当x y中有一个不代表数时 便不是数列 这是因为数列必须是由一列数按一定的次序排列所组成的 4 错误 数列1 2 3 4 2n 共有2n项 是有穷数列 变式训练 下列说法中 正确的是 a 数列1 3 5 7可表示为 1 3 5 7 b 数列1 0 1 2与数列 2 1 0 1是相同数列 c 数列 的第k项为1 d 数列0 2 4 6 8 可记作 2n 解析 选c 解此题需对数列与集合的含义理解透彻 a项中 1 3 5 7 表示的是集合而不是数列 b项中数列中的各元素是有顺序的 所以是不同数列 d项中的 2n 并不能把前边的数列体现出来 误区警示 解决这类问题最容易出现的问题是对概念把握不准 似是而非 如选项a很多同学误选 所以解决这类问题需要扣住定义解决 探求数列的通项公式 通项公式写法技巧已知数列的前几项 写出数列的一个通项公式 是一种常见的数列问题 解决这一问题时要注意以下几点 1 通过观察 分析 联想 比较 去发现项与序号之间的关系 2 如果关系不明显 可将之同时加上或减去一个数 或分解 还原等 将规律呈现出来 便于找通项公式 3 要借助一些基本数列的通项 如正整数数列 正整数的平方数列 奇数列 偶数列等 4 符号用 1 n或 1 n 1来调整 5 分式的分子 分母分别找通项 同时 还要充分借助分子 分母的关系 同一个数列的通项公式不一定是唯一的 如数列 1 1 1 1 的通项公式可以写成an 1 n n n 也可以写成an sin n n 等 例2 已知数列的前几项 写出下面数列的一个通项公式 1 1 3 7 15 31 2 5 55 555 5555 3 4 5 1 2 1 2 1 2 审题指导 解决本题有三步 一是观察数列中各项的特点 二是寻找项与序号之间的关系 三是根据以上两点写出一个合适的能够代表各项的通项公式 规范解答 1 注意观察 发现各项分别加上1 变为2 4 8 16 32 其通项公式为2n 故原数列的一个通项公式为an 2n 1 2 各项乘 变为9 99 999 9999 各项加上1 又变为10 100 1000 10000 而这一数列的通项公式为10n 可得原数列的一个通项公式为an 10n 1 3 观察所给数列的各项有这样几个特点 符号正负交替 整数部分构成奇数数列 分母为从2开始的自然数的平方 分子构成自然数数列 综合这些特点 写出表达式再化简即可 由所给的几项可得an 1 n 2n 1 所以an 1 n 4 数列的符号规律是 1 n 1 使各项分子为4 变为 再把各分母分别加1 又变为 所以数列的一个通项公式是an 5 根据各项的特点 是隔项相等 所以可以写成分段函数形式 an 互动探究 本例中的第 5 个数列还有其他的通项公式吗 解析 可看成两个数列的合成 1 1 1 1 与0 1 0 1 所以an 1 即an 变式训练 根据数列的前几项 写出下列各数列的一个通项公式 1 1 7 13 19 2 2 8 3 4 0 3 8 15 24 5 1 解析 1 符号问题可通过 1 n或 1 n 1表示 其各项的绝对值的排列规律为 后面的数的绝对值比前面的数的绝对值大6 故通项公式为an 1 n 6n 5 2 统一分母为2 则有 因而有an 3 方法一 把各项的整数部分与分数部分拆开 得an 方法二 将数列中各项变形后得 即 分别观察分子分母可知an 4 观察数列可知数列递增速度较快 有点像成平方的递增 不妨用平方数列对照看一看 即12 22 32 42 52 很快发现an n2 1 5 显然各项的分子均为1 其关键在分母上 而分母的规律不是很明显 注意到分母组成的数列1 3 7 13 21 递增速度也有点像平方数列 不妨从平方数列的每一项减去对应项组成数列0 2 6 12 20 其规律也就明显了 an 数列的通项公式的应用 1 利用数列的通项公式求某项的方法数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系 只要用序号代替公式中的n 就可以求出数列的相应项 2 判断某数值是否为该数列的项的方法先假定它是数列中的第n项 然后列出关于n的方程 若方程解为正整数则是数列的一项 若方程无解或解不是正整数 则不是该数列的一项 