高中物理 1.1机械振动课件 沪科版选修34.ppt

第1讲机械振动 考点1简谐运动 1 概念质点的位移与时间的关系遵从 的规律 即它的振动图象 x t图象 是一条 正弦函数 正弦曲线 2 简谐运动的表达式 1 动力学表达式 f 其中 表示回复力与 的方向相反 2 运动学表达式 x asin t 其中a代表振幅 表示简谐运动的快慢 t 代表简谐运动的 叫做初相 3 回复力 1 定义 使物体返回到 的力 2 方向 时刻指向 3 来源 振动物体所受的沿 的合力 kx 位移 2 f 相位 平衡位置 平衡位置 振动方向 4 描述简谐运动的物理量 物理量 定义 意义 位移 振幅 周期 频率 相位 由 指向质点 的有向线段 描述质点振动中某时刻的位置相对于 的位移 振动物体离开平衡位置的 描述振动的 和能量 振动物体完成一次 所需时间 振动物体 内完成全振动的次数 描述周期性运动在各个时刻所处的 描述振动的 两者互为倒数 平衡位置 所在位置 最大距离 强弱 全振动 单位时间 快慢 不同状态 平衡位置 简谐运动的五个特征1 动力学特征 f kx 表示回复力的方向与位移方向相反 k是比例系数 不一定是弹簧的劲度系数 2 运动学特征 简谐运动的加速度与物体偏离平衡位置的位移成正比而方向相反 为变加速运动 远离平衡位置时 x f a ep均增大 v ek均减小 靠近平衡位置时则相反 3 运动的周期性特征 相隔t或nt的两个时刻振子处于同一位置且振动状态相同 4 对称性特征 1 相隔或 n为正整数 的两个时刻 振子位置关于平衡位置对称 位移 速度 加速度大小相等 方向相反 2 如图所示 振子经过关于平衡位置o对称的两点p p op op 时 速度的大小 动能 势能相等 相对于平衡位置的位移大小相等 3 振子由p到o所用时间等于由o到p 所用时间 即tpo top 4 振子往复过程中通过同一段路程 如op段 所用时间相等 即top tpo 5 能量特征 振动的能量包括动能ek和势能ep 简谐运动过程中 系统动能与势能相互转化 系统的机械能守恒 考点2简谐运动的图象1 物理意义 表示振子的 随时间变化的规律 为正弦 或余弦 曲线 2 简谐运动的图象 1 从平衡位置开始计时 把开始运动的方向规定为正方向 函数表达式为x 图象如图甲所示 位移 asin t 2 从正的最大位移处开始计时 函数表达式为x 图象如图乙所示 1 对简谐运动图象的认识 1 简谐运动的图象是一条正弦或余弦曲线 如图所示 acos t 2 图象反映的是位移随时间的变化规律 随时间的增加而延伸 图象不代表质点运动的轨迹 3 任一时刻图线上过该点切线的斜率数值表示该时刻振子的速度大小 正负表示速度的方向 正时沿x正方向 负时沿x负方向 2 图象信息 1 由图象可以得出质点做简谐运动的振幅 周期 2 可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移 3 可以根据图象确定某时刻质点回复力 加速度和速度的方向 回复力和加速度的方向 因回复力总是指向平衡位置 故回复力和加速度在图象上总是指向t轴 速度的方向 速度的方向可以通过下一时刻位移的变化来判定 下一时刻位移如增加 振动质点的速度方向就是远离t轴 下一时刻位移如减小 振动质点的速度方向就是指向t轴 考点3简谐运动的两种模型 名称 项目 水平弹簧振子 单摆 模型示意图 做简谐运动的条件 平衡位置 忽略弹簧质量 在弹簧弹性限度内 细线不可伸缩 摆球足够小且 摆角很小 弹簧处于 处 小球运动轨迹的最低点 无摩擦 密度大 原长 名称 项目 水平弹簧振子 单摆 回复力 周期公式 能量转化 弹簧的 提供 摆球 沿与摆线垂直方向的分力 不作要求 弹性势能与动能相互转化 守恒 重力势能与动能相互转化 