高中数学 2.8函数的图象配套课件 苏教版.ppt

第八节函数的图象 高考指数 1 六种基本初等函数的图象 a 0 a 0 k 0 k 0 a 1 0 a 1 1 1 a 1 0 a 1 y x 1 1 即时应用 1 下列四个图象是函数y log2x的图象的是 只填序号 2 在同一平面直角坐标系中 函数f x ax与g x ax的图象可能是下列四个图象中的 只填序号 3 二次函数y ax2 bx c的图象如图所示 则点所在的象限为 解析 1 题中对数函数底数大于1 由图象知 正确 2 由g x ax结合图象知a 0且a 1 故f x ax图象为过原点且上升的直线 故 不正确 再结合 分析01知 正确 3 由图象知 图象的对称轴又抛物线的开口向下 a0 由f 0 c知 抛物线与y轴的交点为 0 c c 0 故点在第二象限 答案 1 2 3 第二象限 2 函数图象间的变换 1 平移变换 2 对称变换 y f x y y f x y y f x y y ax a 0且a 1 y logax a 0且a 1 关于x轴对称 关于y轴对称 关于原点对称 关于y x对称 f x f x f x 3 翻折变换 y f x y y f x y 保留x轴上方图象将x轴下方图象沿x轴翻折上去 保留y轴右边图象 并作右边图象关于y轴对称的图象 f x f x 4 伸缩变换 y f x y y f x y a 1 横向缩短为原来的倍0 a 1 横向伸长为原来的倍 a 1 纵向伸长为原来的a倍0 a 1 纵向缩短为原来的a倍 f ax af x 即时应用 1 思考 若函数y f x 的图象关于点 a 0 a 0 对称 那么其图象如何变换才能使它变为奇函数 其解析式变为什么 提示 向左平移a个单位即可 解析式变为y f x a 2 在同一坐标系下 函数f x log22x与g x 21 x的图象是下列四个图象中的 解析 f x log22x 1 log2x f x log22x的图象是函数f x log2x的图象向上平移1个单位得到的 又 g x 21 x的图象是函数的图象向右平移1个单位得到的 因此 符合题意 答案 3 已知如图 1 中的图象对应的函数为y f x 则如图 2 中的图象对应的函数在下列给出的四个式子中 只可能是 y f x y f x y f x y f x 解析 从图象中可观察到 图 2 中的函数图象为一个偶函数的图象 排除 又 当x 0时 图 1 与 2 中函数的图象一致 正确 答案 4 若f a x f b x x r恒成立 则函数y f x 的图象本身关于 对称 解析 由已知可得 关于直线对称 答案 直线 5 若方程 ax x a a 0 有两个解 则a的取值范围为 解析 在同一坐标系中分别作出当01时 y ax a x a 0 与y x a a 0 的图象 由图象得出a 1时符合要求 答案 1 作函数的图象 方法点睛 作函数图象的常用方法 1 直接法 当函数表达式 或变形后的表达式 是熟悉的基本函数全部或局部或解析几何中熟悉的曲线的局部 如圆 椭圆 双曲线 抛物线的一部分 时 可直接作出 2 图象变换法 若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移 翻折 对称和伸缩得到 可利用图象变换作出 但要注意变换顺序 3 描点法一般步骤为 确定函数的定义域以限制图象的范围 化简函数解析式 讨论函数的性质 奇偶性 单调性 周期性 对称性等 列表 尤其注意特殊点 零点 最高点 最低点 与坐标轴的交点 描点 连线 提醒 当函数解析式是高次 分式 指数 对数及三角函数式等较复杂的结构时 常借助于导数探究图象的变化趋势 大致形状等 例1 作出下列函数的图象 1 y elnx 2 y log2 x 1 3 y a x 0 a 1 4 5 解题指南 对于 1 可先求定义域 化简解析式 再用直接法画图象 对于 2 3 和 4 可通过图象变换画出图象 对于 5 可借助于导数用描点法作出其大致图象 规范解答 1 函数的定义域为 x x 0 且y elnx x x 0 其图象如图 1 o 1 