高考数学大一轮复习 6.2等差数列及其前n项和课件 理 苏教版.ppt

6 2等差数列及其前n项和 第六章数列 数学苏 理 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 思想方法 感悟提高 练出高分 1 等差数列的定义如果一个数列 那么这个数列就叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的 通常用字母表示 2 等差数列的通项公式如果等差数列 an 的首项为a1 公差为d 那么它的通项公式是 从第二项起 每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数 公差 d an a1 n 1 d 3 等差中项如果 那么a叫做a与b的等差中项 4 等差数列的常用性质 1 通项公式的推广 an am n m n 2 若 an 为等差数列 且k l m n k l m n n 则 3 若 an 是等差数列 公差为d 则 a2n 也是等差数列 公差为 n m d ak al am an 2d 4 若 an bn 是等差数列 则 pan qbn 也是等差数列 5 若 an 是等差数列 公差为d 则ak ak m ak 2m k m n 是公差为的等差数列 md 5 等差数列的前n项和公式设等差数列 an 的公差为d 其前n项和sn 或sn 6 等差数列的前n项和公式与函数的关系数列 an 是等差数列 sn an2 bn a b为常数 7 等差数列的前n项和的最值在等差数列 an 中 a1 0 d0 则sn存在最值 大 小 思考辨析 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数 则这个数列是等差数列 2 数列 an 为等差数列的充要条件是对任意n n 都有2an 1 an an 2 3 等差数列 an 的单调性是由公差d决定的 4 数列 an 为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数 5 数列 an 满足an 1 an n 则数列 an 是等差数列 6 已知数列 an 的通项公式是an pn q 其中p q为常数 则数列 an 一定是等差数列 12 20 88 49 解析 nsn的最小值为 49 例1 1 在数列 an 中 若a1 2 且对任意的n n 有2an 1 1 2an 则数列 an 前10项的和为 题型一等差数列基本量的运算 解析 答案 思维升华 例1 1 在数列 an 中 若a1 2 且对任意的n n 有2an 1 1 2an 则数列 an 前10项的和为 题型一等差数列基本量的运算 所以数列 an 是首项为 2 解析 答案 思维升华 例1 1 在数列 an 中 若a1 2 且对任意的n n 有2an 1 1 2an 则数列 an 前10项的和为 题型一等差数列基本量的运算 所以数列 an 是首项为 2 解析 答案 思维升华 1 等差数列的通项公式及前n项和公式 共涉及五个量a1 an d n sn 知其中三个就能求另外两个 体现了用方程的思想来解决问题 例1 1 在数列 an 中 若a1 2 且对任意的n n 有2an 1 1 2an 则数列 an 前10项的和为 题型一等差数列基本量的运算 解析 答案 思维升华 2 数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用 而a1和d是等差数列的两个基本量 用它们表示已知和未知是常用方法 例1 1 在数列 an 中 若a1 2 且对任意的n n 有2an 1 1 2an 则数列 an 前10项的和为 题型一等差数列基本量的运算 解析 答案 思维升华 解析 答案 思维升华 例1 2 2013 课标全国 改编 设等差数列 an 的前n项和为sn sm 1 2 sm 0 sm 1 3 则m 由题意得am sm sm 1 2 am 1 sm 1 sm 3 故d 1 因为sm 0 例1 2 2013 课标全国 改编 设等差数列 an 的前n项和为sn sm 1 2 sm 0 sm 1 3 则m 解析 答案 思维升华 例1 2 2013 课标全国 改编 设等差数列 an 的前n项和为sn sm 1 2 sm 0 sm 1 3 则m 因为am am 1 sm 1 sm 1 5 故am am 1 2a1 2m 1 d m 1 2m 1 5 即m 5 解析 