高中数学 1.2角的概念的推广课件 北师大版必修4 .ppt

对推广后角的概念的理解 1 紧紧抓住 旋转 二字 用运动的观点来看角 2 结合实际意义明确角的概念经过推广后 角的范围不再限于0 360 已包括正角 负角和零角 3 正确理解正角 负角和零角的概念 既要注意始边位置和旋转量 又要注意旋转方向是逆时针 顺时针 还是没有转动 角的概念的辨析问题 1 在不引起混淆的情况下 角 或 可以简化成 2 表示角时 应注意箭头的方向不可丢掉 因为箭头的方向代表角的正负 例1 判断下列说法是否正确 并说明理由 1 集合p 钝角 集合q 第二象限角 则有p q 2 角 和角2 的终边不可能相同 3 若 是第二象限角 则2 一定是第四象限角 4 设集合a 射线op 集合b 坐标平面内的角 法则f 以x轴正半轴为角的始边 以op为角的终边 那么对应f op xopb是一个映射 5 不相等的角其终边位置必不相同 审题指导 解答本题首先要明确角的范围不再限于0 360 角的度数已经扩大到 其次要紧扣象限角 终边相同的角的概念 规范解答 1 不正确 实际上p 90 180 应有pq 2 不正确 如 0 则 与2 终边相同 3 不正确 由90 k 360 180 k 360 k z知180 2k 360 2 360 2k 360 k z 故2 是第三或四象限的角 也可能终边在y轴的负半轴上 4 不正确 以x轴的正半轴为角的始边 以op为终边的 xop不唯一 5 不正确 不相等的角其终边位置也可能相同 如30 与390 变式训练 已知a 锐角 b 0 90 c 第一象限角 d 小于90 的角 求a b a c c d a d 解题提示 解答本题先要弄清楚集合a c d中角的范围 另外要注意集合交集 并集运算律的应用 解析 a 0 90 c k 360 90 k 360 k z d 90 a b 0 90 a c k 360 90 k 360 k z c d k 360 90 k 360 k z k 0 a d 90 对终边相同的角的理解 1 终边相同的角的意义 为定义任意角的三角函数作准备 三角函数周期性的根源所在 终边相同的角的表示与应用 2 把任意角化为 k 360 k z且0 360 的形式 关键是确定k 可以用观察法 的绝对值较小 也可用除法 要注意 正角除以360 按通常的除法进行 负角除以360 商是负数 其绝对值比被除数为其相反数时的商大1 使余数为正值 3 以x轴的非负半轴为始边 终边落在某条直线上的角如图所示 终边落在x轴上的角可表示为 k 180 k z 终边落在y轴上的角可表示为 k 180 90 k z 终边落在直线l上的角可表示为 k 180 30 k z 相等的角终边相同 终边相同的角不一定相等 例2 写出始边与x轴的非负半轴重合 终边在函数的图像上的角的集合m 并指出其中在 360 360 内的角 审题指导 由可知所求角在0 180 范围内的值为 30 或150 由此即可写出集合m 规范解答 由已知得其图像如图所示 在0 180 内终边在函数的图像上的角为30 或150 所以m 30 k 360 或150 k 360 k z 其中在 360 360 内的角为30 1 360 330 30 0 360 30 150 1 360 210 150 0 360 150 变式训练 已知 1910 1 把 写成 k 360 k z 0 360 的形式 指出它是第几象限角 2 求 使 与 的终边相同 且 720 0 解题提示 1 用 除以360 使余数为正值 商为负值 商即为k 2 用公式 k 360 k z 列不等式求 解析 1 因为 1910 250 6 360 所以 1910 与250 终边重合 而250 的终边在第三象限 所以 1910 是第三象限角 2 由 1 知 s 250 k 360 k z 又因为 720 0 所以250 2 360 470 250 1 360 110 2 等角终边位置的确定方法 1 不等式法一般首先利用象限角的概念或已知条件 写出角 的范围 然后利用不等式的性质 求出2 等角的范围 最后利用 旋转 的观点 确定角终边的位置 例如 如果得到 k z 可画出所表示的区域 再将此区域依次逆时针或顺时针转动120 如下图所示 2 等角终边位置的确定 2 几何法 或等分象限法 若已知 所在的象限 确定所在的象限 可先将各个象限n等分 从第一象限离x轴最近的区域开始逆时针方向依次循环标注号1 2 3 4 直到将所有区域标完为止 如果 在第几象限 则在图中标号为几的区域内 例如 已知 为第四象限角 则终边所在的位置为下图标4的区域内 例3 已知 角是第三象限角 则2 各是第几象限角 审题指导 由 角是第三象限角知k 360 180 k 360 270 k z 由此可以求出2 