高中数学 242 抛物线的简单几何性质课件 新人教A版选修21.ppt

第二章圆锥曲线与方程 2 4抛物线2 4 2抛物线的简单几何性质 1 掌握抛物线的图形和简单几何性质 2 能运用性质解决与抛物线有关的问题 新知视界1 抛物线的几何性质 2 焦半径与焦点弦抛物线上一点与焦点f的连线的线段叫做焦半径 过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫做焦点弦 设抛物线上任意一点p x0 y0 焦点弦端点a x1 y1 b x2 y2 则四种标准形式下的焦点弦 焦半径公式为 尝试应用1 设点a为抛物线y2 4x上一点 点b 1 0 且ab 1 则点a的横坐标为 a 2b 0c 2或0d 2或2 答案 b 2 直线y x 3与抛物线y2 4x交于a b两点 过a b两点向抛物线的准线作垂线 垂足分别为p q 则梯形apqb的面积为 a 48b 56c 64d 72 答案 a 3 过抛物线y2 2px p 0 的焦点作直线交抛物线于p x1 y1 q x2 y2 两点 若x1 x2 3p 则 pq 等于 a 4pb 5pc 6pd 8p 答案 a 4 抛物线y2 16x上一点p到x轴的距离为12 则点p与焦点f的距离 pf 答案 13 5 求抛物线x2 y上到直线2x y 4 0的距离最小时的点p的坐标 典例精析类型一抛物线的简单几何性质 例1 抛物线的顶点在原点 对称轴重合于椭圆9x2 4y2 36短轴所在的直线 抛物线焦点到顶点的距离为3 求抛物线的方程 分析 先确定抛物线方程的形式 再依条件求待定参数 点评 1 顶点在原点 对称轴为x轴时的抛物线方程可设为y2 ax a 0 当a 0时 抛物线开口向右 当a0时 抛物线开口向上 当a 0时 抛物线开口向下 迁移体验1已知抛物线的焦点f在x轴上 直线l过f且垂直于x轴 l与抛物线交于a b两点 o为坐标原点 若 oab的面积等于4 求此抛物线的标准方程 点评 过抛物线焦点的直线与抛物线相交弦长问题是抛物线中常见问题 解决此类问题 通常有三种解法 1 焦点弦长公式 2 两点间距离公式 3 弦长公式 其中焦点弦长公式是此类问题的最直接解法 联立方程 利用根与系数关系 可直接求解 省略了求两交点坐标的过程 简便易行 但解题时应注意直线与抛物线相交这一前提 可以使运算 化简简便 另外解题时注意整体代入的思想 迁移体验2过抛物线y2 4x的焦点作直线交抛物线于a x1 y1 b x2 y2 两点 如果x1 x2 6 那么 ab 等于 a 8b 10c 6d 4解析 由ab过抛物线焦点且p 2 ab x1 x2 p 6 2 8 答案 a 类型三直线与抛物线的位置关系 例3 已知顶点在原点 焦点在y轴上的抛物线过点p 2 1 1 求抛物线的标准方程 2 过点p作直线l与抛物线有且只有一个公共点 求直线l的方程 3 过点q 1 1 作直线交抛物线于a b两点 使得q恰好平分线段ab 求直线ab的方程 分析 1 由已知设出抛物线方程代入点可求 2 讨论斜率是否存在 当斜率存在时 可利用点斜式设方程 联立方程求解 3 联立方程 利用根与系数的关系求解 也可用平方差法求斜率而后求解 解 1 由题意设抛物线方程为x2 my 由抛物线过点p 2 1 故22 m 1 得m 4 故抛物线标准方程为x2 4y 即x2 4kx 8k 4 0令 0即16k2 4 8k 4 0即k2 2k 1 0 故 k 1 2 0 k 1 此时l的方程为y x 1即x y 1 0 由 得 l的方程为x 2或x y 1 0 点评 判断直线与抛物线的位置关系 要结合图象加以判断 即注意数形结合法的应用 同时直线与抛物线有一个公共点 并不一定相切 相切必定有一个公共点 另外在用 点斜式 或 斜截式 设直线方程时 一定要判断直线斜率是否存在 若不能判断则必须分情况讨论来解决 迁移体验3 1 直线与抛物线有一个公共点是直接与抛物线相切的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 2 过点 1 1 且与抛物线y2 4x只有一个公共点的直线有 a 0条b 1条c 2条d 3条 解析 1 直线与抛物线有一个公共点不一定相切 当直线与抛物线对称轴平行时 有一个公共点但此时不相切 反之 相切必定有一个公共点 2 如图5 过 1 1 有两条切线 还有一条与x轴平行的直线与抛物线y2 4x共有一个公共点 所以共3条 答案 1 b 2 d 类型四抛物线的最值与定值问题 例4 如图6 已知 aob的一个顶点为抛物线y2 2x的顶点o a b两点都在抛物线上 且 aob 90 1 证明直线ab必过一定点 2 求 aob面积的最小值 点评 1 对抛物线中的定点 定值问题 往往采用设而不求的方法 即方程中含有参数 不论怎样变化 某直线过定点 代数式恒为某常数 2 解决有关抛物线的最值问题 一种思路是合理转化 用几何法求解 另一种思路是代数法 转化为二次函数求最值 迁移体验4如图7所示 已知直线l y 2x 4与抛物线y2 4x交于a b两点 试在抛物线的弧aob上找一点p 使 pab的面积s最大 并求出这个最大面积 思悟升华1 抛物线与椭圆 双曲线几何性质的区别 1 抛物线只位于半个坐标平面内 虽然它可以无限延伸 但它没有渐近线 2 抛物线只有一条对称轴 没有对称中心 3 抛物线只有一个顶点 一个焦点 一条准线 4 抛物线的离心率是唯一的 e 1 2 抛物线的开口大小与参数p的关系参数p的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离 由方程y2 2px知 对于同一个x的值 p越大 y 的值也越大 或者说抛物线开口也越大 所以可以说一次项系数的绝对值越大 抛物线的开口越大 3 抛物线与双曲线都是 开放型 曲线 不能把抛物线看作双曲线的一支当抛物线上的点趋于无穷远时 抛物线在这一点切线的斜率接近于对称轴所在的直线的斜率 也就是说无穷远处抛物线接近于和它的对称轴平行 而双曲线上的点趋于无穷远时 双曲线在这一点的切线的斜率接近于其渐近线的斜率 1 若a 0 可根据判别式来确定 当 0时 直线与抛物线相交 有两个公共点 当 0时 直线与抛物