答案 思维升华 例1 2 2013 课标全国 改编 设等差数列 an 的前n项和为sn sm 1 2 sm 0 sm 1 3 则m 因为am am 1 sm 1 sm 1 5 故am am 1 2a1 2m 1 d m 1 2m 1 5 即m 5 5 解析 答案 思维升华 例1 2 2013 课标全国 改编 设等差数列 an 的前n项和为sn sm 1 2 sm 0 sm 1 3 则m 5 1 等差数列的通项公式及前n项和公式 共涉及五个量a1 an d n sn 知其中三个就能求另外两个 体现了用方程的思想来解决问题 解析 答案 思维升华 例1 2 2013 课标全国 改编 设等差数列 an 的前n项和为sn sm 1 2 sm 0 sm 1 3 则m 5 2 数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用 而a1和d是等差数列的两个基本量 用它们表示已知和未知是常用方法 解析 答案 思维升华 跟踪训练1 1 若等差数列 an 的前5项和s5 25 且a2 3 则a7 故a3 5 公差d a3 a2 2 a7 a2 5d 3 5 2 13 13 s4 2 6d 20 d 3 故s6 3 15d 48 2 记等差数列 an 的前n项和为sn 若a1 s4 20 则s6 48 数列 an 的公差为2 2 例2 1 设等差数列 an 的前n项和为sn 若s3 9 s6 36 则a7 a8 a9 题型二等差数列的性质及应用 解析 答案 思维升华 由 an 是等差数列 得s3 s6 s3 s9 s6为等差数列 即2 s6 s3 s3 s9 s6 得到s9 s6 2s6 3s3 45 例2 1 设等差数列 an 的前n项和为sn 若s3 9 s6 36 则a7 a8 a9 题型二等差数列的性质及应用 解析 答案 思维升华 例2 1 设等差数列 an 的前n项和为sn 若s3 9 s6 36 则a7 a8 a9 题型二等差数列的性质及应用 由 an 是等差数列 得s3 s6 s3 s9 s6为等差数列 即2 s6 s3 s3 s9 s6 得到s9 s6 2s6 3s3 45 45 解析 答案 思维升华 在等差数列 an 中 数列sm s2m sm s3m s2m也成等差数列 也是等差数列 等差数列的性质是解题的重要工具 例2 1 设等差数列 an 的前n项和为sn 若s3 9 s6 36 则a7 a8 a9 题型二等差数列的性质及应用 45 解析 答案 思维升华 解析 答案 思维升华 例2 2 若一个等差数列前3项的和为34 最后3项的和为146 且所有项的和为390 则这个数列的项数为 因为a1 a2 a3 34 an 2 an 1 an 146 a1 a2 a3 an 2 an 1 an 34 146 180 又因为a1 an a2 an 1 a3 an 2 所以3 a1 an 180 从而a1 an 60 例2 2 若一个等差数列前3项的和为34 最后3项的和为146 且所有项的和为390 则这个数列的项数为 解析 答案 思维升华 例2 2 若一个等差数列前3项的和为34 最后3项的和为146 且所有项的和为390 则这个数列的项数为 解析 答案 思维升华 例2 2 若一个等差数列前3项的和为34 最后3项的和为146 且所有项的和为390 则这个数列的项数为 13 解析 答案 思维升华 例2 2 若一个等差数列前3项的和为34 最后3项的和为146 且所有项的和为390 则这个数列的项数为 13 在等差数列 an 中 数列sm s2m sm s3m s2m也成等差数列 也是等差数列 等差数列的性质是解题的重要工具 解析 答案 思维升华 解析 答案 思维升华 例2 3 已知sn是等差数列 an 的前n项和 若a1 2014 6 则s2016 由等差数列的性质可得 也为等差数列 设其公差为d d 1 s2016 1 2016 2016 例2 3 已知sn是等差数列 an 的前n项和 若a1 2014 6 则s2016 解析 答案 思维升华 例2 3 已知sn是等差数列 an 的前n项和 若a1 2014 6 则s2016 由等差数列的性质可得 也为等差数列 设其公差为d d 1 s2016 1 2016 2016 2016 解析 答案 思维升华 例2 3 已知sn是等差数列 an 的前n项和 若a1 2014 6 则s2016 2016 在等差数列 an 中 数列sm s2m sm s3m s2m也成等差数列 