例3 数列 an 的通项公式是an n n 1 0和1是不是数列 an 中的项 如果是 那么是第几项 2 数列 an 中是否存在连续且相等的两项 若存在 分别是第几项 审题指导 解答本题的关键是正确利用方程思想 第 1 问要研究an 0和an 1是否有正整数解 第 2 问要把握准 连续 两字列方程 规范解答 1 若0是 an 中的第n项 则 0 n n n 21 0是 an 中的第21项 若1是 an 中的第n项 则 1 n2 21n 2 即n2 21n 2 0 方程n2 21n 2 0不存在正整数解 1不是 an 中的项 2 假设 an 中存在第m项与第m 1项相等 即am am 1 则解得m 10 数列 an 中存在连续的两项第10项与第11项相等 变式训练 2011 成都高二检测 已知数列 an 的通项公式是an n n 2 则220是这个数列的 a 第19项 b 第20项 c 第21项 d 第22项 解题提示 解答本题的关键是令an 220 求出n的正整数解 解析 选b 令an n 2 220 则解得n 20或n 22 舍 故220是这个数列的第20项 故选b 观察归纳猜想求通项 观察归纳猜想求通项的方法这是一种不完全归纳法 需要认真分析每一个等式 找出它们之间的联系 观察它们的相同与不同 特别是第n个式子与n之间的关系 用归纳法写出数列的一个通项公式 体现了由特殊到一般的思维规律 对于项的结构比较复杂的数列 可将其分成几个部分分别考虑 然后将它们按运算规律结合起来 这样纵横联系 得出结论 例 观察下列等式 1 1 根据以上规律猜想并写出第n个等式 2 证明你写出的等式是否成立 审题指导 解决本题首先观察各个式子的特点 分析它们之间的相同与不同 然后归纳an与n的关系式 从而写出第n个关系式 规范解答 1 第n个等式为 2 成立 变式备选 数列0 2 0 22 0 222 0 2222 0 22222 的一个通项公式是 解析 所给数列0 2 0 22 0 222 0 2222 0 22222 可以改写成 0 9 0 99 0 999 0 9999 0 99999 可以看作 1 0 1 1 0 01 1 0 001 1 0 0001 1 0 00001 因此所给数列的通项公式为an 答案 an 典例 2011 福州模拟 把1 3 6 10 15 21 这些数叫做三角形数 这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形 如图 则第7个三角形数是 a 27 b 28 c 29 d 30 审题指导 观察三角形数的增长规律 可以发现每一项比它的前一项多的点数正好是本身的序号 所以根据这个规律计算即可 规范解答 选b 根据三角形数的增长规律1 3 6 10 15 21 可以发现从第二项起 每一项与前一项的差是这一项本身的序号 即a2 a1 2 a3 a2 3 a4 a3 4 an an 1 n 根据这个规律所以第七个三角形数是a7 a6 7 28 故选b 误区警示 对解答本题时易犯的错误具体分析如下 即时训练 图中由火柴棒拼成的一列图形中 第n个图形由n个正方形组成 通过观察可以发现 第4个图形中 火柴棒有 根 第n个图形中 火柴棒有 根 解析 第1个图形中 火柴棒有4根 第2个图形中 火柴棒有4 3根 第3个图形中 火柴棒有4 3 3 4 3 2根 第4个图形中 火柴棒有4 3 3 3 4 3 3根 第n个图形中 火柴棒有4 3 n 1 3n 1根 答案 133n 1 1 数列 中第10项是 a b c d 解析 选d an a10 故选d 2 下列叙述正确的是 a 同一个数在数列中可能重复出现 b 数列的通项公式是定义域为正整数集n 的函数 c 任何数列的通项公式都存在 d 数列的通项公式是惟一的 解析 选a 数列的通项公式的定义域是正整数集n 或它的有限子集 b错误 并不是所有数列都有通项公式 c错误 数列 1 1 1 1 的通项公式可以写成an 1 n 也可以写成an 1 n 2 d错误 故选a 3 已知数列的通项an 则a2009 a2010等于 a 2007 b 2008 c 2009 d 2010 解析 选c a2009 3