黑龙江省虎林高级中学高三数学 第四讲 数学归纳法及其应用举例复习课件 新人教A版选修45.ppt

数学归纳法 复习课 知识点复习 区别归纳法和数学归纳法数学归纳法原理是什么 如果关于自然数n的一个命题p n 满足下列条件 1 p n0 成立 即当n n0 例如n0 1 时 命题成立 2 假设p k 成立 则p k 1 也成立 根据 1 2 知p n 成立用数学归纳法证明一个与自然数有关的命题的步骤是怎样的 知识点复习 4 对数学归纳法实质的理解例 下面是某同学用数学归纳法证明命题的过程 你认为他的证法正确吗 为什么 1 当n 1时 左边 右边 2 假设n k时命题成立即那么n k 1时 左边 右边 即n k 1时 命题也成立 由 1 2 知 对一切自然数 命题均正确 知识点复习 对数学归纳法实质的理解数学归纳法证题的这两个步骤 第一个步骤是命题递推的基础 第二个步骤是命题推理的根据 二者缺一不可 其中第二步是数学归纳法的核心 在从n k到n k 1的递推过程中 必须要运用归纳假设 这是数学归纳法证题的本质特征 如若在此过程中 没有运用归纳假设 不论形式上多么相似 也不能称此证明方法为数学归纳法 由于数学归纳法包含两个步骤一个结论 故最后应完整地写出结论 数学小常识 德国数学家哥德巴赫经过观察 发现一个有趣的现象 任何大于5的整数 都可以表示为三个质数的和 他猜想这个命题是正确的 但他本人无法给予证明 1742年6月6日 哥德巴赫去求教当时颇负盛名的瑞士数学家欧拉 欧拉经过反复研究 发现问题的关键在于证明任意大于2的偶数能表示为两个质数的和 于是 欧拉对大于2的偶数逐个加以验算 最后欧拉猜想上述结论是正确的 6月30日 他复信哥德巴赫 信中指出 任何大于2的偶数都是两个质数的和 虽然我还不能证明它 但我确信无疑这是完全正确的定理 这就是著名的哥德巴赫猜想 专项训练 归纳猜测 一 归纳 猜测 如图 把边长为1的正方形看作第一层壳 其面积为s1 在它外面再镶上面积为s2的第二层外壳 使之构成边长为1 2的正方形 再镶上为s3的第三层外壳 使之构成边长为1 2 3的正方形 依次下去 试猜测第n层外壳的面积s 解 s1 1s2 1 2 2 1 8s3 1 2 3 2 9 27s4 1 2 3 4 2 36 64 sn 1 2 n 2 n 1 2 n3 专项训练 归纳猜测 13 113 23 913 23 33 3613 23 33 43 100 试猜测 13 23 33 43 n3 1 2 3 n 2 12 1 2 2 1 2 3 2 1 2 3 4 2 专项训练 归纳猜测 古希腊学者用圆球堆成大大小小的一系列等边三角形 每一堆球数依次为1 3 6 这种数叫做 三角形数 或简称 三角数 著名的几何学家毕达哥拉斯曾对三角数作过专门的研究 并获得丰硕的成果 如果用tn表示第n个三角数 则由上图可知t1 1 t2 3 t3 6 1 求t2 t1 t3 t2 t4 t3的值 并猜测tn tn 1值 2 求t1 t2 t2 t3 t3 t4的值 并猜测tn 1 tn值 解 1 t2 t1 2 t3 t2 3 t4 t3 4 tn tn 1 n 2 t1 t2 4 t2 t3 9 t3 t4 16 tn 1 tn n2 专项训练 对命题的理解 解析 令f n n 1 n 2 n n f k k 1 k 2 k k f k 1 k 1 1 k 1 2 k 1 k 1 k 2 k 3 k k 2k 1 2k 2 f k 1 f k 2k 1 2k 2 k 1 3k 2用数学归纳法证明命题 n 1 n 2 n n 2n 1 3 2n 1 的第二步中 n k 1时需证 解析 k 1 1 k 1 2 k 1 k 1 2k 1 1 3 2 k 1 1 即 k 2 k 3 k k 2k 1 2k 2 2k 1 1 3 2k 1 用数学归纳法证明 n 1 n 2 n n 的第二步中 n k 1时的等式左边与n k时的等式左边的差等于 专项训练kk 1 p k 与p k 1 的进和退在数学归纳法的第二步归纳推理中 由p k p k 1 的过渡 有两种基本途径可寻 一 由p k 向p k 1 推证二 由p k 1 倒退 专项训练kk 1 证明 1 当n 1时 命题显然成立 2 假设当n k时 命题成立 即 k 1 k 2 k k 2k 1 3 2k 1 当n k 1时 待证 k 2 k 3 2k 2k 1 2k 2 2 k 1 1 3 2k 1 2k 1 据途径一 由p k 出发 直接构造p k 1 形式 整理得 k 2 k 3 2k 2k 1 2k 2 2 2k 1 3 2k 1 2k 1 2 k 1 1 3 2k 1 2k 1 即 n k 1时 命题成立 由 1 2 知 命题成立 k 1 k 2 k k 2k 1 3 2k 1 例 用数学归纳法证明命题 n 1 n 2 n n 2n 1 3 2n 1 专项训练kk 1 解析 2 假设n k时命题成立 即 5k 2k被3整除 当n k 1时5k 1 2k 1 5 5k 2 2k 5 5k 2k 5 2k 2 2k 5 5k 2k 3 2k 5 5k 2k 3 2k