高考数学大一轮复习 6.3等比数列及其前n项和课件 理 苏教版.ppt

6 3等比数列及其前n项和 第六章数列 数学苏 理 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 思想方法 感悟提高 练出高分 1 等比数列的定义如果一个数列 那么这个数列叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的 通常用字母表示 从第二项起 每一项与它的前一项的比都等于同一个常数 不为零 公比 q 2 等比数列的通项公式设等比数列 an 的首项为a1 公比为q 则它的通项an 3 等比中项若 那么g叫做a与b的等比中项 a1 qn 1 g2 a b ab 0 4 等比数列的常用性质 1 通项公式的推广 an am n m n 2 若 an 为等比数列 且k l m n k l m n n 则 qn m ak al am an 5 等比数列的前n项和公式等比数列 an 的公比为q q 0 其前n项和为sn 当q 1时 sn na1 6 等比数列前n项和的性质公比不为 1的等比数列 an 的前n项和为sn 则sn s2n sn s3n s2n仍成等比数列 其公比为 qn 思考辨析 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 满足an 1 qan n n q为常数 的数列 an 为等比数列 2 g为a b的等比中项 g2 ab 3 如果 an 为等比数列 bn a2n 1 a2n 则数列 bn 也是等比数列 4 如果数列 an 为等比数列 则数列 lnan 是等差数列 5 等比数列 an 的首项为a 公比为 1 前n项和为sn 则s2n 0 s2n 1 a 24 7 4 22n 1 2 解析 设等比数列的公比为q 由a2 a4 20 a3 a5 40 得20q 40 且a1q a1q3 20 解得q 2 且a1 2 例1 1 设 an 是由正数组成的等比数列 sn为其前n项和 已知a2a4 1 s3 7 则s5 题型一等比数列基本量的运算 解析 答案 思维升华 解析 答案 思维升华 显然公比q 1 例1 1 设 an 是由正数组成的等比数列 sn为其前n项和 已知a2a4 1 s3 7 则s5 题型一等比数列基本量的运算 解析 答案 思维升华 例1 1 设 an 是由正数组成的等比数列 sn为其前n项和 已知a2a4 1 s3 7 则s5 题型一等比数列基本量的运算 解析 答案 思维升华 例1 1 设 an 是由正数组成的等比数列 sn为其前n项和 已知a2a4 1 s3 7 则s5 题型一等比数列基本量的运算 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题 数列中有五个量a1 n q an sn 一般可以 知三求二 通过列方程 组 可迎刃而解 解析 答案 思维升华 例1 1 设 an 是由正数组成的等比数列 sn为其前n项和 已知a2a4 1 s3 7 则s5 题型一等比数列基本量的运算 解析 答案 思维升华 例1 2 在等比数列 an 中 若a4 a2 6 a5 a1 15 则a3 解析 答案 思维升华 设等比数列 an 的公比为q q 0 即2q2 5q 2 0 例1 2 在等比数列 an 中 若a4 a2 6 a5 a1 15 则a3 解析 答案 思维升华 故a3 4或a3 4 例1 2 在等比数列 an 中 若a4 a2 6 a5 a1 15 则a3 解析 答案 思维升华 例1 2 在等比数列 an 中 若a4 a2 6 a5 a1 15 则a3 故a3 4或a3 4 4或 4 解析 答案 思维升华 例1 2 在等比数列 an 中 若a4 a2 6 a5 a1 15 则a3 4或 4 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题 数列中有五个量a1 n q an sn 一般可以 知三求二 通过列方程 组 可迎刃而解 跟踪训练1 1 已知正项数列 an 为等比数列 且5a2是a4与3a3的等差中项 若a2 2 则该数列的前5项的和为 解析设 an 的公比为q q 0 由已知得a4 3a3 2 5a2 即a2q2 3a2q 10a2 q2 3q 10 0 解得q 2或q 5 舍去 又a2 2 则a1 1 31 2 2014 天津 设 an 是首项为a1 公差为 1的等差数列 sn为其前n项和 若s1 s2 s4成等比数列 则a1的值为 所以s1 s2 s4分别为a1 2a1 1 4a1 6 因为s1 s2 s4成等比数列 所以 2a1 1 2 a1 4a1 6 解方程得a1 