高考数学 8.5椭圆配套课件 文 新人教A版 .pptVIP

第五节椭圆 三年19考高考指数 1 掌握椭圆的定义 几何图形 标准方程及简单几何性质 2 了解椭圆的实际背景 了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 3 理解数形结合的思想 1 椭圆的定义 标准方程 几何性质是高考的重点 而直线与椭圆的位置关系既是高考的重点也是高考的热点 2 椭圆的定义 标准方程 几何性质常常独立考查 直线与椭圆的位置关系 往往与向量 函数 不等式等知识交汇命题 3 选择题 填空题 解答题三种题型都有可能出现 选择 填空题经常考查椭圆的定义 标准方程 几何性质 解答题经常以两问的形式出现 第一问考查椭圆的定义 标准方程以及几何性质 第二问则考查直线与椭圆的位置关系及学生分析问题 解决问题的能力 1 椭圆的定义 1 满足条件 在平面内 与两个定点f1 f2的距离之和等于 常数大于 2 焦点 两定点 3 焦距 两 间的距离 常数 f1f2 焦点 即时应用 判断下列点的轨迹是否为椭圆 请在括号内填 是 或 否 1 平面内到点a 0 2 b 0 2 距离之和等于2的点的轨迹 2 平面内到点a 0 2 b 0 2 距离之和等于4的点的轨迹 3 平面内到点a 0 2 b 0 2 距离之和等于6的点的轨迹 解析 由椭圆的定义可知 1 距离之和小于 ab 所以点的轨迹不存在 2 距离之和等于 ab 点的轨迹是以a b为端点的一条线段 3 符合椭圆定义 点的轨迹是以a b为焦点 长轴长为6的椭圆 答案 1 否 2 否 3 是 2 椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 对称轴 坐标轴对称中心 原点 长轴a1a2的长为2a短轴b1b2的长为2b 图形 性质 范围 对称性 顶点 轴 a b 0 性质 焦距 离心率 a b c的关系 标准方程 a b 0 即时应用 1 思考 椭圆离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系 提示 因为离心率 所以 离心率越接近于1 b就越接近于0 即短轴的长接近于0 椭圆就越扁 离心率越接近于0 a b就越接近 即椭圆的长 短轴长越接近相等 椭圆就越接近于圆 但永远不会为圆 2 已知椭圆的焦点在y轴上 椭圆的离心率为 则m的值为 解析 的焦点在y轴上 所以a2 m b2 2 离心率为 又离心率为 所以 解得m 答案 椭圆的定义 标准方程 方法点睛 1 椭圆定义的应用利用椭圆的定义解题时 一方面要注意常数2a f1f2 这一条件 另一方面要注意由椭圆上任意一点与两个焦点所组成的 焦点三角形 中的数量关系 2 椭圆的标准方程 1 当已知椭圆的焦点在x轴上时 其标准方程为 a b 0 当已知椭圆的焦点在y轴上时 其标准方程为 a b 0 2 当已知椭圆的焦点不明确而又无法确定时 其标准方程可设为 m 0 n 0 m n 这样可避免讨论和复杂的计算 也可设为ax2 by2 1 a 0 b 0 a b 这种形式 在解题时更简便 例1 1 已知f1 f2为椭圆的两个焦点 过f1的直线交椭圆于a b两点 若 f2a f2b 12 则 ab 2 已知点p在以坐标轴为对称轴的椭圆上 且p到两焦点的距离分别为5 3 过p且与长轴垂直的直线恰好过椭圆的一个焦点 求椭圆的方程 解题指南 1 注意 af1 af2 10 bf1 bf2 10 且 af1 f1b ab 再结合题设即可得出结论 2 可先设椭圆的方程为 a b 0 再根据题设条件求出相应的系数值即可 规范解答 1 由椭圆的定义及椭圆的标准方程得 af1 af2 10 bf1 bf2 10 又已知 f2a f2b 12 所以 ab af1 bf1 8 答案 8 2 设椭圆方程为 a b 0 因为p到两焦点的距离分别为5 3 所以2a 5 3 8 即a 4 又因为过p且与长轴垂直的直线恰好过椭圆的一个焦点 所以 2c 2 52 32 16 所以c2 4 因此b2 a2 c2 12 所以椭圆方程为 互动探究 本例 2 将条件 过p且与长轴垂直的直线恰好过椭圆的一个焦点 改为 点p和两焦点构成的三角形为直角三角形 结果如何 解析 当其中一个焦点为直角顶点时 与例题条件相同 所以 椭圆方程为 当直角顶点为点p时 则有 2c 2 52 32 34 所以c2 又因为a 4 所以b2 a2 c2 所以椭圆方程为 综上可知 所求椭圆方程为或 