高三数学一轮复习 平行、垂直的综合问题热点专题突破课件.ppt

热点专题突破系列 四 平行 垂直的综合问题 考点1平行 垂直的证明问题 典例1 如图 在四棱锥s abcd中 底面abcd是矩形 sa 底面abcd sa ad 点m是sd的中点 an sc 且交sc于点n 1 求证 sb 平面acm 2 求证 平面sac 平面amn 解题视点 1 作出辅助线 在平面amc内找到一条直线与sb平行 利用线面平行判定定理证明 2 先确定线线垂直 然后再证明面面垂直 规范解答 1 如图 连接bd 交ac于点o 连接mo 因为abcd为矩形 所以o为bd中点 又m为sd的中点 所以mo sb 又因为mo 平面acm sb 平面acm 所以sb 平面acm 2 因为sa 平面abcd 所以sa cd 因为abcd为矩形 所以cd ad 且sa ad a 所以cd 平面sad 所以cd am 因为sa ad m为sd的中点 所以am sd 且cd sd d 所以am 平面scd 所以am sc 又因为sc an 且an am a 所以sc 平面amn 因为sc 平面sac 所以平面sac 平面amn 规律方法 1 平行 垂直关系的判定方法 1 对于平行直线可通过作辅助线 利用三角形或梯形中位线的性质及线面平行与面面平行的性质定理 2 垂直关系可采用线面垂直的性质解决 2 空间线面的位置关系的判定方法 1 证明直线与平面平行 设法在平面内找到一条直线与已知直线平行 解答时合理利用中位线性质 线面平行的性质 或构造平行四边形 寻求比例关系确定两直线平行 2 证明直线与平面垂直 主要途径是找到一条直线与平面内的两条相交直线垂直 解题时注意分析观察几何图形 寻求隐含条件 3 空间面面的位置关系的判定方法 1 证明面面平行 需要证明线面平行 要证明线面平行需证明线线平行 将 面面平行 问题转化为 线线平行 问题 2 证明面面垂直 将 面面垂直 问题转化为 线面垂直 问题 再将 线面垂直 问题转化为 线线垂直 问题 变式训练 2014 苏北四市模拟 如图 在四棱锥p abcd中 四边形abcd是菱形 pb pd 且e f分别是bc cd的中点 求证 1 ef 平面pbd 2 平面pef 平面pac 证明 1 因为e f分别是bc cd的中点 所以ef bd 因为ef 平面pbd bd 平面pbd 所以ef 平面pbd 2 设bd交ac于点o 连接po 因为abcd是菱形 所以bd ac o是bd中点 又pb pd 所以bd po 又ef bd 所以ef ac ef po 又ac po o ac 平面pac po 平面pac 且ef 平面pac 所以ef 平面pac 因为ef 平面pef 所以平面pef 平面pac 加固训练 如图 四棱锥p abcd中 pa 底面abcd ab ad 点e在线段ad上 且ce ab 1 求证 ce 平面pad 2 若pa ab 1 ad 3 cd cda 45 求四棱锥p abcd的体积 解析 1 因为pa 平面abcd ce 平面abcd 所以pa ce 因为ab ad ce ab 所以ce ad 又pa ad a 所以ce 平面pad 2 由 1 可知ce ad 在rt ecd中 de cdcos45 1 ce cdsin45 1 又因为ab ce 1 ab ce ab ad 所以四边形abce为矩形 所以s四边形abcd s四边形abce s ced ab ae ce de 1 2 1 1 又pa 平面abcd pa 1 所以vp abcd sabcd pa 考点2立体几何中的折叠问题 典例2 2013 湖北高考 如图甲 在平面四边形abcd中 已知 a 45 c 90 adc 105 ab bd 现将四边形abcd沿bd折起 使平面abd 平面bdc 如图乙 设点e f分别为棱ac ad的中点 1 求证 dc 平面abc 2 设cd a 求三棱锥a bfe的体积 解题视点 1 dc 平面abc 应在平面abc内找到两条相交直线与直线dc垂直 2 求三棱锥a bfe的体积可根据图形将其转化为求三棱锥f bae的体积 规范解答 1 在图甲中因为ab bd且 a 45 所以 adb 45 abd 90 即ab bd 在图乙中 因为平面abd 平面bdc 且平面abd 平面bdc bd 所以ab 底面bdc 所以ab cd 又 dcb 90 所以dc bc 且ab bc b 所以dc 平面abc 2 因为e f分别为ac ad的中点 所以ef cd 又由 1 知 dc 平面abc 所以ef 平面abc 所以在图甲中 因为 adc 105 所以 bdc 60 dbc 30 由cd a得bd 2a 所以所以所以 规律方法 折叠问题的求解策略 1 解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量 一般情况下 长度是不变量 而位置关系往往会发生变化 抓住不变量是解决问题的突破口 2 在解决问题时 要综合考虑折叠前后的图形 既要分析折叠后的图形 也要分析折叠前的图形 解决折叠问题的关注点平面图形折叠成空间图形 主要抓住变与不变的量 所谓不变的量 即是指 未折坏 的元素 包括 未折坏 的边和角 一般优先标出未折坏的直角 从而观察是否存在线面垂直 然后标出其他特殊角 以及所有不变的线段 变式训练 已知菱形abcd的边长为6 bad 60 ac bd o 将菱形abcd沿对角线ac折起 得到三棱锥 如图 点m是棱bc的中点 dm 3 1 求证 平面abc 平面mdo 2 求三棱锥m abd的体积 解析 1 由题意 om od 3 因为dm 3 所以 dom 90 od om 又因为四边形abcd是菱形 所以od ac 因为om ac o 所以od 平面abc 因为od 