也是等差数列 等差数列的性质是解题的重要工具 解析 答案 思维升华 跟踪训练2 1 设数列 an 是等差数列 若a3 a4 a5 12 则a1 a2 a7 解析 a3 a4 a5 3a4 12 a4 4 a1 a2 a7 7a4 28 28 跟踪训练2 2 已知等差数列 an 的前n项和为sn 且s10 10 s20 30 则s30 解析 s10 s20 s10 s30 s20成等差数列 2 s20 s10 s10 s30 s20 40 10 s30 30 s30 60 60 解析 题型三等差数列的判定与证明 思维升华 题型三等差数列的判定与证明 解析 思维升华 题型三等差数列的判定与证明 解析 思维升华 题型三等差数列的判定与证明 1为公差的等差数列 解析 思维升华 等差数列的四个判定方法 1 定义法 证明对任意正整数n都有an 1 an等于同一个常数 题型三等差数列的判定与证明 解析 思维升华 2 等差中项法 证明对任意正整数n都有2an 1 an an 2后 可递推得出an 2 an 1 an 1 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 根据定义得出数列 an 为等差数列 题型三等差数列的判定与证明 解析 思维升华 3 通项公式法 得出an pn q后 得an 1 an p对任意正整数n恒成立 根据定义判定数列 an 为等差数列 题型三等差数列的判定与证明 解析 思维升华 4 前n项和公式法 得出sn an2 bn后 根据sn an的关系 得出an 再使用定义法证明数列 an 为等差数列 题型三等差数列的判定与证明 解析 思维升华 例3 2 求数列 an 中的最大项和最小项 并说明理由 解析 思维升华 例3 2 求数列 an 中的最大项和最小项 并说明理由 解析 思维升华 例3 2 求数列 an 中的最大项和最小项 并说明理由 所以当n 3时 an取得最小值 1 当n 4时 an取得最大值3 解析 思维升华 例3 2 求数列 an 中的最大项和最小项 并说明理由 等差数列的四个判定方法 1 定义法 证明对任意正整数n都有an 1 an等于同一个常数 解析 思维升华 例3 2 求数列 an 中的最大项和最小项 并说明理由 2 等差中项法 证明对任意正整数n都有2an 1 an an 2后 可递推得出an 2 an 1 an 1 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 根据定义得出数列 an 为等差数列 解析 思维升华 例3 2 求数列 an 中的最大项和最小项 并说明理由 3 通项公式法 得出an pn q后 得an 1 an p对任意正整数n恒成立 根据定义判定数列 an 为等差数列 解析 思维升华 例3 2 求数列 an 中的最大项和最小项 并说明理由 4 前n项和公式法 得出sn an2 bn后 根据sn an的关系 得出an 再使用定义法证明数列 an 为等差数列 解析 思维升华 跟踪训练3已知数列 an 的前n项和为sn 且满足 an 2snsn 1 0 n 2 n n a1 判断与 an 是否为等差数列 并说明你的理由 解因为an sn sn 1 n 2 又因为an 2snsn 1 0 所以sn sn 1 2snsn 1 0 n 2 跟踪训练3已知数列 an 的前n项和为sn 且满足 an 2snsn 1 0 n 2 n n a1 判断与 an 是否为等差数列 并说明你的理由 跟踪训练3已知数列 an 的前n项和为sn 且满足 an 2snsn 1 0 n 2 n n a1 判断与 an 是否为等差数列 并说明你的理由 跟踪训练3已知数列 an 的前n项和为sn 且满足 an 2snsn 1 0 n 2 n n a1 判断与 an 是否为等差数列 并说明你的理由 所以当n 2时 an 1 an的值不是一个与n无关的常数 故数列 an 不是一个等差数列 跟踪训练3已知数列 an 的前n项和为sn 且满足 an 2snsn 1 0 n 2 n n a1 判断与 an 是否为等差数列 并说明你的理由 高频小考点7等差数列的前n项和及其最值 典例 1 在等差数列 an 中 2 a1 a3 a5 3 a7 a9 54 则此数列前10项的和s10 解析 思维点拨 温馨提醒 求等差数列前n项和 可以通过求解基本量a1 d 代入前n项和公式计算 也可以利用等差数列的性质 a1 an a2 an 1 