数字滤波.doc

2.3 二维滤波前面讲到的时间域滤波和频率域滤波只考虑了一个变量的情况，都是利用了有效波和干扰波在频谱上的差异。实际上，地震波在地下传播时，既有空间的变化，也有时间的变化，要考虑两个变量的情况，进行二维滤波。同一维滤波一样，二维滤波可在时间与空间域实现，也可在相应的二维傅氏变换域实现，由于二维时空域褶积滤波比较复杂，也不利于理解，本节不作介绍。下面我们从二维傅氏变换开始，讲述二维滤波的基本原理及应用。一 二维傅氏变换及视速度滤波的引入1 二维傅氏变换二维傅氏变换只是一维傅氏变换的推广，形式上是很简单的。考虑到用x(t,x)表示地震信号，容易混淆函数名与自变量名，此处设地震信号为y(t,x)。t同以前一样，是时间变量；而 x则表示空间变量。以前，y(t)表示一道地震记录；现在y(t,x)可理解为多道地震记录，或者说就是一张剖面。对于这样的二维信号，它的二维正反傅氏变换分别为 . (2-3-1) . (2-3-2)频谱Y(f,k)也是一个二维信号，我们已经知道f代表频率，哪么变量k代表什么呢？下面让我们来比较两个图形（图2-24）。图2-24地震波的图示（a）振动图 （b）波剖面上图中，y(t)表示一振动曲线，y(x)则表示一波动曲线。由物理学的知识，若y(t)的周期为T，则它的频率就是f；若y(x)的波长为，则它的波数k=1/。对照y(t,x)和Y(f,k)的变换关系，显然二维傅氏变换Y(f,k)中的k就是波数。因此，Y(f,k)又叫做y(t,x)的频率波数谱，简称频波谱，相应的变换也可叫做fk变换。2 二维傅氏变换的性质（1） 二维抽样定理时间采样间隔和空间采样间隔要同时满足 . (2-3-3)在信号的采样间隔确定的情况下，频率和波数超过允许的最大值，就要截取，分别代表高截频和高截波数。二维滤波也会产生伪门现象和吉布斯现象，解决办法同一维滤波一致，在此不再作详细介绍。（2） 二维频波谱的共轭性通过第一节的学习，我们知道一维实信号对应的的零相位频谱是一非负的实偶函数，满足轴对称。容易推得二维实信号x(n,m)的频波谱满足以下共轭对称关系： . (2-3-4)在fk平面上，频波谱以原点为中心，关于象限和，象限和对称。（3） 二维频波谱的周期性 正周期 主周期 k 图2-25 二维频波谱的主周期和正周期从上一节学习可知，一维信号离散后，其频谱会以伪门的形式产生一个主周期为间隔的周期延拓。二维信号也是如此，其离散后的谱也会产生周期延拓。只不过前者是沿频率轴以一方波的形式向两边延拓，后者则要以原点为中心按一方型环形式向四周扩散。二维频波谱的主周期和正周期稍显复杂，其分布如图2-25。（4） 二维傅氏变换的计算二维傅氏变换可以借助一维傅氏变换来计算。输入数据（t-x域）在时间方向作FT（f-x域） 在空间方向作FT（f-k域） 图2-26 二维傅氏变换的计算3视速度滤波的引入从k=1/可以得到 . (2-3-5)即得到了波数与速度和频率的关系。由此可以得出一个结论：频波谱除与频率和波数单独有关外，还与构成它们内在联系的速度信息有关。在实际地震勘探中，由于通常是沿测线观测的，因此，用视波长、视波数和视速度等来表示所观测的地震波。2-3-5式表示为 . (2-3-6)有了2-3-6，我们将上面的结论修正为：二维傅氏变换除与频率和视波数单独有关外，还与构成它们内在联系的视速度信息有关。由于视速度在地震勘探中有明显的物理意义，所以，由fk变换进行的滤波称为视速度滤波。同时，由于视速度直接反映的是同相轴的倾角，f-k滤波又称为倾角滤波。下面我们详细加以阐述。二视速度滤波（倾角滤波）1视速度在频波图上的展示形式前面给出了视速度与频率和视波数之间函数关系，下面我们将它们展示在fk平面（频波域）上。如图2-27所示，可以看出，视速度一样的信号成分在频波图上位于过原点的直线上，而且斜率越大，视速度越大。如果把图中区看成高速干扰区，看成低速干扰区，则区就是有效信号区。同时，考虑地震信号频带范围有限，以表示，真正的有效波范围即为图中的阴影区。图2-28是一个理论模型，它具有六个相同倾角的同相轴，而在频波域上，由于视速度相同，聚焦在一直线上。图2-27 二维频波图图2-28 视速度相同的信号在频波图上的显示2扇形滤波器（1） 一般二维频率滤波从一维频率滤波，容易得到一般二维滤波方程 . (2-3-7)式中Y(f,k)可由二维傅氏变换得到，H(f,k)就是要设计的滤波器。根据有效波和干扰波在fk平面上的分布特征，令 (2-3-8)即可实现二维fk滤波。在实际地震资料中，由于地层的视速度一般都很大。因此，常用的二维频波域滤波器是扇形滤波器，下面介绍这种滤波器。（2） 扇形滤波器这种滤波器的频波响应是 (2-3-9)相应的频波图如图2-29所示。由于该滤波器对称的两半形状象扇子，所以叫扇形滤波器。图2-29 扇形滤波器（3） 滤波器设计举例已知采样间隔，设计fk域滤波器，消除的低视速度干扰。解：求主周期 由抽样定理知 主周期的范围如图2-30的矩形。 设计滤波器 由题意及抽样定理，有在fk平面上，取值在的上下，其图形是不一样的，下面分 图2-31 第二种情况的频波图两种情况加以讨论： （a） 当时，其频波图如2-30所示。（b） 当时，其频波图如2-31所示。3视速度滤波的处理流程和应用举例（1） 视速度滤波的处理流程输入地震数据 二维傅氏变换 扇形滤波 二维傅氏反变换 图 2-32 视速度滤波的处理流程（2） 应用实例图 2-33(a)给出了两张未作f-k视速度滤波的浅海记录，以第一张剖面为例，它有三组较强的相干噪声A、B和C，视速度由小到大（注意倾角越大，视速度越小），而且视速度均为正值（f-k滤波中规定：如果一个同相轴从近偏移距到远偏移距向下倾斜，则视速度为正）。图2-33(b)是图 2-33(a)的频波谱，可以看出三组视速度不同的相干噪声区分得很清楚。同时还可看到C在42Hz以上还有一些假频能量。图 2-34分别对应图2-33的时间域和频波域的滤波输出。可以看到相干噪声得到很好去除，剖面信噪比大大提高。图2-33 f-k滤波前叠前记录与频波谱图2-34 f-k滤波后叠前记录与频波谱参 考 文 献1 地震勘探资料数字处理方法. 牟永光. 石油工业出版社. 19812 Seismic Data Processing . Yilmaz. SEG. 19873 信号数字处理的数学原理. 程乾生. 石油工业出版社. 19934 地震勘探原理和方法. 长地、武地、成地合编. 地质出版社. 19815 反射波地震勘探原理. 周绪文. 石油工业出版社. 19896 地震勘探原理. 陆基孟. 石油大学出版社. 19937 勘探地震