2 将函数y log2x的图象向左平移一个单位 再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去 即可得到函数y log2 x 1 的图象 如图 2 2 3 方法一 所以只需作出函数y ax 0 a 1 中x 0的图象和中x 0的图象 合起来即得函数y a x 的图象 如图 3 方法二 作出y ax 0 a 1 的图象 去掉y轴左边图象 保留y轴右边图象 并作关于y轴对称的图象 即得y a x 的图象 如图 3 0 1 3 4 故函数图象可由图象向右平移1个单位 再向上平移2个单位而得 如图 4 4 5 y x2 2x 3 令y 0 得x1 1 x2 3 令y 0 得单调增区间为 1 和 3 令y 0 得单调减区间为 1 3 所以函数在x1 1 x2 3处取得极值分别为和 9 由此可得其图象大致如图 5 5 反思 感悟 为了正确作出函数的图象 必须做到 1 熟练掌握六种基本初等函数的图象 2 掌握平移变换 对称变换 翻折变换 伸缩变换以及导数法等常用的方法技巧 来简化作图过程 变式训练 分别画出下列函数的图象 1 y lgx 2 y 2x 2 3 4 y x2 2 x 1 解析 1 函数y lgx 的图象 如图 1 2 将函数y 2x的图象向左平移2个单位即可得到函数y 2x 2的图象 如图 2 1 1 2 3 可见原函数图象可由图象向左平移3个单位再向上平移1个单位而得 如图 3 4 且函数为偶函数 先用描点法作出 0 上的图象 再根据对称性作出 0 上的图象 得图象如图 4 4 识图与辨图 方法点睛 识图与辨图常考类型及解法 1 知图求式 从图象的左右 上下分布 观察函数的定义域 值域 从图象的变化趋势 观察函数的单调性 从图象的对称性方面 观察函数的奇偶性 从图象的循环往复 观察函数的周期性 从图象的类型及点的坐标求函数的解析式 2 知式定图 从函数的定义域 判断图象左右的位置 从函数的值域 判断图象上下的位置 从函数的单调性 有时可借助导数判断 判断图象的变化趋势 从函数的奇偶性 判断图象的对称性 从函数的周期性 判断图象的循环往复 从函数的极值点判断函数图象的拐点 例2 1 2011 山东高考改编 函数的图象大致是下列各图中的 只填序号 2 定义在r上的偶函数f x 的部分图象如图所示 则在 2 0 上 下列函数中与f x 的单调性不同的是 y x2 1 y x 1 解题指南 1 根据解析式得函数的奇偶性 零点 单调性 周期性 从而可知答案 2 由f x 的奇偶性作出其在 2 0 上的图象 由图象判断其单调性 再逐个验证所给函数在 2 0 上的单调性 是否与f x 在 2 0 上的单调性不同 从而作出判断 规范解答 1 方法一 因为是奇函数 所以其图象关于原点对称 因此排除 为求解本题 应先研究即在同一坐标系内作出y1 sinx与的图象 如图所示 可知当x 0时 y1 sinx与只有一个交点 设其交点坐标为 x0 y0 则当x 0 x0 时 即此时又因此x 0时 可以有y 0 也可以有y 0 即函数有增有减 有多个极值点 且极值点呈周期性 因此可排除 故 正确 方法二 得根据三角函数的知识 这个方程有无穷多解 即函数有无穷多个极值点 函数是奇函数 图象关于坐标原点对称 故只有 的图象符合题意 答案 2 由奇偶性知函数f x 在 2 0 上的图象如图所示 则知f x 在 2 0 上为单调减函数 而y x2 1 y x 1和作出其图象知在 2 0 上均为减函数 又y x3 1 x0 故y x3 1在 2 0 上为增函数 与f x 的单调性不同 答案 反思 感悟 识图与辨图是一个比较综合的问题 解答该类问题的关键是要充分从解析式与图象中发现有价值的信息 最终使二者相吻合 变式训练 1 设a b 函数y x a 2 x b 的图象可能是下图中的 解析 当x b时 y 0 当x b时 y 0 故答案为 答案 2 函数y f x 与y g x 的图象如图 则函数y f x g x 的图象可能是下图中的 解析 方法一 函数y f x g x 的定义域是函数y f x 与y