江苏省南通市海安县实验中学高中数学 2.3离散型随机变量的均值与方差课件 新人教A版选修23.ppt

离散型随机变量的均值与方差 知识梳理1 离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量x的分布列为p x xi pi i 1 2 n 1 均值 称e x 为随机变量x的均值或数学期望 x1p1 x2p2 xipi xnpn 标准差 2 均值与方差的性质 1 e ax b 2 v ax b a b为常数 3 两点分布与二项分布的均值 方差 ae x b a2v x p np p 1 p np 1 p 辨析感悟1 离散型随机变量的均值与方差 1 期望是算术平均数概念的推广 与概率无关 2 教材习题改编 在篮球比赛中 罚球命中1次得1分 不中得0分 如果某运动员罚球命中的概率为0 7 那么他罚球1次的得分x的均值是0 7 方差是0 21 2 均值与方差的性质 3 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度 方差或标准差越小 则偏离均值的平均程度越小 4 已知x的分布列为 5 2013 上海卷改编 设等差数列x1 x2 x3 x19的公差为1 若随机变量x等可能地取值x1 x2 x3 x19 则方差v x 30 感悟 提升 1 对均值 或数学期望 的理解 1 期望是算术平均值概念的推广 是概率意义下的平均 如 1 2 e x 是一个实数 由x的分布列唯一确定 即x作为随机变量是可变的 而e x 是不变的 它描述x取值的平均状态 3 公式e x x1p1 x2p2 xnpn直接给出了e x 的求法 即随机变量取值与相应概率值分别相乘后相加 由此可知 求e x 的关键在于写出随机变量的分布列 考点一离散型随机变量的均值与方差 例1 2013 浙江卷 设袋子中装有a个红球 b个黄球 c个蓝球 且规定 取出一个红球得1分 取出一个黄球得2分 取出一个蓝球得3分 1 当a 3 b 2 c 1时 从该袋子中任取 有放回 且每球取到的机会均等 2个球 记随机变量x为取出此2球所得分数之和 求x的分布列 审题路线 1 对取出球的颜色进行分类以确定得分值 进而确定随机变量x的取值 计算相应的概率 再列出分布列 2 用a b c表示出y取值的概率 列出随机变量y的分布列 求出均值和方差 转化为关于a b c的方程求解 规律方法求解该类问题 首先要理解问题的关键 其次要准确无误地找出随机变量的所有可能取值 计算出相应的概率 写出随机变量的分布列 正确运用均值 方差公式进行计算 也就是要过 三关 阅读理解关 概率计算关 公式应用关 如方差 期望公式要准确理解 记忆 训练1 2014 南昌质检 如图 从a1 1 0 0 a2 2 0 0 b1 0 1 0 b2 0 2 0 c1 0 0 1 c2 0 0 2 这6个点中随机选取3个点 将这3个点及原点o两两相连构成一个 立体 记该 立体 的体积为随机变量v 如果选取的3个点与原点在同一个平面内 此时 立体 的体积v 0 1 求v 0的概率 2 求v的分布列及数学期望e v 考点二与二项分布有关的均值 方差 1 若小明选择方案甲抽奖 小红选择方案乙抽奖 记他们的累计得分为x 求x 3的概率 2 若小明 小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖 问 他们选择何种方案抽奖 累计得分的数学期望较大 审题路线 1 易知x 0 2 3 5 则 x 3 与 x 5 为对立事件 根据相互独立事件与对立事件公式计算 2 每种方案的得分与中奖次数有关 且中奖次数服从二项分布 运用均值的性质求解 法二设小明 小红都选择方案甲所获得的累计得分为y1 都选择方案乙所获得的累计得分为y2 则y1 y2的分布列为 规律方法求离散型随机变量的均值与方差的方法 1 先求随机变量的分布列 然后利用均值与方差的定义求解 2 若随机变量x b n p 则可直接使用公式e x np v x np 1 p 求解 训练2 某人投弹命中目标的概率p 0 8 1 求投弹一次 命中次数x的均值和方差 2 求重复10次投弹时命中次数y的均值和方差 解 1 随机变量x的分布列为因为x服从两点分布 故e x p 0 8 v x p 1 p 0 8 0 2 0 16 2 由题意知 命中次数y服从二项分布 即y