反思 感悟 1 在解决椭圆上的点到焦点的距离问题时 经常联想到椭圆的定义 即利用椭圆上的点到两焦点距离之和等于2a求解 2 在求椭圆方程时 若已知椭圆上的点到两焦点的距离 可先求出椭圆长轴长 再想法求短轴长 从而得出方程 若已知点的坐标 可先设出椭圆的标准方程 再利用待定系数法求解 当椭圆的焦点不确定时 应考虑焦点在x轴 在y轴两种情形 无论哪种情形 始终有a b 0 变式备选 如图 点a是椭圆c a b 0 的短轴位于y轴下方的端点 过点a且斜率为1的直线交椭圆于点b 若p在y轴上 且bp x轴 点p的坐标为 0 1 求椭圆c的方程 解析 直线ab的斜率为1 bap 45 即 bap是等腰直角三角形 ab ap ab ap cos45 ap 2cos45 9 ap 3 p 0 1 op 1 oa 2 即b 2 且b 3 1 b在椭圆上 得a2 12 椭圆c的方程为 椭圆的几何性质及应用 方法点睛 1 性质中的不等关系对于椭圆标准方程中x y的范围 离心率的范围等 在求与椭圆有关的一些量的范围 或者求这些量的最大值 最小值时 经常用到这些不等关系 2 利用椭圆几何性质应注意的问题求解与椭圆几何性质有关的问题时 要结合图形进行分析 当涉及到顶点 焦点 长轴 短轴等椭圆的基本量时 要理清它们之间的内在联系 3 求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率时 一般是依据题设得出一个关于a b c的等式 或不等式 利用a2 b2 c2消去b 即可求得离心率或离心率的范围 提醒 椭圆离心率的范围 0 e 1 例2 2012 衢州模拟 已知椭圆x2 m 3 y2 m m 0 的离心率e 求m的值及椭圆的长轴和短轴的长及顶点坐标 解题指南 首先把椭圆的方程化为标准方程 再判断椭圆焦点位置 根据椭圆的离心率求m的值 最后求长轴和短轴的长及顶点坐标 规范解答 椭圆方程可化为因为 所以 即a2 m 由e 得 解得m 1 所以a 1 b 椭圆的标准方程为 所以椭圆的长轴长为2 短轴长为1 四个顶点的坐标分别为a1 1 0 a2 1 0 b1 0 b2 0 反思 感悟 1 本题是根据椭圆的离心率求椭圆方程中的参数 要根据离心率求m的值 必须用m表示a与c 再利用离心率的定义求解 进而求椭圆方程中a b c的值 2 由于椭圆方程中含有字母m 所以必须判断椭圆的焦点在哪条坐标轴上 才能正确的写出顶点坐标 变式训练 2012 嘉兴模拟 已知a为椭圆 a b 0 上的一个动点 直线ab ac分别过焦点f1 f2 且与椭圆交于b c两点 若当ac垂直于x轴时 恰好有 af1 af2 3 1 求该椭圆的离心率 解析 设 af2 m 则 af1 3m 2a af1 af2 4m 又在rt af1f2中 f1f2 变式备选 如图 在平面直角坐标系xoy中 点a为椭圆e a b 0 的左顶点 b c在椭圆e上 若四边形oabc为平行四边形 且 oab 30 则椭圆e的离心率等于 解析 依题设知 点c的坐标为 又因为点c在椭圆e上 所以有 解得a2 9b2 因此 a2 9 a2 c2 即 所以椭圆e的离心率等于 答案 直线与椭圆的位置关系 方法点睛 1 判断直线与椭圆位置关系的步骤第一步 联立直线方程与椭圆方程 第二步 消元得出关于x 或y 的一元二次方程 第三步 当 0时 直线与椭圆相交 当 0时 直线与椭圆相切 当 0时 直线与椭圆相离 2 直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为a x1 y1 b x2 y2 则 ab k为直线斜率 3 直线与椭圆相交常见问题的处理方法 1 涉及弦长问题 常用 根与系数的关系 设而不求 利用弦长公式计算弦长 2 涉及求平行弦中点的轨迹 求过定点的弦的轨迹和被定点平分的弦所在的直线方程问题 常用 点差法 设而不求 3 将动点的坐标 弦所在直线的斜率 弦的中点坐标联系起来 相互转化 提醒 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的 不要忽略判别式 例3 2011 北京高考 已知椭圆g a b 0 的离心率为 右焦点为 2 0 斜率为1的直线l与椭圆g交于a b两点 以ab为底边作等腰三角形 顶点为p 3 2 1 求椭圆g的方程 2 求 pab的面积 解题指南 1 利用a b c的关系及离心率求出a b 代入标准方程 2 联立直线方程与椭圆方程 然后利用根与系数的关系 