g x 的定义域的交集 0 0 图象不经过坐标原点 故可以排除 由于当x为很小的正数时f x 0且g x 0 故f x g x 0 故答案为 方法二 由函数f x g x 的图象可知 f x g x 分别是偶函数 奇函数 则f x g x 是奇函数 可排除 又 函数y f x g x 的定义域是函数y f x 与y g x 的定义域的交集 0 0 图象不经过坐标原点 可以排除 故 正确 答案 函数图象的应用 方法点睛 利用函数图象解决的问题及思路 1 利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数 其性质 单调性 奇偶性 周期性 最值 值域 零点 常借助于图象数形结合研究 2 利用函数的图象研究方程的根的个数 方程f x 0的根就是函数f x 图象与x轴的交点的横坐标 方程f x g x 的根就是函数f x 与g x 图象的交点的横坐标 3 利用函数的图象研究不等式当不等式不常见且用求解的方法不能解决时 常将不等式问题转化为两函数图象的上 下关系问题 从而利用数形结合求解 例3 已知函数f x x m x x r 且f 4 0 1 求实数m的值 2 作出函数f x 的图象并判断其零点个数 3 根据图象指出f x 的单调递减区间 4 根据图象写出不等式f x 0的解集 5 求集合m m 使方程f x m有三个不相等的实根 解题指南 求解本题先由f 4 0 求得函数解析式 再根据解析式结构选择适当的方法作出函数的图象 进而应用图象求解 3 4 5 三个小题 规范解答 1 f 4 0 4 m 4 0 即m 4 2 f x x m x x 4 x 函数f x 的图象如图 由图象知f x 有两个零点 3 从图象上观察可知 f x 的单调递减区间为 2 4 4 从图象上观察可知 不等式f x 0的解集为 x 04 5 由图象可知若y f x 与y m的图象有三个不同的交点 则0 m 4 集合m m 0 m 4 互动探究 在本例的条件下求f x 在 1 5 上的值域 解析 f 5 5 4 由图象知 函数在 1 5 上的值域为 0 5 反思 感悟 利用函数的图象能直观地解决函数的性质问题 方程根的个数问题 函数的零点个数问题及不等式的解集与恒成立问题 但其关键是作出准确的函数图象 数形结合求解 否则若图象出现失误 将得到错误的结果 变式备选 1 已知函数f x 满足f x 2 f x 当x 1 1 时 f x x 则方程f x lgx的根的个数是 解析 构造函数g x lgx 在同一坐标系中画出f x 与g x 的图象 如图所示 易知有4个根 答案 4 2 使log2x 1 x成立的x的取值范围是 解析 构造函数f x log2x g x 1 x 在同一坐标系中作出两者的图象 如图所示 直接从图象中观察得到不等式成立时x 0 1 答案 0 1 易错误区 函数图象应用中的误区 典例 2011 新课标全国卷改编 函数的图象与函数y 2sin x 2 x 4 的图象所有交点的横坐标之和等于 解题指南 在同一坐标系中画出函数和y 2sin x 2 x 4 的图象 然后根据两者的图象的特征探究交点横坐标之间满足的关系 从而求解 规范解答 由题意知的图象是双曲线 且关于点 1 0 成中心对称 又y 2sin x的周期为且也关于点 1 0 成中心对称 因此两图象的交点也一定关于点 1 0 成中心对称 再结合图象 如图所示 可知两图象在 2 4 上有8个交点 因此8个交点的横坐标之和x1 x2 x8 4 2 8 答案 8 y 2sin x 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下误区警示和备考建议 1 2012 宿迁模拟 直线y kx与曲线y e lnx x 2 有3个公共点 则实数k的取值范围是 解析 y e lnx x 2 其图象为 当y kx过点a 2 2 时 有2个公共点 此时k 1 故当0 k 1时有3个公共点 符合题意 答案 0 1 2 2011 天津高考改编 对实数a和b 定义运算 a b 设函数f x x2 2 x