高频小考点7等差数列的前n项和及其最值 典例 1 在等差数列 an 中 2 a1 a3 a5 3 a7 a9 54 则此数列前10项的和s10 解析 思维点拨 温馨提醒 高频小考点7等差数列的前n项和及其最值 典例 1 在等差数列 an 中 2 a1 a3 a5 3 a7 a9 54 则此数列前10项的和s10 由题意得a3 a8 9 45 解析 思维点拨 温馨提醒 利用等差数列的性质求sn 突出了整体思想 减少了运算量 高频小考点7等差数列的前n项和及其最值 典例 1 在等差数列 an 中 2 a1 a3 a5 3 a7 a9 54 则此数列前10项的和s10 45 解析 思维点拨 温馨提醒 解析 思维点拨 温馨提醒 2 在等差数列 an 中 s10 100 s100 10 则s110 求等差数列前n项和 可以通过求解基本量a1 d 代入前n项和公式计算 也可以利用等差数列的性质 a1 an a2 an 1 2 在等差数列 an 中 s10 100 s100 10 则s110 解析 思维点拨 温馨提醒 方法一设数列 an 的公差为d 首项为a1 2 在等差数列 an 中 s10 100 s100 10 则s110 解析 思维点拨 温馨提醒 2 在等差数列 an 中 s10 100 s100 10 则s110 所以a11 a100 2 110 110 解析 思维点拨 温馨提醒 2 在等差数列 an 中 s10 100 s100 10 则s110 110 利用等差数列的性质求sn 突出了整体思想 减少了运算量 解析 思维点拨 温馨提醒 3 已知等差数列 an 的首项a1 20 公差d 2 则前n项和sn的最大值为 解析 思维点拨 温馨提醒 3 已知等差数列 an 的首项a1 20 公差d 2 则前n项和sn的最大值为 求等差数列前n项和的最值 可以将sn化为关于n的二次函数 求二次函数的最值 也可以观察等差数列的符号变化趋势 找最后的非负项或非正项 解析 思维点拨 温馨提醒 3 已知等差数列 an 的首项a1 20 公差d 2 则前n项和sn的最大值为 因为等差数列 an 的首项a1 20 公差d 2 代入求和公式得 解析 思维点拨 温馨提醒 3 已知等差数列 an 的首项a1 20 公差d 2 则前n项和sn的最大值为 又因为n n 所以n 10或n 11时 sn取得最大值 最大值为110 110 解析 思维点拨 温馨提醒 3 已知等差数列 an 的首项a1 20 公差d 2 则前n项和sn的最大值为 利用函数思想求等差数列前n项和sn的最值时 要注意到n n 110 解析 思维点拨 温馨提醒 4 2014 北京 若等差数列 an 满足a7 a8 a9 0 a7 a10 0 则当n 时 an 的前n项和最大 解析 思维点拨 温馨提醒 4 2014 北京 若等差数列 an 满足a7 a8 a9 0 a7 a10 0 则当n 时 an 的前n项和最大 求等差数列前n项和的最值 可以将sn化为关于n的二次函数 求二次函数的最值 也可以观察等差数列的符号变化趋势 找最后的非负项或非正项 解析 思维点拨 温馨提醒 a7 a8 a9 3a8 0 a8 0 a7 a10 a8 a9 0 a9 a8 0 数列的前8项和最大 即n 8 4 2014 北京 若等差数列 an 满足a7 a8 a9 0 a7 a10 0 则当n 时 an 的前n项和最大 8 解析 思维点拨 温馨提醒 4 2014 北京 若等差数列 an 满足a7 a8 a9 0 a7 a10 0 则当n 时 an 的前n项和最大 8 利用函数思想求等差数列前n项和sn的最值时 要注意到n n 解析 思维点拨 温馨提醒 方法与技巧 1 等差数列的判断方法 1 定义法 an 1 an d d是常数 an 是等差数列 2 等差中项法 2an 1 an an 2 n n an 是等差数列 3 通项公式 an pn q p q为常数 an 是等差数列 4 前n项和公式 sn an2 bn a b为常数 an 是等差数列 方法与技巧 2 方程思想和化归思想 在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量 通过建立方程 组 获得解 3 等差数列性质灵活使用 可以大大减少运算量 4 在遇到三个数成等差数列问题时 可设三个数为 1 a a d a 2d 2 a d a a d 3 a d a d a 3d等 可视具体情况而定 失误与防范 1 当公差d 0时 等差数列的通项公式是n的一次函数 