平面mdo 所以平面abc 平面mdo 2 三棱锥m abd的体积等于三棱锥d abm的体积 由 1 知 od 平面abc 所以od 3为三棱锥d abm的高 abm的面积为所求体积等于 加固训练 2013 临沂模拟 如图 在边长为3的正三角形abc中 g f为边ac的三等分点 e p分别是ab bc边上的点 满足ae cp 1 今将 bep cfp分别沿ep fp向上折起 使边bp与边cp所在的直线重合 b c折后的对应点分别记为b1 c1 1 求证 c1f 平面b1ge 2 求证 pf 平面b1ef 证明 1 取ep的中点d 连接fd c1d 因为bc 3 cp 1 所以折起后c1为b1p的中点 所以在 b1ep中 dc1 eb1 又因为ab bc ac 3 ae cp 1 所以 所以ep 2且ep gf 因为g f为ac的三等分点 所以gf 1 又因为ed ep 1 所以gf ed 所以四边形gedf为平行四边形 所以fd ge 又因为dc1 fd d ge b1e e 所以平面dfc1 平面b1ge 又因为c1f 平面dfc1 所以c1f 平面b1ge 2 连接ef b1f 由已知得 epf 60 且fp 1 ep 2 由余弦定理 得ef2 12 22 2 1 2 cos60 3 所以fp2 ef2 ep2 可得pf ef 因为b1c1 pc1 1 c1f 1 得fc1 b1c1 pc1 所以 pb1f的中线c1f pb1 可得 pb1f是直角三角形 即b1f pf 因为ef b1f f ef b1f 平面b1ef 所以pf 平面b1ef 考点3立体几何中的存在性问题 典例3 如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观图 侧视图 俯视图 在直观图中 m是bd的中点 侧视图是直角梯形 俯视图是等腰直角三角形 有关数据如图所示 1 求该几何体的体积 2 求证 em 平面abc 3 试问在棱dc上是否存在点n 使mn 平面bde 若存在 确定点n的位置 若不存在 请说明理由 解题视点 1 根据直观图与三视图的关系 确定相关线段的长度及线线 线面的位置关系 确定几何体的高 2 取bc的中点g 证明四边形agme为平行四边形 利用线面平行的判定定理证明 3 假设在棱dc上存在点n 使mn 平面bde 通过相关的性质及相似三角形的性质确定n点的位置 规范解答 由题意知 ea 平面abc dc 平面abc ae dc ae 2 dc 4 ab ac且ac ab 2 1 因为ea 平面abc 所以ea ab 又因为ab ac ea ac a 所以ab 平面acde 所以四棱锥b acde的高h ab 2 又梯形acde的面积s 6 所以vb acde sh 4 2 取bc的中点g 连接em mg ag 因为m为db的中点 所以mg dc 且mg dc 所以mg ae mg ae 所以四边形agme为平行四边形 所以em ag 又em 平面abc ag 平面abc 所以em 平面abc 3 由 2 知em ag 又因为平面bcd 底面abc ag bc 所以ag 平面bcd em 平面bcd 又因为em 平面bde 所以平面bde 平面bcd 在平面bcd中 过m作mn db交dc于点n 所以mn 平面bde 此时点n即为所求点 因为 dmn dcb 所以即所以dn 3 即dn dc 所以 边dc上存在点n 当满足dn dc时 mn 平面bde 规律方法 解决探索性问题的方法 1 对命题条件的探索三种途径 途径一 先猜后证 即先观察与尝试给出条件再证明 途径二 先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件 再证明充分性 途径三 将几何问题转化为代数问题 探索出命题成立的条件 2 对命题结论的探索方法 从条件出发 探索出要求的结论是什么 对于探索结论是否存在 求解时常假设结论存在 再寻找与条件相容或者矛盾的结论 变式训练 2014 杭州模拟 如图 在直角梯形abcd中 abce是边长为2的正方形 且ad 2 沿ce将 cde折起 使得ad ed 1 求证 平面dab 平面dec 2 在线段ab上是否存在点g 使得二面角c ed g的余弦值为 说明理由 解析 1 因为ce ae ce de 所以ce 平面ade 所以ce ad 又折起前ad 2 ae 2 所以折起后ad ed 由勾股定理得ad de 所以ad 平面dec 所以平面dab 平面dec 2 如图 取ae的中点o bc的中点f 连结od of 因为da de 所以do ae 因为ce 平面ade 所以平面dae 底面abce 又平面dae 平面abce ae 所以do 平面abce 而o f分别为ae bc的中点 所以of ab 又abce是正方形 故of ae 又da de 所以od 1 以o为原点 直线oa of od分别为x y z轴建立空间直角坐标系 则有a 1 0 0 e 1 0 0 d 0 0 1 若在ab上存在点g 使得二面角c ed g的余弦值为 连结eg dg 设g 1 a 0 0 a 2 由 1 知平面dce的一个法向量为 1 0 1 设平面ged的法向量为n x y z 因为 1 0 1 2 a 0 所以 在线段ab上存在点g 1 0 使得二面角c ed g的余弦值为 加固训练 2013 莱芜模拟 已知正三棱柱abc a1b1c1中 ab 2 aa1 点d为ac的中点 点e在线段aa1上 1 当ae ea1 1 2时 求证de bc1 2 是否存在点e 使三棱锥c1 bde的体积恰为三棱柱abc a1b1c1体积的 若存在 求ae的长 若不存在 请说明理由 解析 1 因为三棱柱abc a1b1c1为正三棱柱 所以 abc是正三角形