守恒 弹力 重力 机械能 机械能 1 弹簧振子的理解 1 水平方向的弹簧振子 回复力是弹簧的弹力 振动过程中动能和弹性势能间相互转化 2 竖直方向的弹簧振子 回复力是弹簧的弹力和重力的合力 振动过程中动能 弹性势能以及重力势能间相互转化 2 单摆的理解 1 回复力由重力的切向分力提供 在偏角最大时 回复力也可以说成拉力和重力的合力 2 平衡位置是回复力等于零的位置 但合力不等于零 3 公式可以把l理解为等效摆长l 并不一定是绳长 其大小等于悬点到球心的距离 把g理解为等效重力加速度g 其值等于单摆所处的相应的平衡位置且不摆动时 即摆球相对悬点静止 不管悬点如何运动还是受别的力作用 摆线的拉力f与摆球质量的比值 即g 这样 等效单摆的周期公式变为 考点4受迫振动和共振1 受迫振动 1 概念 振动系统在周期性 作用下的振动 2 特点 受迫振动的频率等于 的频率 跟系统的固有频率 2 共振 1 现象 当驱动力的频率等于系统的 时 受迫振动的振幅最大 2 条件 驱动力的频率等于 驱动力 驱动力 无关 固有频率 固有频率 3 特征 共振时振幅 4 共振曲线 如图所示 最大 自由振动 受迫振动和共振的比较 振动周期或频率 振动类型 比较项目 自由振动 受迫振动 共振 受力情况 仅受回复力 周期性驱动力作用 周期性驱动力作用 由系统本身性质决定 即固有周期或固有频率 由驱动力的周期或频率决定 即t t驱或f f驱 t驱 t固或f驱 f固 振动类型 比较项目 自由振动 受迫振动 共振 振动能量 常见例子 振动物体的机械能不变 由产生驱动力的物体提供 振动物体获得的能量最大 弹簧振子或单摆 10 机械工作时底座发生的振动 共振筛 转速计等 考点5实验 用单摆测定重力加速度实验原理当偏角很小时 单摆做简谐运动 其运动周期为t 由此得到g 测出摆长l和振动周期t 就可以求出当地重力加速度g的值 1 数据处理的两种方法方法一 计算法 根据公式t g 将测得的几次周期t和摆长l代入公式g 中算出重力加速度g的值 再算出g的平均值 即为当地的重力加速度的值 方法二 图象法 由单摆的周期公式t 可得l 因此以摆长l为纵轴 以t2为横轴作出的l t2图象是一条过原点的直线 如图所示 求出图线的斜率k 即可求出g值 g 4 2k 2 注意事项 1 选择材料时应选择细 轻又不易伸长的线 长度一般在1m左右 小球应选用密度较大的金属球 直径应较小 最好不超过2cm 2 单摆悬线的上端不可随意卷在铁夹的杆上 应夹紧在铁夹中 以免摆动时发生摆线下滑 摆长改变的现象 3 摆动时注意控制摆线偏离竖直方向不超过10 可通过估算振幅的办法掌握 4 摆球振动时 要使之保持在同一个竖直平面内 不要形成圆锥摆 5 计算单摆的振动次数时 应从摆球通过最低位置时开始计时 为便于计时 可在摆球平衡位置的正下方作一标记 以后摆球每次从同一方向通过最低位置时进行计数 且在数 零 的同时按下秒表 开始计时计数 简谐运动的特征 例证1 如图所示 一轻弹簧与质量为m的物体组成弹簧振子 物体在同一条竖直线上的a b间做简谐运动 o为平衡位置 c为ao的中点 已知co h 弹簧的劲度系数为k 某时刻物体恰好以大小为v的速度经过c点并向上运动 则以此时刻开始半个周期的时间内 对质量为m的物体 下列说法正确的是 a 重力势能减少了2mghb 回复力做功为2mghc 速度的变化量的大小为2vd 通过a点时回复力的大小为kh 解题指南 解答本题应把握以下三点 1 简谐运动具有对称性 2 重力做功与路径无关 3 速度是矢量 速度变化按矢量运算法则 自主解答 选a c 作出弹簧振子的振动图象如图所示 由于振动的周期性和对称性 在半个周期内弹簧振子将运动到o点下方的d点 c d两点相对平衡位置o对称 