高中数学 2.9函数与方程课件 理 新人教A版.ppt

第九节函数与方程 三年12考高考指数 1 函数零点个数 存在区间及方程解的确定与应用是高考的热点 2 常与函数的图象与性质交汇命题 主要考查函数与方程 转化与化归 数形结合思想 3 题型以选择题和填空题为主 若与导数综合 则以解答题形式出现 属中 高档题 1 函数的零点 1 定义 若实数x是函数y f x 的零点 则需满足条件 2 三个等价关系 f x 0 即时应用 1 函数f x x3 x的零点是 2 函数的零点个数是 解析 1 令f x 0 即x3 x 0解得x 0 1 1 f x 的零点为 1 0 1 2 由等价关系 零点个数转化为方程的根的个数即又转化为函数y lgx与图象交点个数 由图象得 有一个交点 答案 1 1 0 1 2 1 2 函数零点的存在性定理 y f x 在 a b 内有零点 即时应用 1 若函数y f x 在区间 a b 上的图象为连续不断的一条曲线 判断下列命题是否正确 请在括号中填写 或 若f a f b 0 则不存在实数c a b 使得f c 0 若f a f b 0 则存在且只存在一个实数c a b 使得f c 0 若f a f b 0 则有可能存在实数c a b 使得f c 0 若f a f b 0 则有可能不存在实数c a b 使得f c 0 2 请思考在定理的条件下 当f x 是 时 在区间 a b 内f x 有唯一的一个零点 3 已知函数f x x3 x 1仅有一个正零点 则此零点所在的最短区间为 区间端点为整数 4 函数f x mx 1在 0 1 内有零点 则实数m的取值范围是 解析 1 如图甲的情况可判断 错 正确 如图乙的情况可判断 不正确 由零点存在性定理可知 不正确 2 由零点存在性定理容易判断f x 是单调函数即可 3 由于f 0 10 f 3 23 0 f 4 59 0 故只有区间 1 2 满足 4 由f 0 f 1 1 答案 1 2 单调函数 3 1 2 4 m 1 3 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象与零点的关系 x1 0 x2 0 x1 0 无交点 x1 x2 x1 无 即时应用 1 若二次函数f x ax2 bx c中 a c 0 则其零点个数是 2 若函数f x ax2 x 1仅有一个零点 则实数a的取值范围是 解析 1 c f 0 a c a f 0 0 即a和f 0 异号 即或 函数必有两个零点 2 当a 0时 则f x x 1 易知函数只有一个零点 当a 0时 则函数为二次函数 仅有一个零点 即 1 4a 0 综上 当a 0或时 函数只有一个零点 答案 1 2 2 a a 0或 4 二分法 1 二分法的定义 满足的条件 在区间 a b 上 的函数y f x 在区间端点的函数值满足 操作过程 把函数f x 的零点所在的区间 使区间的两个端点逐步逼近 进而得到零点的近似值 连续不断 f a f b 0 一分为二 零点 2 用二分法求函数零点近似值的步骤第一步 确定区间 a b 验证 给定精确度 第二步 求区间 a b 的中点c 第三步 计算f c 若f c 0 则c就是函数的零点 若f a f c 0 则令b c 此时零点x0 a c 若f c f b 0 则令a c 此时零点x0 c b 第四步 判断是否达到精确度 即若 a b 则得到零点近似值a 或b 否则重复第二 三 四步 f a f b 0 即时应用 1 已知f x x3 x2 2x 2 f 1 f 2 0 用二分法求f x 在 1 2 内的零点时 第一步是 2 用 二分法 求方程x3 2x 5 0在区间 2 3 内的实根 取区间中点为x0 2 5 那么下一个有根的区间是 解析 1 根据二分法求函数零点近似值的步骤 已知f 1 f 2 0 f 3 0 所以下一个有根的区间是 2 2 5 答案 1 求区间 1 2 的中点为 2 2 2 5 确定函数零点所在的区间 方法点睛 确定函数f x 零点所在区间的常用方法 1 解方程法 当对应方程f x 0易解时 可先解方程 