高考数学 第六章 第七节数学归纳法课件 理.ppt

第七节数学归纳法 数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题 可按以下步骤 1 归纳奠基 证明当n取 n0 n 时命题成立 2 归纳递推 假设n k k n0 k n 时命题成立 证明当 时命题也成立 只要完成这两个步骤 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立 第一个值n0 n k 1 即时应用 判断下列各说法是否正确 请在括号中填写 或 1 用数学归纳法验证第一个值n0 则n0必定为1 2 数学归纳法的两个步骤是缺一不可的 3 应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n n 3 条时 第一步是检验n等于3 4 用数学归纳法证明 1 2 22 2n 2 2n 3 1 时 验证n 1时 左边式子应为1 2 22 解析 1 错误 有些数学归纳法证明题 第一步验证初始值不是1 可能为2 3 4等 2 正确 数学归纳法的两个步骤缺一不可 第一步是归纳奠基 第二步是归纳递推 3 正确 第一步检验n 3 即三角形的对角线条数为0 4 错误 验证n 1时 左边式子应为1 2 22 23 答案 1 2 3 4 热点考向1用数学归纳法证明等式 方法点睛 用数学归纳法证明等式的规则 1 数学归纳法证明等式要充分利用定义 其中两个步骤缺一不可 缺第一步 则失去了递推基础 缺第二步 则失去了递推依据 2 证明等式时要注意等式两边的构成规律 两边各有多少项 并注意初始值n0是多少 同时第二步由n k到n k 1时要充分利用假设 不利用n k时的假设去证明 就不是数学归纳法 例1 是否存在常数a b c 使得等式 n2 12 2 n2 22 n n2 n2 an4 bn2 c对一切正整数n都成立 若存在 求出a b c的值 若不存在 说明理由 解题指南 本题是开放式 存在性的问题 一般是先假设存在 利用特值求得a b c的值 而后用数学归纳法证明 规范解答 假设存在a b c使得所给等式成立 令n 1 2 3代入等式得解得以下用数学归纳法证明等式 n2 12 2 n2 22 n n2 n2 对一切正整数n都成立 1 当n 1时 由以上可知等式成立 2 假设当n k时 等式成立 即 k2 12 2 k2 22 k k2 k2 则当n k 1时 k 1 2 12 2 k 1 2 22 k k 1 2 k2 k 1 k 1 2 k 1 2 k2 12 2 k2 22 k k2 k2 2k 1 2 2k 1 k 2k 1 由 1 2 知 等式对一切正整数n都成立 反思 感悟 1 对于开放式的与n有关的等式证明问题 一般是先假设结论成立 利用n的前几个取值求参数 而后用数学归纳法证明 2 在使用数学归纳法的第二步进行证明时 事实上 归纳假设 已经成了已知条件 n k 1时结论正确 则是求证的目标 可先用分析法的思路 借助已学过的公式 定理或运算法则进行恒等变形 把待证的目标拼凑出归纳假设的形式 再把运用归纳假设后的式子进行变形 证明 变式训练 已知n n 证明 证明 1 当n 1时 左边 右边 等式成立 2 假设当n k k n 时等式成立 即有 那么当n k 1时 左边 右边 所以当n k 1时等式也成立 综合 1 2 知对一切n n 等式都成立 热点考向2用数学归纳法证明不等式问题 方法点睛 应用数学归纳法证明不等式应注意的问题 1 当遇到与正整数n有关的不等式证明时 应用其他办法不容易证 则可考虑应用数学归纳法 2 用数学归纳法证明不等式的关键是由n k成立 推证n k 1时也成立 证明时用上归纳假设后 可采用分析法 综合法 求差 求商 比较法 放缩法等证明 例2 2012 大纲版全国卷 函数f x x2 2x 3 定义数列 xn 如下 x1 2 xn 1是过两点p 4 5 qn xn f xn 的直线pqn与x轴交点的横坐标 1 证明 2 xn xn 1 3 2 求数列 xn 的通项公式 