因 此弹簧振子的高度降低了2h 重力做功2mgh 故弹簧振子的重力势能减少了2mgh a项正确 回复力是该振子所受的合外力 由对称关系知 弹簧振子过d点的速度大小与过c点时相等 方向竖直向下 因此回复力做的功等于弹簧振子动能的改变量为零 而速度的变化为 v v v 2v b错 c对 弹簧振子通过a点时相对平衡位置的位移为2h 因此回复力f kx 2kh d项错 总结提升 解答本题的关键是要明确简谐运动具有对称性的特点 竖直方向的弹簧振子做简谐运动的回复力是重力和弹簧弹力的合力 以及重力做功与路径无关的特点 对易错选项及错误原因具体分析如下 简谐运动的公式与图象 例证2 12分 如图所示为一弹簧振子的振动图象 试完成以下问题 1 写出该振子简谐运动的表达式 2 在第2s末到第3s末这段时间内 弹簧振子的加速度 速度 动能和弹性势能各是怎样变化的 3 该振子在前100s的总位移是多少 路程是多少 解题指南 分析该题时应关注以下四点 1 振子的初始位置及运动方向 2 振子位移的大小 方向及其变化趋势 3 由位移变化判断a v ek ep的变化 4 由运动特点确定位移和路程 规范解答 1 由振动图象可得 振幅a 5cm 1分 周期t 4s 1分 初相 0 1分 则圆频率 rad s 1分 故该振子做简谐运动的表达式为 x 5sint cm 2分 2 由图可知 在t 2s时振子恰好通过平衡位置 此时加速度为零 随着时间的延续 位移值不断加大 加速度的值也变大 速度值不断变小 动能不断减小 弹性势能逐渐增大 当t 3s时 加速度的值达到最大 速度等于零 动能等于零 弹性势能达到最大值 4分 3 振子经过一个周期位移为零 路程为5 4cm 20cm 前100s刚好经过了25个周期 所以前100s振子位移x 0 1分 振子路程s 20 25cm 500cm 5m 1分 答案 1 x 5sint cm 2 见规范解答 3 05m 总结提升 简谐运动问题的求解思路 1 应用简谐运动的表达式x asin t 解决简谐运动问题 首先要明确表达式中各物理量的意义 找到各物理量对应的数值 根据 2 f确定此三个描述振动快慢的物理量间的关系 对于同一质点的振动 不同形式的简谐运动位移表达式初相位并不相同 2 求解简谐运动问题的有效方法就是紧紧抓住一个模型 水平方向振动的弹簧振子 熟练掌握振子的振动过程以及振子振动过程中各量的变化规律 遇到简谐运动问题 头脑中立即呈现出一幅弹簧振子振动的图景 再把问题一一对应 分析求解 简谐运动的周期性和对称性 例证3 如图所示 在水平地面上有一段光滑圆弧形槽 弧的半径是r 所对圆心角小于10 现在圆弧的右侧边缘m处放一个小球a 使其由静止下滑 则 1 小球由m至o的过程中所需时间t为多少 在此过程中能量如何转化 定性说明 2 若在mn圆弧上存在两点p q 且p q关于o对称 且已测得小球a由p直达q所需时间为 t 则小球由q至n的最短时间为多少 3 若在圆弧的最低点o的正上方h处由静止释放小球b 让其自由下落 同时a球从圆弧右侧由静止释放 欲使a b两球在圆弧最低点o处相遇 则b球下落的高度h是多少 解题指南 圆弧光滑且圆心角小于10 故球的运动可等效为单摆 即球在圆弧上做简谐运动 从而利用简谐运动的周期性和对称性以及机械能守恒解决问题 自主解答 1 由单摆周期公式t 知 小球a的运动周期t 所以在由m o的过程中小球a的重力势能转化为动能 2 由对称性可知代入数据解得q至n的最短时间 3 欲使a b相遇 则两球运动时间相同 且必须同时到达o点 a球能到o点的时间可以是t 也可以是t 故由简谐运动的周期性可知两球相遇所经历时间可以是 n t或 n t n 0 1 2 3 所以a球运动的时间必为t的奇数倍 即所以答案 