解析 答案 思维升华 解析 答案 思维升华 解析 答案 思维升华 解析 答案 思维升华 1 在解决等比数列的有关问题时 要注意挖掘隐含条件 利用性质 特别是性质 若m n p q 则am an ap aq 可以减少运算量 提高解题速度 解析 答案 思维升华 2 在应用相应性质解题时 要注意性质成立的前提条件 有时需要进行适当变形 此外 解题时注意设而不求思想的运用 解析 答案 思维升华 解析 答案 思维升华 由等比数列前n项和的性质知s5 s10 s5 s15 s10成等比数列 且公比为q5 解析 答案 思维升华 解析 答案 思维升华 解析 答案 思维升华 1 在解决等比数列的有关问题时 要注意挖掘隐含条件 利用性质 特别是性质 若m n p q 则am an ap aq 可以减少运算量 提高解题速度 解析 答案 思维升华 2 在应用相应性质解题时 要注意性质成立的前提条件 有时需要进行适当变形 此外 解题时注意设而不求思想的运用 跟踪训练2 1 设等比数列 an 的前n项和为sn 若s6 s3 1 2 则s9 s3 解析由等比数列的性质 s3 s6 s3 s9 s6仍成等比数列 于是 s6 s3 2 s3 s9 s6 3 4 解析方法一a1a2a3a4 a1 a1q a1q2 a1q3 a13a14a15a16 a1q12 a1q13 a1q14 a1q15 2 在等比数列 an 中 若a1a2a3a4 1 a13a14a15a16 8 则a41a42a43a44 又a41a42a43a44 a1q40 a1q41 a1q42 a1q43 2 在等比数列 an 中 若a1a2a3a4 1 a13a14a15a16 8 则a41a42a43a44 2 在等比数列 an 中 若a1a2a3a4 1 a13a14a15a16 8 则a41a42a43a44 设t1 a1 a2 a3 a4 1 t4 a13 a14 a15 a16 8 t4 t1 p3 1 p3 8 p 2 t11 a41 a42 a43 a44 t1 p10 210 1024 1024 3 设数列 an bn 都是正项等比数列 sn tn分别为数列 lgan 与 lgbn 的前n项和 且 则logb5a5 解析 题型三等比数列的判定与证明 例3已知数列 an 的前n项和为sn 且an sn n 1 设cn an 1 求证 cn 是等比数列 思维升华 解析 思维升华 证明 an sn n an 1 sn 1 n 1 得an 1 an an 1 1 2an 1 an 1 2 an 1 1 an 1 题型三等比数列的判定与证明 例3已知数列 an 的前n项和为sn 且an sn n 1 设cn an 1 求证 cn 是等比数列 解析 思维升华 题型三等比数列的判定与证明 例3已知数列 an 的前n项和为sn 且an sn n 1 设cn an 1 求证 cn 是等比数列 an 1 是等比数列 cn an 1 首项c1 a1 1 解析 思维升华 题型三等比数列的判定与证明 例3已知数列 an 的前n项和为sn 且an sn n 1 设cn an 1 求证 cn 是等比数列 1 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法 其他方法只用于填空题中的判定 若证明某数列不是等比数列 则只要证明存在连续三项不成等比数列即可 2 利用递推关系时要注意对n 1时的情况进行验证 解析 思维升华 题型三等比数列的判定与证明 例3已知数列 an 的前n项和为sn 且an sn n 1 设cn an 1 求证 cn 是等比数列 例3 2 求数列 an 的通项公式 解析 思维升华 解析 思维升华 例3 2 求数列 an 的通项公式 解析 思维升华 例3 2 求数列 an 的通项公式 1 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法 其他方法只用于填空题中的判定 若证明某数列不是等比数列 则只要证明存在连续三项不成等比数列即可 2 利用递推关系时要注意对n 1时的情况进行验证 跟踪训练3设数列 an 的前n项和为sn 已知a1 1 sn 1 4an 2 1 设bn an 1 2an 证明 数列 bn 是等比数列 证明由a1 1及sn 1 4an 2 有a1 a2 s2 4a1 2 a2 5 b1 a2 2a1 3 跟踪训练3设数列 an 的前n项和为sn 已知a1 1 sn 1 4an 2 1 设bn an 1 2an 证明 数列 bn 是等比数列 得an 1 4an 4an 1 an 1 2an 2 an 2an 1 跟踪训练3设数列 an 的前n项和为sn 已知a1 1 sn 1 4an 2 