高考数学 第七章 第四节直线、平面平行的判定及其性质课件 理.ppt

第四节直线 平面平行的判定及其性质 1 直线与平面平行的判定定理及性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 l a a l l 此平面内 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 l b l l b 线面平行 线线平行 即时应用 1 已知直线a b和平面 判断下列命题的正确性 请在括号中填写 或 若a b a 则b 若a b a 则b 若a b 则a b 解析 中直线b在 内时不成立 b可能在 内 a b可以平行 相交或异面 答案 2 如图 在空间四边形abcd中 m ab n ad 且则直线mn与平面bdc的位置关系是 解析 由得mn bd 又mn平面bdc bd 平面bdc 所以mn 平面bdc 答案 平行 2 平面与平面平行的判定定理及性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 a b a b p a b 相交直线 线面平行 面面平行 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 a b a b 相交 交线 即时应用 1 思考 能否由线线平行推证面面平行 如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 则这两个平面一定平行吗 提示 可以 只需一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线 则两平面平行 不一定平行 如果这无数条直线互相平行 则这两个平面就可能相交 而不一定平行 2 已知两平面 与 平行 a 判断下列命题的正确性 请在括号中填写 或 a与 内的所有直线平行 a与 内的无数条直线平行 a与 内的任何一条直线都不垂直 a与 无公共点 解析 中 a与 内的直线可能平行或异面 故不正确 过a作平面 交平面 于直线b 则a b 故直线a平行于平面 内所有与直线b平行的直线 故 正确 中 a可以与 内的直线垂直 故不正确 由 a 可得a 故 正确 答案 3 设 是两个不重合的平面 a b是两条不同的直线 给出下列条件 都平行于直线a b a b是 内两条直线 且a b 若a b相交 且都在 外 a a b b 其中可判定 的条件的序号为 解析 中的平面可能平行 相交 故不正确 因为a b相交 可设其确定的平面为 根据a b 可得 同理可得 因此 故 正确 答案 热点考向1线面平行的判定及性质 方法点睛 证明线面平行的方法 1 利用定义 证明直线与平面没有公共点 一般结合反证法进行 2 利用线面平行的判定定理 3 利用面面平行的性质 即两平面平行 则其中一平面内的直线平行于另一平面 提醒 利用线面平行的性质和判定定理时 适当添加辅助线 或面 是解题的常用方法之一 是构造法证明问题的主要体现 例1 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 点n在bd上 点m在b1c上 并且cm dn 求证 mn 平面aa1b1b 解题指南 线线平行 线面平行 面面平行 是可以互相转化的 本题可以采用任何一种转化方式 规范解答 方法一 把证 线面平行 转化为证 线线平行 如图所示 作me bc交bb1于e 作nf ad 交ab于f 连接ef 则 在正方体abcd a1b1c1d1中 cm dn bd b1c b1m nb 又bd b1c 又bc ad me nf 又me bc ad nf 四边形mefn为平行四边形 mn ef 又ef 平面aa1b1b mn平面aa1b1b mn 平面aa1b1b 方法二 把证 线面平行 转化为证 面面平行 过m作mq bb1交bc于q 连接nq mq平面aa1b1b bb1 平面aa1b1b mq 平面aa1b1b 由mq bb1得又cm dn cb1 db nq dc nq ab nq平面abb1a1 ab 平面abb1a1 nq 平面abb1a1 又mq nq q 平面mqn 平面abb1a1 又mn 平面mqn mn 平面aa1b1b 反思 感悟 1 证明线面平行时 先直观判断平面内是否存在一条直线和已知直线平行 若找不到这样的直线 可以考虑通过面面平行来推导线面平行 2 应用线面平行性质的关键是如何确定交线的位置 有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线 变式训练 如图所示 在四棱锥s abcd中 底面abcd为平行四边形 e f分别为ab sc的中点 求证 ef 平面sad 证明 方法一 作fg dc交sd于点g 则g为sd的中点 连接ag 则fgcd 又cdab 且e为ab的中点 故fgae 四边形aefg为平行四边形 ef ag 又 ag 平面sad ef平面sad ef 平面sad 方法二 取线段cd的中点m 连接me mf e f分别为ab sc的中点 me ad mf sd 又 me mf平面sad me 平面sad mf 平面sad me mf相交 平面mef 平面sad ef 平面mef ef 平面sad 变式备选 如图 四边形abcd adef都是正方形 m bd n ae 且bm an 求证 mn 平面ced 证明 连接am 并延长交cd于g 连接ge ab cd 又 bd ae且an bm mn eg 又eg 平面cde mn平面cde mn 平面cde 热点考向2面面平行的判定和性质 方法点睛 1 面面平行的判定方法 1 利用定义 即证两个平面没有公共点 2 利用面面平行的判定定理 3 利用垂直于同一条直线的两平面平行 4 利用平面平行的传递性 即两个平面同时平行于第三个平面 则这两个平面平行 2 证明线线平行的方法 