1 球a的重力势能转化为动能 总结提升 应用 单摆模型 解题应注意的问题 1 单摆模型指符合单摆规律的模型 满足条件 圆弧运动 小角度摆动 回复力满足f kx 2 首先确认符合单摆模型的条件 即 小球沿光滑圆弧运动 小球受重力 轨道支持力 此支持力类似单摆中的摆线拉力 故此装置可称为 类单摆 然后寻找等效摆长l及等效加速度g 最后利用公式t 或简谐运动规律分析求解问题 3 小球沿光滑轨道做简谐运动时具有往复性 解题时要审清题意 防止漏解或多解 4 物体在做非匀速圆周运动时 由于速率在变化 所以涉及到运动时间时 无法利用运动学公式求得 如果满足 单摆模型 则可以把物体的运动看做单摆中摆球的运动 从而利用单摆周期公式解决 另外解此类问题常用到由特殊到一般的思维方法 用单摆测定重力加速度 例证4 2011 福建高考 某实验小组在利用单摆测定当地重力加速度的实验中 1 用游标卡尺测定摆球的直径 测量结果如图所示 则该摆球的直径为 cm 2 小组成员在实验过程中有如下说法 其中正确的是 填选项前的字母 a 把单摆从平衡位置拉开30 的摆角 并在释放摆球的同时开始计时b 测量摆球通过最低点100次的时间t 则单摆周期为c 用悬线的长度加摆球的直径作为摆长 代入单摆周期公式计算得到的重力加速度值偏大d 选择密度较小的摆球 测得的重力加速度值误差较小 解题指南 解答本题应把握以下两点 1 分析游标卡尺的精度 利用读数公式读数 2 从减小实验误差的角度及周期的定义分析 自主解答 1 游标卡尺读数 主尺示数 游标示数 0 9cm 7 0 01cm 0 97cm 2 要使摆球做简谐运动 摆角应小于10 应选择密度较大的摆球 阻力的影响较小 测得重力加速度误差较小 a d错 摆球通过最低点100次 完成50次全振动 周期是 b错 摆长应是l 若用悬线的长度加直径 由g 可知测出的重力加速度偏大 c对 答案 1 0 97 2 c 总结提升 游标卡尺的读数技巧 1 对三种游标卡尺的原理和精度做到准确理解熟练掌握 见下表 2 牢记 掌握读数规律和读数公式 读数公式读数 主尺上的整毫米数 精确度 n n为游标尺上与主尺某一刻度对齐的格数 读数位数 各种游标卡尺的读数结果若以毫米为单位 小数点后保留的位数与其精确度相同 3 减少各种失误 如游标尺上的精度分析错误 把边框线误认为零刻线 计算失误等 1 2011 上海高考 两个相同的单摆静止于平衡位置 使摆球分别以水平初速v1 v2 v1 v2 在竖直平面内做小角度摆动 它们的频率与振幅分别为f1 f2和a1 a2 则 a f1 f2 a1 a2b f1a2d f1 f2 a1v2 所以最低点动能ek1 ek2 根据机械能守恒 在最高点的重力势能ep1 ep2 即振幅a1 a2 所以c选项正确 2 一个在y方向上做简谐运动的物体 其振动图象如图所示 下列关于图甲 丁的判断正确的是 选项中v f a分别表示物体的速度 受到的回复力和加速度 a 图甲可作为该物体的v t图象b 图乙可作为该物体的f t图象c 图丙可作为该物体的f t图象d 图丁可作为该物体的a t图象 解析 选c 因为f kx a 故图丙可作为f t a t图象 而v随x增大而减小 故v t图象应为图乙 3 2012 泰安模拟 如图所示 两个弹簧振子悬挂在同一支架上 已知甲弹簧振子的固有频率为8hz 乙弹簧振子的固有频率为72hz 当支架受到竖直方向且频率为9hz的驱动力作用做受迫振动时 两个弹簧振子的振动情况是 a 甲的振幅较大 且振动频率为8hzb 甲的振幅较大 且振动频率为9hzc 乙的振幅较大 且振动频率为9hzd 乙的振幅较大 且振动频率为72hz 解析 选b 据受迫振动发生共振的条件可知甲的振幅较大 因为甲的固有频率接近驱动力的频率 