当公差d 0时 an为常数 2 公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数 且常数项为0 若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数 则该数列不是等差数列 它从第二项起成等差数列 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 已知数列 an 是等差数列 a1 a7 8 a2 2 则数列 an 的公差d 解得a1 5 d 3 方法二a1 a7 2a4 8 a4 4 a4 a2 4 2 2d d 3 2 已知直线 3m 1 x 1 m y 4 0所过定点的横 纵坐标分别是等差数列 an 的第一项与第二项 若bn 数列 bn 的前n项和为tn 则t10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 解析依题意 将 3m 1 x 1 m y 4 0化为 x y 4 m 3x y 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 所以直线 3m 1 x 1 m y 4 0过定点 1 3 所以a1 1 a2 3 所以公差d 2 3 设数列 an bn 都是等差数列 且a1 25 b1 75 a2 b2 100 则a37 b37 解析设 an bn 的公差分别为d1 d2 则 an 1 bn 1 an bn an 1 an bn 1 bn d1 d2 an bn 为等差数列 又a1 b1 a2 b2 100 an bn 为常数列 a37 b37 100 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 100 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 4 等差数列 an 中 已知a5 0 a4 a7 0 则当 an 的前n项和sn取到最大值时n为 sn的最大值为s5 5 5 在等差数列 an 中 a1 0 a10 a110 a10 a110 a11 0 t18 a1 a10 a11 a18 s10 s18 s10 60 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 60 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 6 已知递增的等差数列 an 满足a1 1 a3 a 4 则an 解析设等差数列的公差为d a3 a 4 1 2d 1 d 2 4 解得d2 4 即d 2 由于该数列为递增数列 故d 2 an 1 n 1 2 2n 1 2n 1 7 等差数列 an 的前n项和为sn 已知a5 a7 4 a6 a8 2 则当sn取最大值时 n的值是 解析依题意得2a6 4 2a7 2 a6 2 0 a7 1 0 又数列 an 是等差数列 因此在该数列中 前6项均为正数 自第7项起以后各项均为负数 于是当sn取最大值时 n 6 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 6 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 9 在等差数列 an 中 a1 1 a3 3 1 求数列 an 的通项公式 解设等差数列 an 的公差为d 则an a1 n 1 d 由a1 1 a3 3 可得1 2d 3 解得d 2 从而an 1 n 1 2 3 2n 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 2 若数列 an 的前k项和sk 35 求k的值 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 解由 1 可知an 3 2n 由sk 35 可得2k k2 35 即k2 2k 35 0 解得k 7或k 5 又k n 故k 7 10 设等差数列 an 的前n项和为sn 若a1 0 s2015 0 1 求sn的最小值及此时n的值 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 0 a1 1007d 0 3 4 5 6 7 8 9 1