高考数学一轮复习 5.3平面向量的数量积及平面向量的应用课件.ppt

课标版理数 5 3平面向量的数量积及平面向量的应用 1 向量的数量积的定义 1 向量a与b的夹角 已知两个非零向量a b 过o点作 a b 则 aob 0 180 叫做向量a与b的夹角 当 90 时 a与b垂直 记作a b 当 0 时 a与b同向 当 180 时 a与b反向 2 a与b的数量积已知两个非零向量a和b 它们的夹角为 则把数量 a b cos 叫做a和b的数量积 或内积 记作a b a b cos 3 规定0 a 0 4 一个向量在另一个向量方向上的投影设 是a与b的夹角 则 a cos 叫做a在b的方向上的投影 b cos 叫做b在a的方向上的投影 b在a的方向上的投影是一个实数 而不是向量 5 a b的几何意义a b等于a的长度 a 与b在a的方向上的投影 b cos 的乘积 2 向量的数量积的性质设a b都是非零向量 e是与b方向相同的单位向量 是a与e的夹角 则 1 e a a e a cos 2 a b a b 0 3 当a与b同向时 a b a b 当a与b反向时 a b a b 特别地 a a a 2 4 cos 5 a b a b 3 向量的数量积的运算律 1 a b b a 2 a b a b a b r 3 a b c a c b c 4 平面向量的数量积的坐标表示 1 若a x1 y1 b x2 y2 则a b x1x2 y1y2 2 若a x y 则a a a2 a 2 x2 y2 a 3 若a x1 y1 b x2 y2 则 这就是平面内两点间的距离公式 4 若a x1 y1 b x2 y2 a b为非零向量 则a b x1x2 y1y2 0 5 重要不等式若a x1 y1 b x2 y2 则 a b a b a b x1x2 y1y2 1 两个非零向量a b互相垂直 给出下列各式 a b 0 a b a b a b a b a 2 b 2 a b 2 a b a b 0 其中正确的式子有 a 2个b 3个c 4个d 5个答案b 显然正确 由向量运算的三角形法则知a b与a b长度相等 方向不同 所以 错误 正确 由向量数量积的运算律可知 正确 只有在 a b 时 a b与a b才互相垂直 错误 故选b 2 已知向量a 1 k b 2 1 若a与b的夹角为90 则实数k的值为 a b c 2d 2答案c a与b的夹角为90 a b 2 k 0 解得k 2 故选c 3 平面向量a与b的夹角为 a 3 0 b 2 则 a 2b a 7b c d 3答案c a 2b 故选c 4 在边长为1的等边 abc中 设 a b c 则a b b c c a a b 0c d 3答案a依题意有a b b c c a 故选a 5 已知a m 1 3 b 1 m 1 且 a b a b 则m的值是 答案 2解析a b m 2 m 4 a b m 2 m a b a b m m 2 m 4 m 2 0 m 2 典例1 1 2014江苏 12 5分 如图 在平行四边形abcd中 已知ab 8 ad 5 3 2 则 的值是 2 2013课标全国 13 5分 已知正方形abcd的边长为2 e为cd的中点 则 平面向量数量积的直接应用 25 64 13 2 故 22 2 解法一 22 22 2 解法二 以a为原点建立平面直角坐标系 如上图 可得a 0 0 e 1 2 b 2 0 c 2 2 d 0 2 1 2 2 2 则 1 2 2 2 1 2 2 2 2 答案 1 22 2 2解析 1 求两个向量的数量积有三种方法 利用定义 利用向量的坐标运算 利用数量积的几何意义 具体应用时可根据已知条件的特征来选择 同时要注意数量积运算律的应用 1 1 1 在rt abc中 c 90 ab 5 ac 4 求 2 若a 3 4 b 2 1 试求 a 2b 2a 3b 解析 1 在 abc中 c 90 ab 5 ac 4 故bc 3 且cos abc 与的夹角 abc cos abc 5 3 9 2 a 2b 3 4 2 2 1 1 6 2a 3b 2 3 4 3 2 1 12 5 a 2b 2a 3b 1 12 6 5 18 1 2已知向量 2 2 4 1 在x轴上存在一点p使 有最小值 则点p的坐标是 a 3 0 b 2 0 c 3 0 d 4 0 答案c解析设点p的坐标为 x 0 则 x 2 2 x 4 1 x 2 x 4 2 1 x2 6x 10 x 3 2 1 当x 3时 有最小值1 点p的坐标为 3 0 故选c 典例2 1 2014四川 7 5分 平面向量a 1 2 b 4 2 c ma b m r 且c与a的夹角等于c与b的夹角 则m a 2b 1c 