做受迫振动物体的频率等于驱动力的频率 所以b选项正确 4 某质点正在做周期为t的简谐运动 下列说法中正确的是 a 质点从平衡位置起第1次到达最大位移处所需时间为b 质点走过一个振幅那么长的路程所用的时间总是c 质点在时间内走过的路程可以大于 也可以小于一个振幅的长度d 质点在时间内走过的路程可能等于一个振幅的长度 解析 选a c 由简谐运动的特点知质点从平衡位置起第一次到达最大位移处所用时间为 a对 质点从一般位置开始计时 内走过的路程与振幅之间没有确定的关系 可以大于 也可以小于或等于一个振幅的长度 b错 c对 质点在时间内走过的路程为2倍的振幅 d错 总结提升 判断振幅与路程的关系的方法简谐运动中的路程是标量 是随时间不断增大的 其中常用的定量关系是 一个周期内的路程为4倍的振幅 半个周期内的路程为2倍的振幅 若从特殊位置开始计时 如平衡位置 最大位移处 周期内的路程等于1倍的振幅 若从一般位置开始计时 周期内路程与振幅之间没有确定关系 路程可能大于 等于或小于振幅 5 2012 宝山模拟 如图为用单摆测重力加速度的实验 1 为了减小误差 下列措施正确的是 a 摆长l应为线长与摆球半径的和 且在20cm左右b 在摆线上端的悬点处 用开有夹缝的橡皮塞夹牢摆线c 在铁架台的竖直杆上固定一个标志物 且尽量使标志物靠近摆线d 计时起点和终点都应在摆球的最高点且不少于30次全振动的时间 2 某同学正确操作 得到了摆长l和n次全振动的时间t 由此可知这个单摆的周期t 当地的重力加速度g 解析 1 选b c 摆长应为摆线长加上摆球的半径 摆长在1m左右为宜 a错 为使实验过程中摆长不变 悬点处用开有夹缝的橡皮塞夹牢摆线 b对 在铁架台的竖直杆上固定一个标志物 且尽量使标志物靠近摆线可减小计时误差 c对 计时起点与终点应在平衡位置 因为此位置摆球速度大 计时误差小 d错 2 由t nt知单摆的周期由得g 将t代入得答案 1 b c 2 6 一质点做简谐运动的振动图象如图所示 1 该质点振动的振幅是 cm 周期是 s 初相是 2 写出该质点做简谐运动的表达式 并求出当t 1s时质点的位移 解析 1 由质点的振动图象可得振幅a 8cm 周期t 0 2s 初相是 2 由于 10 rad s 质点做简谐运动的表达式为x 8sin 10 t 当t 1s时质点的位移x 8cm答案 1 80 2 2 x 8sin 10 t 8cm 7 一砝码和一轻质弹簧构成弹簧振子 如图甲所示 该装置可用于研究弹簧振子的受迫振动 匀速转动把手时 曲杆给弹簧振子以驱动力 使振子做受迫振动 把手匀速转动的周期就是驱动力的周期 改变把手匀速转动的速度就可以改变驱动力的周期 若保持把手不动 给砝码一向下的初速度 砝码便做简谐运动 振动图线如图乙所示 当把手以某一速度匀速转动 受迫振动达到稳定时 砝码的振动图象如图丙所示 若用t0表示弹簧振子的固有周期 t表示驱动力的周期 y表示受迫振动达到稳定后砝码振动的振幅 则 1 稳定后 砝码振动的频率f hz 2 欲使砝码的振动能量最大 需满足什么条件 答 3 利用上述所涉及的知识 请分析某同学所提问题的物理道理 某同学考虑 我国火车第六次大提速时 需尽可能的增加铁轨单节长度 或者使用无接头铁轨 答 解题指南 物体做受迫振动时 其振动频率等于驱动力的频率 与物体的固有频率无关 当f驱 f固时物体做受迫振动的振幅最大 即发生共振 解析 1 由丙图可知 hz 0 25hz 2 砝码振动能量最大时 即振幅最大 故应发生共振 所以应有t t0 4s 3 若单节车轨非常长 或无接头 则驱动力周期非常大 从而远离火车的固有频率 即火车的振幅较小 以便来提高火车的车速 答案 1 0 25 2 t t0 4s 3 远离火车的固有频率 