1 利用公理4 即利用平行线的传递性证明 2 利用线面平行的性质 即将线面平行转化为线线平行 3 利用线面垂直的性质 即垂直于同一平面的两直线平行 4 利用面面平行的性质 即如果一平面与两平行平面都相交 则交线平行 提醒 三种平行间的转化关系线线平行 线面平行 面面平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想 解题中既要注意一般的转化规律 又要看清题目的具体条件 选择正确的转化方向 例2 如图 已知 异面直线ab cd和平面 分别交于a b c d四点 e f g h分别是ab bc cd da的中点 求证 1 e f g h共面 2 平面efgh 平面 解题指南 1 证明四边形efgh为平行四边形即可 2 利用面面平行的判定定理 转化为线面平行来证明 规范解答 1 e h分别是ab da的中点 ehbd 同理 fgbd fgeh 四边形efgh是平行四边形 e f g h共面 2 平面abd和平面 有一个公共点a 设两平面交于过点a的直线ad ad bd 又 bd eh eh bd ad eh 平面 同理 ef 平面 又eh ef e eh 平面efgh ef 平面efgh 平面efgh 平面 反思 感悟 1 线面 面面平行的判定和性质常常结合在一起进行考查 解题中要注意性质和判定交替应用 2 利用判定或性质解题时 应注意解题过程的规范性 即要准确地使用数学语言及符号来表示出定理的有关内容 变式训练 在正方体abcd a1b1c1d1中 m n p分别是c1c b1c1 c1d1的中点 求证 平面mnp 平面a1bd 证明 如图 连接b1d1 b1c p n分别是d1c1 b1c1的中点 pn b1d1 又b1d1 bd pn bd 又pn平面a1bd pn 平面a1bd 同理mn 平面a1bd 又pn mn n 平面mnp 平面a1bd 热点考向3线面平行 面面平行的综合应用 方法点睛 平行关系中范围问题的解答策略解答立体几何中的有关最值或范围问题 常用函数思想解决 通过设出适当的变量 建立函数关系 转化为求函数的最值 或值域 的问题 解题时要弄清哪些是定值 哪些是变量 如何根据题意建立函数关系 如何求函数的最值等 例3 1 2012 福州模拟 给出互不相同的直线m n l和平面 下列四个命题 若m l a am 则l与m不共面 若l m是异面直线 l m 且n l n m 则n 若l m l m a l m 则 若l m 则l m 其中真命题有 a 4个 b 3个 c 2个 d 1个 2 如图所示 四边形efgh所在平面为三棱锥a bcd的一个截面 四边形efgh为平行四边形 求证 ab 平面efgh cd 平面efgh 若ab 4 cd 6 求四边形efgh周长的取值范围 解题指南 1 利用异面直线的性质 线面垂直的判定及性质 线面平行及面面平行的性质逐一判断命题的真假 2 证明ab cd各平行于平面efgh内的一条直线即可 设ef x 用含x的式子表示四边形efgh的周长 转化为求关于x的函数的值域 规范解答 1 选b 由异面直线的性质知 正确 由题意知 l垂直于平面 内的两条相交直线 l 正确 由面面平行的判定定理的推论易知 正确 对于 l与m也可能相交 异面 不正确 故选b 2 四边形efgh为平行四边形 ef gh hg 平面abd ef平面abd ef 平面abd ef 平面abc 平面abd 平面abc ab ef ab ef 平面efgh ab平面efgh ab 平面efgh 同理可得cd 平面efgh 设ef x 0 x 4 四边形efgh的周长为l 由 知ef ab 则又由 同理可得cd fg 则 从而fg 6 x 四边形efgh的周长l 2 x 6 x 12 x 又0 x 4 8 l 12 即四边形efgh周长的取值范围为 8 12 互动探究 本例第 2 题的条件不变 结论改为 若ab 4 cd 6 当四边形efgh的面积最大时 求截面的位置 如何求解 解析 设ef x efg 为异面直线ab cd所成的角或其补角 由本例的解题过程可得fg 6 x 故所以当x 2时 四边形efgh的面积最大 此时fg 3 即e f g h分别为ac bc bd ad的中点 反思 感悟 解决立体几何中范围 或最值 问题的关键是如何确定变量及如何建立关系式 求最值的常用方法是运用函数或利用基本不等式 解题中需注意函数的定义域及基本不等式成立的条件 变式备选 如图所示 在棱长为1的正方体abcd a1b1c1d1中 点m在ad1上移动 点n在bd上移动 d1m dn a 0 a 连接mn 1 证明对任意a 0 总有mn 平面dcc1d1 2 当a为何值时 mn的长最小 解析 1 作mp ad 交dd1于p 作nq bc 交dc于q 连接pq 由题意得mp nq 且mp nq 则四边形mnqp为平行四边形 mn pq 又pq 平面dcc1d1 mn平面dcc1d1 mn 平面dcc1d1 2 由 1 知四边形mnqp为平行四边形 mn pq 由已知得d1m dn a dd1 ad dc 1 ad1 bd d1p 1 a dq 1 a 即 mn pq故当a 时 mn的长有最小值 即当m n分别移动到ad1 bd的中点时 mn的长最短 此时mn的长为 1 2013 三明模拟 若直线l 平面 直线a 则l与a的位置关系是 a l a b l与a异面 c l与a相交 d l与a没有公共点 解析 选d l a 根据直线和平面平行的定义知l与a没有公共点 2 2013 宁德模拟 在空间中 有如下命题 互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线 若平面 平面 则平面 内任意一条直线m 平面 若平面 与平面 的交线为m 平面 内的直线l平行平面 则直线l m 若平面 内的三点a b c到平面 的距离相等 则 其中正确命题的个数为 解析