再看求得的根是否落在给定区间上 2 利用函数零点的存在性定理 首先看函数y f x 在区间 a b 上的图象是否连续 再看是否有f a f b 0 若有 则函数y f x 在区间 a b 内必有零点 3 数形结合法 通过画函数图象 观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断 例1 1 2012 豫南九校联考 函数的零点所在的区间为 a 0 1 b 1 2 c 2 3 d 3 4 2 2012 孝感模拟 函数的零点所在的大致区间是 a 1 2 b 2 3 c 3 4 d 4 5 解题指南 1 根据函数零点的存在性定理 只需验证选项中区间端点值是否异号即可作出判断 2 先求函数定义域 将选项中不在定义域中的区间去掉 然后把剩下区间端点处的函数值求出 再判断 规范解答 1 选b f 1 f 2 0 故函数的零点所在的区间为 1 2 2 选c 由题意知函数f x 的定义域为 x x 2 排除a f 3 f 4 0 函数f x 的零点在 3 4 之间 故选c 互动探究 把本例 1 的函数改为方程log3x x 3 其他不变 判断其解所在的区间 解析 构造函数 转化为求函数的零点所在的区间 令f x log3x x 3 则f 2 log32 2 3 f 3 log33 3 3 1 0 又因为函数f x 在 0 上是连续且单调递增的 所以方程log3x x 3的解所在的区间为 2 3 反思 感悟 1 判断函数零点所在的区间 当方程f x 0无法解出或函数y f x 的图象不易作出时 常用函数零点存在的判定定理判断 2 判断方程的解所在的区间常转化为函数的零点问题 变式备选 函数f x ex x 2的零点所在的一个区间是 a 2 1 b 1 0 c 0 1 d 1 2 解析 选c 因为f 0 10 所以零点在区间 0 1 上 故选c 判断函数零点个数 方法点睛 判断函数零点个数的常用方法 1 解方程法 令f x 0 如果能求出解 则有几个解就有几个零点 2 零点存在性定理法 利用定理不仅要求函数在区间 a b 上是连续不断的曲线 且f a f b 0 还必须结合函数的图象与性质 如单调性 奇偶性 周期性 对称性 才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质 3 数形结合法 转化为两个函数的图象的交点个数问题 先画出两个函数的图象 看其交点的个数 其中交点的横坐标有几个不同的值 就有几个不同的零点 例2 2011 陕西高考 函数在 0 内 a 没有零点 b 有且仅有一个零点 c 有且仅有两个零点 d 有无穷多个零点 解题指南 解决本题可转化为两函数和y cosx在 0 的交点个数或根据零点存在性定理及函数的性质进行判断 规范解答 选b 方法一 数形结合法 令则设函数和y cosx 它们在 0 的图象如图所示 显然两函数的图象的交点有且只有一个 所以函数在 0 内有且仅有一个零点 方法二 当时所以当时 所以函数是增函数 又因为所以在上有且只有一个零点 反思 感悟 在判断函数y f x 零点个数时 若方程f x 0易解 则用解方程法求解 否则若可转化为两熟悉函数图象交点问题 用图象法求解 但图象画的太粗糙易出现失误 若图象不易画则可利用零点存在的判定定理及函数的性质综合求解 变式训练 函数y sinx lgx的零点个数为 a 0 b 1 c 2 d 3 解析 选d 令函数y sinx lgx 0 即sinx lgx 设y1 sinx y2 lgx 这两个函数的图象的交点个数就是函数的零点的个数 y2 lgx过 1 0 点和 10 1 点 与y1 sinx的交点个数是3 函数的零点的个数是3 故选d 变式备选 1 判断函数f x log2 x 2 x 1 x 3 是否存在零点 2 判断函数在 1 1 上零点的个数 并说明理由 解析 1 方法一 在同一平面直角坐标系中画出函数y log2 x 2 与函数y x的图象 观察知 两函数在 1 3 上有一个交点 即函数f x log2 x 2 x 1 x 3 存在零点 方法二 