高中数学创意（一）重点难点突破课件 新人教A版必修1.ppt

下篇专项导学部分 创意 一 重点难点突破 二次函数在闭区间上的最值 二次函数的区间最值问题 一般有三种情况 1 对称轴 区间都是给定的 2 对称轴动 区间固定 3 对称轴定 区间变动 解决这类问题的思路是 抓住 三点一轴 数形结合 三点是指区间两个端点和中点 一轴指的是对称轴 结合配方法 根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成 对于 2 3 类 通常要分对称轴在区间内 对称轴在区间外两大类情况进行讨论 典例展示 函数f x x2 2ax 1在闭区间 1 1 上的最小值记为g a 1 求g a 的解析式 2 求g a 的最大值 思路分析 画出草图 借助几何图形的直观性 分a 1 1 a 1 a 1三种情况讨论 解 1 函数f x 可化为f x x a 2 1 a2 其图象的对称轴x a与所给区间 1 1 呈现出如下图所示的三种位置关系 结合图形分析如下 当a 1时 f x 在 1 1 上为减函数 故g a f 1 2 2a 当 1 a 1时 g a f a 1 a2 反思感悟 1 研究二次函数在闭区间上的最值问题 先 定性 作草图 再 定量 看着图形求解 事半功倍 借助图形 清晰直观 2 二次函数f x ax2 bx c a 0 在闭区间 m n 上最值的求法 若 m n 则f为函数f x 的一个最值 另一个最值为f m 或f n 若 m n 则f x 在 m n 上为单调函数 f m 和f n 为函数f x 的两个最值 函数创新情境新定义问题 函数是创新性问题较为集中的地带 此类问题主要通过定义新的法则和概念 然后根据新的法则或概念研究函数性质 解决这类问题关键在于对新概念 法则的准确理解 思路分析 依据新定义 求出函数f x 的解析式 数形结合 将方程的实根转为化函数图象的交点问题 进而求x1x2x3的取值范围 反思感悟1 新定义问题求解的关键是读懂定义的意义 并将其运用到新的情境中 从中提取有效信息 注意特殊值的选取 要有利于定性说明问题及便于推理运算 2 根据运算 的规定把分段函数与方程 不等式有机地结合在一起 其实质是研究分段函数的图象和性质 综合考查二次函数的图象 对称性 单调性 方程的根与函数零点 不等式的基本性质等基础知识 答案b 函数图象的识别与应用一直是高考的重点 求解此类问题 一般思路是根据函数的性质 结合图象的平移 翻折 对称 变换进行具体分析判断 如果注意到近年图象识别以选择题的形式呈现 若抓住函数图象上的特殊点或函数在各个区间内函数值的符号 可快速准确作出图象判定 定号 点 法巧解函数图象变换问题 典例展示 2012 湖北高考 已知定义在区间 0 2 上的函数y f x 的图象如右图所示 则y f 2 x 的图象为 思路分析 该题是根据已知函数的图象判断另一个函数的图象 显然考查的重点就是函数图象的平移与翻折变换 但该函数的图象变换要经过两个对称和一个平移 如果从这个方面来判断 掌握不好平移与翻折过程中发生的变化就很容易出错 我们可以根据两个函数图象上点的对应关系 利用特殊点的函数值及其符号来判断函数的图象 解析设g x f 2 x 由y f x 的图象知f 1 1 令2 x 1 得x 1 g 1 f 1 1 从而知a c不正确 又由y f x 图象知f 0 0 令2 x 0 得x 2 故g 2 f 0 0 排除d 应选b 答案b 反思感悟 1 确定函数图象中的定点或找到有信息价值的特殊点 明确给出函数与已知函数 或基本初等函数之间的关系与不同 灵活赋值 准确利用符号运算法则进行判断 2 熟练掌握一些基本初等函数的性质 如y ax a 0 且a 1 恒过定点 0 1 f x log2x 当x 0 1 时f x 0 注意一些二次函数与基本初等函数乘积形式的函数 如g x x2 1 lnx类型的函数 要抓住函数值的符号来确定函数的图象 显然 当x 0 1 时 x2 10 同理当x 1 时 g x 0 函数部分有一类抽象函数问题 它给定函数f