取值范围 确定其终边位置 规范解答 角是第三象限角 k 360 180 k 360 270 k z 因此 2k 360 360 2 2k 360 540 k z 即 2k 1 360 2 2k 1 360 180 k z 故2 是第一 二象限角或终边在y轴的非负半轴上的角 又 方法一 当k为偶数时 令k 2n n z 则n 360 90 n 360 135 n z 此时 属于第二象限角当k为奇数时 令k 2n 1 n z 则n 360 270 n 360 315 n z 此时 属于第四象限角 方法二 终边所在区域如图所示因此属于第二或第四象限角 互动探究 已知角 所在象限为第二象限 求2 所在象限 解析 为第二象限角 则k 360 90 k 360 180 k z 2k 360 180 2 2k 360 360 k z 2 是第三或第四象限角 以及终边落在y轴的非正半轴上的角 又k 180 45 k 180 90 k z 当k为偶数时 令k 2n n z 则n 360 45 n 360 90 为第一象限角 当k为奇数时 令k 2n 1 n z 则n 360 225 n 360 270 为第三象限角 为第一或第三象限角 终边具备对称性的角之间的关系在平面直角坐标系中 若两个角的终边具备对称性 那么它们就有一定的关系 解此类问题时 要先利用逆转加正角 顺转加负角的方法 转化为两个角终边重合的情况 然后由终边相同的角的集合就可将所求角表示出来 一般地 终边与已知角的终边关于直线或特殊点对称的角的表示 1 与 的终边关于x轴对称 则 k 360 k z 2 与 的终边关于y轴对称 则 2k 1 180 k z 3 与 的终边在一条直线上 则 k 180 k z 例 1 60 与 60 角的终边有什么对称性 2 120 与 120 角的终边有什么对称性 3 420 与 420 角的终边有什么对称性 4 试猜想角 与 的终边有什么对称性 审题指导 解答本题的关键是注意逆时针旋转为正角 顺时针旋转为负角 在平面直角坐标系中作出有关角进行判断 从中发现规律 规范解答 1 如下图所示 60 与 60 角的终边关于x轴对称 2 如下图所示 120 与 120 角的终边关于x轴对称 3 如下图所示 420 与 420 角的终边关于x轴对称 4 由 1 2 3 可猜想角 与 的终边关于x轴对称 变式备选 若角 与 的终边关于y轴对称 则 与 的关系是 若角 与 的终边互相垂直 则 与 的关系是 解析 因为角 与 的终边关于y轴对称 所以 与 的终边互为反向延长线 所以 180 与 的终边重合 所以 180 k 360 k z 所以 180 k 360 2k 1 180 k z 因为角 与 的终边互相垂直 所以 与 90 或 与 90 的终边重合 所以 90 k 360 k z 或 90 k 360 k z 答案 2k 1 180 k z 90 k 360 k z 典例 12分 已知集合a 30 k 180 90 k 180 k z b 45 k 360 45 k 360 k z 1 试在平面直角坐标系内画出集合a和b中的角的终边所在的区域 2 求a b 审题指导 集合a中的角的终边所在的区域是 对角形 区域 集合b中的角的终边所在的区域是扇形 终边在这两个区域的公共部分内的角的集合就是a b 规范解答 1 如图所示 4分 集合a中的角的终边在阴影 内 集合b中的角的终边在阴影 内 6分 2 集合a b中的角的终边在阴影 和 的公共部分内 8分所以a b 30 k 360 45 k 360 k z 12分 误区警示 对解答本题时易犯的错误具体分析如下 即时训练 如图所示 试写出终边落在阴影区域内的角的集合s 包括边界 并指出 950 12 是否是该集合中的角 解析 由题图可知 终边落在阴影区域内的角的集合s 120 k 360 250 k 360 k z 950 12 3 360 129 48 且120 129 48 250 950 12 是该集合中的角 1 将射线om绕端点o按逆时针方向旋转120 所得的角为 a 120 b 120 c 60 d 240 解析 选a 逆时针方向旋转得正角 故所得的角为120 2 与95 角终边相同的角是 a 5 b 85 c 395 d 265 解析 选d 95 角终边相同的角 95 k 360 k z所以95 1 360 265 3 与210 角的终边相同的角连同210 角在内组成的角的集合是 解析 与210 角的终边相同的角连同210 角在内组成的角的集合是s 210 k 360 k z 答案 210 k 360 k z 4 如下图所示 角的顶点与直角坐标系的原点重合 始边与x轴的正半轴重合 终边落在oa位置时的角的集合是 终边落在ob位置时的角的集合是 解析 在 180 180