1 设bn an 1 2an 证明 数列 bn 是等比数列 bn an 1 2an bn 2bn 1 故 bn 是首项b1 3 公比为2的等比数列 2 求数列 an 的通项公式 得an 3n 1 2n 2 思想与方法系列8分类讨论思想在等比数列中的应用 典例 14分 2013 天津 已知首项为的等比数列 an 的前n项和为sn n n 且 2s2 s3 4s4成等差数列 1 求数列 an 的通项公式 思维点拨 规范解答 温馨提醒 利用等差数列的性质求出等比数列的公比 写出通项公式 思想与方法系列8分类讨论思想在等比数列中的应用 典例 14分 2013 天津 已知首项为的等比数列 an 的前n项和为sn n n 且 2s2 s3 4s4成等差数列 1 求数列 an 的通项公式 思维点拨 规范解答 温馨提醒 解设等比数列 an 的公比为q 因为 2s2 s3 4s4成等差数列 所以s3 2s2 4s4 s3 即s4 s3 s2 s4 思想与方法系列8分类讨论思想在等比数列中的应用 典例 14分 2013 天津 已知首项为的等比数列 an 的前n项和为sn n n 且 2s2 s3 4s4成等差数列 1 求数列 an 的通项公式 思维点拨 规范解答 温馨提醒 思想与方法系列8分类讨论思想在等比数列中的应用 典例 14分 2013 天津 已知首项为的等比数列 an 的前n项和为sn n n 且 2s2 s3 4s4成等差数列 1 求数列 an 的通项公式 思维点拨 规范解答 温馨提醒 1 分类讨论思想在等比数列中应用较多 常见的分类讨论有 已知sn与an的关系 要分n 1 n 2两种情况 等比数列中遇到求和问题要分公比q 1 q 1讨论 思想与方法系列8分类讨论思想在等比数列中的应用 典例 14分 2013 天津 已知首项为的等比数列 an 的前n项和为sn n n 且 2s2 s3 4s4成等差数列 1 求数列 an 的通项公式 思维点拨 规范解答 温馨提醒 项数的奇 偶数讨论 等比数列的单调性的判断注意与a1 q的取值的讨论 思想与方法系列8分类讨论思想在等比数列中的应用 典例 14分 2013 天津 已知首项为的等比数列 an 的前n项和为sn n n 且 2s2 s3 4s4成等差数列 1 求数列 an 的通项公式 思维点拨 规范解答 温馨提醒 2 数列与函数有密切的联系 证明与数列有关的不等式 一般是求数列中的最大项或最小项 可以利用图象或者数列的增减性求解 同时注意数列的增减性与函数单调性的区别 思想与方法系列8分类讨论思想在等比数列中的应用 典例 14分 2013 天津 已知首项为的等比数列 an 的前n项和为sn n n 且 2s2 s3 4s4成等差数列 1 求数列 an 的通项公式 思维点拨 规范解答 温馨提醒 思维点拨 规范解答 温馨提醒 思维点拨 规范解答 温馨提醒 求出前n项和 根据函数的单调性证明 思维点拨 规范解答 温馨提醒 思维点拨 规范解答 温馨提醒 思维点拨 规范解答 温馨提醒 思维点拨 规范解答 温馨提醒 思维点拨 规范解答 温馨提醒 1 分类讨论思想在等比数列中应用较多 常见的分类讨论有 已知sn与an的关系 要分n 1 n 2两种情况 等比数列中遇到求和问题要分公比q 1 q 1讨论 项数的奇 偶数讨论 等比数列的单调性的判断注意与a1 q的取值的讨论 思维点拨 规范解答 温馨提醒 2 数列与函数有密切的联系 证明与数列有关的不等式 一般是求数列中的最大项或最小项 可以利用图象或者数列的增减性求解 同时注意数列的增减性与函数单调性的区别 方法与技巧 1 已知等比数列 an 1 数列 c an c 0 an 也是等比数列 2 a1an a2an 1 aman m 1 方法与技巧 2 判断数列为等比数列的方法 方法与技巧 3 解题中要注意选用等比数列的性质 减少运算量 失误与防范 1 注意等比数列中的分类讨论 2 由an 1 q an q 0 并不能断言 an 是等比数列 还要验证a1 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 2014 重庆改编 对任意等比数列 an 下列说法一定正确的是 填序号 a1 a3 a9成等比数列 a2 a3 a6成等比数列 a2 a4 a8成等比数列 a3 a6 a9成等比数列 所以a3 a6 a9成等比数列 2 2014 大纲全国改编 等比数列 an 中 a4 2 a5 5 则数列 lgan 的前8项和为 解析数列 lgan 的前8项和s8 lga1 lga2 lga8 lg a1 a2 a8 lg a1 a8 4 lg a4 a5 4 lg 2 5 4 4 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 