b 10 0 8 e y np 10 0 8 8 v y np 1 p 10 0 8 0 2 1 6 考点三均值与方差在决策中的应用 例3 某投资公司在2014年年初准备将1000万元投资到 低碳 项目上 现有两个项目供选择 1 针对以上两个投资项目 请你为投资公司选择一个合理的项目 并说明理由 2 若市场预期不变 该投资公司按照你选择的项目长期投资 每一年的利润和本金继续用作投资 问大约在哪一年的年底总资产 利润 本金 可以翻一番 参考数据 lg2 0 3010 lg3 0 4771 解 1 若按 项目一 投资 设获利为x1万元 则x1的分布列为 若按 项目二 投资 设获利x2万元 则x2的分布列为 规律方法 1 解决此类题目的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件 求得该事件发生的概率 列出分布列 2 随机变量的期望反映了随机变量取值的平均水平 方差反映了随机变量稳定于均值的程度 它们从整体和全局上刻画了随机变量 是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据 训练3 受轿车在保修期内维修费等因素的影响 企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关 某轿车制造厂生产甲 乙两种品牌轿车 保修期均为2年 现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆 统计数据如下 将频率视为概率 解答下列问题 1 从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆 求其首次出现故障发生在保修期内的概率 2 若该厂生产的轿车均能售出 记生产一辆甲品牌轿车的利润为x1 生产一辆乙品牌轿车的利润为x2 分别求x1 x2的分布列 3 该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当 由于资金限制 只能生产其中一种品牌的轿车 若从经济效益的角度考虑 你认为应生产哪种品牌的轿车 说明理由 1 数学期望与方差的性质 1 e ax b ae x b v ax b a2v x a b为常数 2 若x服从两点分布 则e x p v x p 1 p 3 若x服从二项分布 即x b n p 则e x np v x np 1 p 2 求离散型随机变量均值与方差的基本方法 1 已知随机变量的分布列求它的均值 方差 按定义求解 2 已知随机变量x的均值 方差 求x的线性函数y ax b的均值 方差 可直接用x的均值 方差的性质求解 3 如果所给随机变量是服从常用的分布 如两点分布 二项分布等 利用它们的均值 方差公式求解 易错辨析10 不能正确理解题目条件致误 典例 2014 石家庄调研 根据以往的经验 某工程施工期间的降水量x 单位 mm 对工期的影响如下表 历年气象资料表明 该工程施工期间降水量x小于300 700 900的概率分别为0 3 0 7 0 9 求 1 工程延误天数y的均值与方差 2 在降水量x至少是300的条件下 工期延误不超过6天的概率 错解 1 由条件和概率的加法有 p x 300 0 3 p 300 x 700 p x 700 p x 300 0 7 0 3 0 4 p 700 x 900 p x 900 p x 700 0 9 0 7 0 2 p x 900 1 p x 900 1 0 9 0 1 所以y的分布列为 于是 e y 0 0 3 2 0 4 6 0 2 10 0 1 3 v y 0 3 2 0 3 2 3 2 0 4 6 3 2 0 2 10 3 2 0 1 9 8 故工期延误天数y的均值为3 方差为9 8 2 由 1 知 在降水量x至少是300mm条件下 工期不超过6天的概率为p p y 2 p y 6 0 4 0 2 0 6 错因 第 2 问中 在降水量x至少是300mm的条件下 这一条件说明是在延误工期的条件下 求工期延误不超过6天的概率 错解中没有在这条件下求概率 防范措施 1 求某事件概率 首先理解题意 分清概率模型 恰当选择概率计算公式 本题是条件概率 应利用条件概率公式计算 2 解决期望和方差问题时 认真计算 正确利用期望和方差公式 避免失误 自主体验 2013 北京卷 下图是某