设而不求 整体代入 规范解答 1 由已知得c 2 解得a 又b2 a2 c2 4 所以椭圆g的方程为 2 设直线l的方程为y x m 由4x2 6mx 3m2 12 0 设a b的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 x1 x2 ab中点为e x0 y0 则 因为ab是等腰 pab的底边 所以pe ab 所以pe的斜率 解得m 2 此时方程 为4x2 12x 0 解得x1 3 x2 0 所以y1 1 y2 2 所以 ab 3 此时 点p 3 2 到直线ab x y 2 0的距离 所以 pab的面积s ab d 反思 感悟 1 求椭圆的标准方程 关键是根据题设条件 求a b的值 但一定要注意a b c三者之间的关系 2 本题的第二问求三角形的面积 其关键是确定三角形的底与高 本题的另一关键点是如何利用等腰三角形这一条件确定直线方程 变式训练 已知椭圆 a b 0 的焦距为 离心率为 1 求椭圆方程 2 设过椭圆顶点b 0 b 斜率为k的直线交椭圆于另一点d 交x轴于点e 且 bd be de 成等比数列 求k2的值 解析 1 由已知2c 解得a 2 c 所以b2 a2 c2 1 椭圆的方程为 2 由 1 得过b点的直线为y kx 1 由得 4k2 1 x2 8kx 0 所以 依题意k 0 k 因为 bd be de 成等比数列 所以 be 2 bd de 所以b2 1 yd yd 即 1 yd yd 1 当yd 0时 yd 1 0 无解 当yd 0时 yd 1 0 解得yd 所以 解得k2 所以 当 bd be de 成等比数列时 k2 满分指导 直线与椭圆综合问题的规范解答 典例 15分 2011 江苏高考 如图 在平面直角坐标系xoy中 m n分别是椭圆的顶点 过坐标原点的直线交椭圆于p a两点 其中p在第一象限 过p作x轴的垂线 垂足为c 连接ac 并延长交椭圆于点b 设直线pa的斜率为k 1 当直线pa平分线段mn时 求k的值 2 当k 2时 求点p到直线ab的距离d 3 对任意k 0 求证 pa pb 解题指南 本题考查的是直线与椭圆的位置关系 解决本题的关键是联立方程结合已知进行转化求解 规范解答 1 由题意知 a 2 b 故m 2 0 n 0 所以线段mn的中点的坐标为 1 由于直线pa平分线段mn 故直线pa过线段mn的中点 又直线pa过坐标原点 所以 3分 2 直线pa的方程为y 2x 代入椭圆方程得 解得x 因此p a 于是c 0 直线ac的斜率为 1 所以直线ab的方程为x y 0 6分因此 8分 3 方法一 将直线pa的方程y kx代入 解得 记 则p k a k 于是c 0 故直线ab的斜率为 直线ab的方程为y x 代入椭圆方程得 2 k2 x2 2 k2x 2 3k2 2 0 解得 或x 因此b 于是直线pb的斜率为 因此k1k 1 所以pa pb 15分 方法二 设p x1 y1 b x2 y2 则x1 0 x2 0 x1 x2 a x1 y1 c x1 0 设直线pb ab的斜率分别为k1 k2 因为c在直线ab上 所以 从而k1k 1 2k1k2 1 2 因此k1k 1 所以pa pb 15分 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下失分警示和备考建议 1 2012 杭州模拟 椭圆 a b 0 上一点a关于原点的对称点为b f为其右焦点 若af bf 设 abf 且 则该椭圆离心率的取值范围为 a b c 1 d 解析 选b 如图 在 abf中 afb 90 of c c2 a2 b2 oa ob c 当 时 有 bfo afo 此时 a b分别是椭圆的短轴的两端点 b c 即 当 时 aof 故koa tan 直线oa的方程为y x 代入椭圆方程 a b 0 整理得 作ae of 垂足为e 则ae oa ae2 oa2 即 又b2 a2 c2 两式整理得4a4 8a2c2 3c4 0 3 4 8 2 4 0 解得 2 或 2 2 舍去 e 结合选项知 选b 2 2012 温州模拟 已知椭圆 则当在此椭圆上存在不同两点关于直线y 4x m对称时 m的取值范围为 a b c d 解析 选b 设p1 x1 y1 p2 x2 y2 为椭圆上关于直线y 4x m对称的两点 线段p1p2的中点为p0 x0 y0 则 两式相减 整理得 y0 3x0 代入y0 4x0 m 得x0 m y0