显然函数f x log2 x 2 x在 1 3 上是连续不断的 f 1 log2 1 2 1 1 0 f 3 log2 3 2 3 log25 3 0 f x log2 x 2 x 1 x 3 存在零点 2 函数f x 在 1 1 上只有一个零点 显然函数在 1 1 上是连续不断的 又当 1 x 1时 在 1 1 上是单调递增函数 函数f x 在 1 1 上只有一个零点 由函数零点的存在情况求参数的取值 方法点睛 已知函数有零点 方程有根 求参数取值常用的方法和思路 1 直接法 直接根据题设条件构建关于参数的不等式 再通过解不等式确定参数范围 2 分离参数法 先将参数分离 转化成求函数值域问题加以解决 3 数形结合法 先对解析式变形 在同一平面直角坐标系中 画出函数的图象 然后数形结合求解 例3 2012 临沂模拟 已知函数f x x2 2ex m 1 1 若g x m有实数根 求m的取值范围 2 确定m的取值范围 使得g x f x 0有两个相异实根 解题指南 解答 1 可用基本不等式求出最值或数形结合法求解 2 转化为两个函数f x 与g x 有两个交点 从而数形结合求解 规范解答 1 方法一 等号成立的条件是x e 故g x 的值域是 2e 因此 只需m 2e 则g x m就有零点 方法二 作出的大致图象如图 可知若使g x m有零点 则只需m 2e 2 若g x f x 0有两个相异的实根 即g x 与f x 的图象有两个不同的交点 作出的大致图象 f x x2 2ex m 1 x e 2 m 1 e2 其图象的对称轴为x e 开口向下 最大值为m 1 e2 故当m 1 e2 2e 即m e2 2e 1时 g x 与f x 有两个交点 即g x f x 0有两个相异实根 m的取值范围是 e2 2e 1 反思 感悟 有些二次 高次 分式 指数 对数及三角式 含绝对值方程根的存在问题 常转化为求函数值域或两熟悉函数图象交点问题求解 变式训练 2012 武汉模拟 已知函数f x ax3 bx2 c 3a 2b x d a 0 的图象如图所示 1 求c d的值 2 若x0 5 方程f x 8a有三个不同的根 求实数a的取值范围 解析 函数f x 的导函数为f x 3ax2 2bx c 3a 2b 1 由题干图可知 函数f x 的图象过点 0 3 且 2 依题意f x ax3 bx2 3a 2b x 3 a 0 f x 3ax2 2bx 3a 2b 由图知f 5 0 得b 9a 若方程f x 8a有三个不同的根 当且仅当满足f 5 8a f 1 由 得 25a 3 8a 7a 3 解得所以 当时 方程f x 8a有三个不同的根 创新探究 函数零点命题的新考向 典例 2011 山东高考 已知函数f x logax x b a 0 且a 1 当2 a 3 b 4时 函数f x 的零点x0 n n 1 n n 则n 解题指南 解答本题可先确定函数f x 在 0 上的单调性 然后根据a b满足的条件及对数的运算性质探究出f x 零点所在的区间 从而对照x0 n n 1 n n 确定出n的值 规范解答 23 b0 f 3 0 即f 2 f 3 0 由x0 n n 1 n n 知n 2 答案 2 阅卷人点拨 通过对本题的深入研究 我们得到以下创新点拨及备考建议 1 2011 新课标全国卷 在下列区间中 函数f x ex 4x 3的零点所在的区间为 解析 选c f x 是r上的增函数且图象是连续的 又 f x 在内存在唯一零点 2 2011 浙江高考 设函数若f a 4 则实数a a 4或 2 b 4或2 c 2或4 d 2或2 解析 选b 当a 0时 f a a 4 a 4 当a 0时 f a a2 4 a 2 综上 a 4或2 3 2012 武汉模拟 已知函数f x x 2x g x x lnx 的零点分别为x1 x2 x3 则x1 x2 x3的大小关系是 a x1 x2 x3 b x2 x1 x3 c x1 x3 x2 d x3 x2 x1 解析 选a 由已知x1 x2 x3分别为方程x 2x 0 x lnx 0和的根 亦即方程2x x ln