以便于提高火车的车速 8 弹簧振子以o点为平衡位置在b c两点之间做简谐运动 b c相距20cm 某时刻振子处于b点 经过0 5s 振子首次到达c点 1 下列说法中正确的是 a 该弹簧振子的振幅为20cmb 该弹簧振子的周期为1sc 该弹簧振子的频率为2hzd 振子从o点出发到再次回到o点的过程就是一次全振动 2 求振子在5s内通过的路程及位移大小 3 求振子在b点的加速度大小跟距o点4cm处p点的加速度大小的比值 解析 1 选b 设振幅为a 由题意bc 2a 20cm 所以a 10cm a错 振子从b到c所用时间t 0 5s 所以t 1 0s 频率f 1 0hz b对 c错 振子从o点出发到再次回到o点的过程是0 5次全振动 d错 2 振子在1个周期内通过的路程为4a 故在t 5s 5t内通过的路程s 4a 200cm 5s内振子振动了5个周期 5s末振子仍处在b点 所以它偏离平衡位置的位移大小为10cm 3 振子加速度a x a x 所以ab ap xb xp 10 4 5 2 答案 1 b 2 200cm10cm 3 5 2 总结提升 判断一次全振动的两种方法做简谐运动的物体 某段时间内的振动是否为一次全振动 可从以下两个角度判断 1 从物体经过某点时的特征物理量看 如果物体的位移 速度第一次同时回到原值 大小 方向 即物体完成了一次全振动 2 若物体在某段振动中 通过的路程等于振幅的4倍 这段振动一定是一次全振动 9 1 如图所示 弹簧振子在振动过程中 振子从a到b历时0 2s 振子经a b两点时速度相同 若它从b再回到a的最短时间为0 4s c d为振动的最远点 则该振子的振动频率为 a 1hzb 1 25hzc 2hzd 2 5hz 2 一弹簧振子做简谐运动 o为平衡位置 当它经过o点时开始计时 经过0 3s 第一次到达m点 再经过0 2s第二次到达m点 则弹簧振子的周期可能为多少 解析 1 选b 经a b两点时速度相同 可知a b两点关于o点对称 tob s 0 1s 振子从b再回到a的最短时间t 2tbc tba 0 4s 可得tbc 0 1s 所以toc tob tbc 0 1s 0 1s 0 2s 而toc 所以振子振动周期t 4toc 0 8s 振子振动频率f 1 25hz 故b正确 2 如图 a 所示 o表示振子振动的平衡位置 ob或oc表示振幅 振子由o向c运动 从o到c所需时间为周期 由于简谐运动具有对称性 故振子从m到c所用时间与从c到m所用时间相等 故t 0 3s 0 1s 0 4s t 1 6s 如图 b 所示 振子由o向b运动 由于对称性 在ob间必存在一点m 与m点关于o对称 故振子从m 经b到m 所需时间与振子从m经c到m所需时间相同 即0 2s 振子从o到m 和从m 到o及从o到m所需时间相等 为故周期为答案 1 b 2 1 6s或s 10 如图所示 劲度系数为k的轻质弹簧上端固定一个质量为m的小球 向下压小球后释放 使小球开始做简谐运动 该过程弹簧对水平面的最大压力是1 6mg 1 当小球运动到最高点时 对弹簧的弹力大小和方向如何 2 小球做简谐运动的振幅a是多大 解析 1 由题目已知条件可知 弹簧对水平面的最大压力是1 6mg 此时弹簧的弹力应等于1 6mg 处于压缩状态 则此时小球的回复力大小为0 6mg 方向向上 根据简谐运动的对称性可知 当小球运动到最高点时的回复力也是0 6mg 即f回 0 6mg方向向下 小球在最高点受重力和弹簧弹力 则f回 mg f弹得到小球对弹簧的弹力大小为0 4mg 方向向下 2 该简谐运动的平衡位置在弹簧被压缩了处 而小球的最低点在弹簧压缩了x 处 则振幅为a x x0 答案 1 0 4mg方向向下 2 11 1 将一劲度系数为k的轻质弹簧竖直悬挂 下