1d 2 2 2013湖南 6 5分 已知a b是单位向量 a b 0 若向量c满足 c a b 1 则 c 的取值范围是 a 1 1 b 1 2 c 1 1 d 1 2 答案 1 d 2 a解析 1 解法一 由c与a的夹角等于c与b的夹角 可设c a 向量的夹角与向量的模 b r c ma b m 2 解法二 c ma b m 4 2m 2 c与a的夹角等于c与b的夹角 且向量夹角的取值范围是 0 2 a c b c 2 m 4 4m 4 4m 16 4m 4 m 2 2 以a和b分别为x轴和y轴正向的单位向量建立直角坐标系 则a 1 0 b 0 1 设c x y 则c a b x 1 y 1 c a b 1 x 1 2 y 1 2 1 即 x y 是以点m 1 1 为圆心 1为半径的圆上的点 而 c 所以 c 可以理解为圆m上的点到原点的距离 由圆的性质可知 om r c om r 即 c 1 1 故选a 1 两向量的夹角公式 实质就是向量数量积公式的变形 但应注意夹角定义及夹角范围 2 求向量模的过程 就是求向量数量积 即 a a b 2 1已知 a 4 b 3 2a 3b 2a b 61 1 求a与b的夹角 2 求 a b 和 a b 解析 1 由 2a 3b 2a b 4 a 2 4a b 3 b 2 61及 a 4 b 3得a b 6 cos 又 0 2 a b 同理 a b 2 2已知向量a b夹角为45 且 a 1 2a b 则 b 答案3解析 2a b 两边平方得4 a 2 4 a b cos45 b 2 10 a 1 b 2 2 b 6 0 b 3 b 舍去 典例3 1 2014重庆 4 5分 已知向量a k 3 b 1 4 c 2 1 且 2a 3b c 则实数k a b 0c 3d 2 2014湖北 11 5分 设向量a 3 3 b 1 1 若 a b a b 则实数 答案 1 c 2 3解析 1 2a 3b 2k 3 6 由 2a 3b c 得4k 6 6 0 解得k 3 选c 2 a 3 b a b 3 1 3 1 0 因为 a b a b 所以 a b a b a 2 2 b 2 18 2 2 0 故 3 平面向量的垂直问题 1 当向量a与b是以坐标形式给出 即a x1 y1 b x2 y2 时 若证明a b 则只需证明x1x2 y1y2 0 2 当向量a b没有以坐标形式给出时 要把a b用已知的不共线向量作为基 底来表示 从而利用相关条件进行运算证明a b 0 3 a b 0 a b是对非零向量而言的 若a 0 虽然有a b 0 但不能说a b 3 1若向量a b满足 a 1 b 且a a b 则a与b的夹角为 a b c d 答案c解析 a a b a a b a2 a b 0 a 1 a b a 2 1 又 b cos 0 故c正确 3 2 2014北京西城第一学期期末 9 在平面直角坐标系xoy中 点a 1 3 b 2 k 若向量 则实数k 答案4解析 1 3 3 k 3 1 3 3 k 3 0 k 4 典例4 2013辽宁 17 12分 设向量a sinx sinx b cosx sinx x 1 若 a b 求x的值 2 设函数f x a b 求f x 的最大值 解析 1 由 a 2 sinx 2 sinx 2 4sin2x b 2 cosx 2 sinx 2 1 及 a b 得4sin2x 1 又x 从而sinx 所以x 6分 2 f x a b sinx cosx sin2x 向量与三角函数综合应用 sin2x cos2x sin 当x 时 sin取最大值1 所以f x 的最大值为 12分 在平面向量与三角函数的综合问题中 一方面利用平面向量的语言表述三角函数中的问题 如利用向量平行 垂直及向量模表述三角函数之间的关系等 另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题 在解决此类问 题的过程中 只要根据题目的具体要求 在向量和三角函数之间建立起联系 就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题 4 1已知向量a cos sin b cosx sinx c sinx 2sin cosx 2cos 其中0 x 1 若 求函数f x b c的最小值及相应x的值 2 若a与b的夹角为 且a c 求tan2 的值 解析 1 b cosx sinx c sinx 2sin cosx 2cos f x b c cosxsinx 2cosxsin sinxcosx 2sinx cos 2sinxcosx sinx cosx 令t sinx cosx 则2sinxcosx