规范解答 1 用数学归纳法证明2 xn xn 1 3 当n 1时 x1 2 直线pq1的方程为令y 0 解得x2 所以2 x1 x2 3 假设n k时 结论成立 即2 xk xk 1 3 直线pqk 1的方程为令y 0 解得xk 2 由归纳假设知 xk 2 即xk 2 xk 1 所以2 xk 1 xk 2 3 即当n k 1时 结论成立 由 知 对于任意的正整数n 2 xn xn 1 3成立 2 由 1 及xn 1 设bn xn 3 则数列 是首项为公比为5的等比数列 所以即数列 xn 的通项公式为 变式训练 证明不等式 证明 1 当n 1时 左边 1 右边 2 不等式成立 2 假设当n k k n 时 不等式成立 即那么当n k 1时 方法一 分析法要证因为0 1显然成立 所以 方法二 综合法 放缩法 方法三 综合法 基本不等式法 这就是说 当n k 1时 不等式也成立 由 1 2 可知 原不等式对任意正整数n都成立 归纳 猜想 证明类问题 方法点睛 归纳 猜想 证明类问题的解题步骤 1 利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题 存在性问题 其基本模式是 归纳 猜想 证明 即先由合情推理发现结论 然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性 2 归纳 猜想 证明 的基本步骤是 试验 归纳 猜想 证明 高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题 例 2012 南京模拟 已知数列 an 满足sn an 2n 1 1 写出a1 a2 a3 并推测an的表达式 2 用数学归纳法证明所得的结论 解题指南 1 利用sn a1 a2 an 且sn an 2n 1 代入n 1 2 3得a1 a2 a3 从而猜想an 2 应用数学归纳法证明时 要利用n k的假设去推证n k 1时成立 规范解答 1 将n 1 2 3分别代入可得 2 由 1 得n 1时 命题成立 假设n k时 命题成立 即那么当n k 1时 a1 a2 ak ak 1 ak 1 2 k 1 1 且a1 a2 ak 2k 1 ak 2k 1 ak 2ak 1 2 k 1 1 2k 3 2ak 1 2 2 ak 1 2 即当n k 1时 命题也成立 根据 得 对一切n n an 都成立 互动探究 若本例中sn an 2n 1变为sn an 2n 其余不变 又将如何求解 解析 1 将n 1 2 3分别代入已知可得猜想 2 当n 1时 a1 1 猜想显然成立 假设当n k k 1且k n 时 猜想成立 即那么 当n k 1时 当n k 1时猜想也成立 综合 知 当n n 时猜想成立 反思 感悟 归纳 猜想 证明 是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式 此种方法在解探索性问题 存在性问题时起着重要的作用 特别是在数列中求an sn时更是应用频繁 变式备选 数列 an 中 a1 1 n 2 求a3 a4 猜想an的表达式 并用数学归纳法证明你的猜想 解析 因为a1 1 n 2 所以同理可求得a4 归纳猜想 下面用数学归纳法证明猜想正确 1 当n 1时 易知猜想正确 2 假设当n k k n 时 猜想正确 即那么当n k 1时 即当n k 1时 猜想也正确 由 1 2 可知 猜想对任意正整数都正确 1 2012 南阳模拟 用数学归纳法证明等式1 2 3 n 3 n n 时 第一步验证n 1时 左边应取的项是 a 1 b 1 2 c 1 2 3 d 1 2 3 4 解析 选d 当n 1时 左边是1 2 3 4 是由1加到n 3 故选d 2 2013 三明模拟 用数学归纳法证明等式 1 2 3 n2 n n 则从n k到n k 1时 左边应添加的项为 a k2 1 b k 1 2 c d k2 1 k2 2 k2 3 k 1 2 解析 选d n k时 等式左边 1 2 3 k2 n k 1时 等式左边 1 2 3 k2