4 3 2013 课标全国 改编 等比数列 an 的前n项和为sn 已知s3 a2 10a1 a5 9 则a1 解析设等比数列 an 的公比为q 由s3 a2 10a1得a1 a2 a3 a2 10a1 即a3 9a1 q2 9 又a5 a1q4 9 所以a1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 4 一个等比数列的前三项的积为3 最后三项的积为9 且所有项的积为729 则该数列的项数是 解析设该等比数列为 an 其前n项的积为tn 则由已知得a1 a2 a3 3 an 2 an 1 an 9 a1 an 3 3 9 33 a1 an 3 又tn a1 a2 an 1 an tn an an 1 a2 a1 t a1 an n 即7292 3n n 12 12 5 设各项都是正数的等比数列 an sn为前n项和 且s10 10 s30 70 那么s40 解析依题意 数列s10 s20 s10 s30 s20 s40 s30成等比数列 因此有 s20 s10 2 s10 s30 s20 即 s20 10 2 10 70 s20 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 故s20 20或s20 30 又s20 0 因此s20 30 s20 s10 20 s30 s20 40 故s40 s30 80 s40 150 答案150 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 6 等比数列 an 中 sn表示前n项和 a3 2s2 1 a4 2s3 1 则公比q为 解析由a3 2s2 1 a4 2s3 1得a4 a3 2 s3 s2 2a3 3 7 等比数列 an 的前n项和为sn 公比不为1 若a1 1 则对任意的n n 都有an 2 an 1 2an 0 则s5 解析利用 特殊值 法 确定公比 由题意知a3 a2 2a1 0 设公比为q 则a1 q2 q 2 0 由q2 q 2 0解得q 2或q 1 舍去 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 11 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 8 设等比数列 an 的各项均为正数 其前n项和为sn 若a1 1 a3 4 sk 63 则k 解析设等比数列 an 公比为q 由已知a1 1 a3 4 6 又 an 的各项均为正数 q 2 2k 1 63 解得k 6 9 已知等差数列 an 满足a2 2 a5 8 1 求 an 的通项公式 解设等差数列 an 的公差为d 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 an a1 n 1 d 2n 2 2 各项均为正数的等比数列 bn 中 b1 1 b2 b3 a4 求 bn 的前n项和tn 解设等比数列 bn 的公比为q 则由已知得q q2 a4 a4 6 q 2或q 3 等比数列 bn 的各项均为正数 q 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 2n 1 10 已知数列 an 的前n项和为sn 且sn 4an 3 n n 1 证明 数列 an 是等比数列 证明依题意sn 4an 3 n n n 1时 a1 4a1 3 解得a1 1 因为sn 4an 3 则sn 1 4an 1 3 n 2 所以当n 2时 an sn sn 1 4an 4an 1 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 又a1 1 0 所以 an 是首项为1 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 2 若数列 bn 满足bn 1 an bn n n 且b1 2 求数列 bn 的通项公式 由bn 1 an bn n n 可得bn b1 b2 b1 b3 b2 bn bn 1 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 当n 1时也满足 2 3 4 5 1 1 等比数列 an 的前n项和为sn 若a1 a2 a3 a4 1 a5 a6 a7 a8 2 sn 15 则项数n为 由a1 a2 a3 a4 1 2 3 4 5 1 qn 16 又 q4 2 n 16 答案16 2 3 4 5 1 2 2013 福建改编 已知等比数列 an 的