x 的某些性质 要证明它的其他性质 或利用这些性质解一些不等式或方程 这些题目的设计一般都有一个基本函数作为 模型 若能分析猜测出这个模型函数 联想这个函数的其他性质来思考解题方法 那么这类问题就能简单获解 利用模型函数巧解抽象函数问题 典例展示1 已知函数f x 对任意实数x y 恒有f x f y f x y 2 当x 0时有f x 2 f 3 5 求不等式f a 2 3的解集 思路分析 由已知条件可猜测f x 是一次函数f x x 1的抽象函数 f x 应是单调递增的函数 由此 我们就能将题目中不等式的函数符号脱去 从而化 隐 为 显 顺利求解 解设x1 x2是r上任意两个值 且x10 当x 0时有f x 2 f x2 x1 2 又f x2 f x2 x1 x1 f x2 x1 f x1 2 f x2 f x1 f x2 x1 2 0 即f x2 f x1 f x 为r上的增函数 又f 3 f 2 1 f 2 f 1 2 3f 1 4 且f 3 5 f 1 3 不等式f a 2 3可化为f a 2 f 1 又f x 为r上的增函数 a 2 1 解得a 3 故不等式f a 2 3的解集是 a a 3 反思感悟1 从函数方程联想到一次函数模型 从而为解题明确了前进的方向 2 求解要抓住两点 一是赋值 由f 3 5 得f 1 3 二是x 0时 f x 2的灵活应用 尽可能地将目标向f x2 x1 转化 补偿训练4 已知函数f x 对任意实数x y 恒有f x y f x f y 且当x 0时有f x 0 f 1 2 求f x 在 2 1 上的最值 解设x1 x2是r上任意两个值 且x10 当x 0时有f x 0 f x2 x1 0 又对任意实数x y 恒有f x y f x f y 令x y 0 则由f 0 f 0 f 0 得f 0 0 再令y x 则f x x f x f x 0 f x f x 即f x 为奇函数 f x2 f x1 f x2 f x1 f x2 x1 0 即f x2 f x1 f x 为r上的增函数 又f 2 f 1 1 2f 1 4 f 1 f 1 2 当x 2 1 时 f x 的最大值为f 1 2 f x 的最小值为f 2 4 典例展示2 设函数f x 是定义在 0 上的增函数 且满足f xy f x f y 若f 3 1 且f a f a 1 2 求实数a的取值范围 思路分析 由条件猜想f x 是对数函数y logax a 0 且a 1 的抽象函数 类比对数的运算法则和函数的单调性去掉符号 f 即得到关于a的不等式 组 求解该不等式 组 即得实数a的取值范围 3 从条件中猜想模型函数 以此模型函数为桥梁 找出证明抽象函数其他性质的方法 常见的抽象函数的性质与对应的特殊模型函数的对照表如下 2 设x1 x2是r上任意两个值 且x10 f x2 0 x2 x1 0 所以00 f x2 x1 1 0 所以f x1 f x2 x1 1 0 即f x2 f x1 0 即f x2 f x1 所以f x 在r上单调递减 图表信息型应用问题 以图表信息为背景的函数应用问题是高考中的一道亮丽的风景线 这类问题是由图表给出数据信息 探求变量之间的关系 再综合应用有关函数知识加以分析 从而解决实际问题的 典例展示 某民营企业生产a b两种产品 根据市场调查与预测 a产品的利润与投资成正比 其关系如图 1 b产品的利润与投资的算术平方根成正比 其关系如图 2 注 利润与投资的单位 万元 1 分别将a b两种产品的利润表示为投资的函数关系式 2 该企业已筹集到10万元资金 并全部投入a b两种产品的生产 问 怎样分配这10万元资金 才能使企业获得最大利润 其最大利润约为多少万元 精确到1万元 思路分析 从给出的函数图象形状及特殊点确定函数的对应关系 进而建立函数模型求出最大利润 反思感悟函数的图象便于观察研究函数的变化趋势 根据函数的图象易于确定函数的类型 准确识图 用图是解决图表信息型问题的关键 补偿训练6 某天0时 小鹏同学生病了 体温上升 吃过药后感觉好多了 中午时他的体温基本