高考数学一轮复习 9.4 空间向量及其运算（B）课件.ppt

9 4空间向量及其运算 b 本节目录 教材回顾夯实双基 考点探究讲练互动 考向瞭望把脉高考 知能演练轻松闯关 基础梳理1 共线向量 共面向量 空间向量三定理辨析 1 共线向量基本定理对空间任意两个向量a b b 0 a b的充要条件是 存在实数 使a b p xa yb xa yb zc a b c a b cos a b a b 3 空间直角坐标系 1 空间直角坐标系在空间选定一点o和一个单位正交基底 i j k 以o为原点 分别以i j k的方向为正方向建立三条数轴 x轴 y轴 z轴 它们都叫做坐标轴 这时我们说建立了一个空间直角坐标系o xyz 点o叫做原点 向量i j k叫做 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面 坐标向量 3 空间向量的坐标运算设a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 则a b a b a a b a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 r a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 a1 b1 a2 b2 a3 b3 a1 a2 a3 r a1b1 a2b2 a3b3 a1b1 a2b2 a3b3 0 思考探究提示 不是 向量平行于平面是指向量所在直线平行于平面 或在平面 内两种情况 因此 在用共面向量定理证明线面平行时 必须说明向量所在的直线不在平面内 2 在空间直角坐标系中 p x y z 关于x轴 y轴 z轴的对称点如何 p x y z 关于原点的对称点如何 p x y z 关于xoy平面 yoz平面 zox平面的对称点如何 记忆方法如何 提示 1 p x y z 关于x轴的对称点为p1 x y z 关于y轴的对称点为p2 x y z 关于z轴的对称点为p3 x y z 2 p x y z 关于原点的对称点为p4 x y z 3 p x y z 关于xoy平面的对称点为p5 x y z 关于xoz平面的对称点为p6 x y z 关于yoz平面的对称点为p7 x y z 上述结论的记忆方法为 关于谁对称谁就不变 其余符号相反 例如 关于x轴的对称点横坐标不变 而纵坐标 竖坐标分别变为原来的相反数 课前热身 答案 b 2 已知a 2 3 1 b 2 0 4 c 4 6 2 则下列结论正确的是 a a c b cb a b a cc a c a bd a b b c答案 c 答案 b 4 在空间直角坐标系中 正方体abcd a1b1c1d1的顶点a 3 1 2 其中心m 0 1 2 则该正方体的棱长为 5 已知2a b 0 5 10 c 1 2 2 a c 4 b 12 则 b c 答案 120 思路分析 尽可能使第二个向量的起点与第一个向量的终点相结合 再使第三个向量的起点与第二个向量的终点相结合 考点2空间向量的坐标运算空间向量的坐标运算类似于平面向量的坐标运算 解决此类问题的关键是熟练应用公式 准确计算 思路分析 根据坐标的概念 首先寻找各点坐标 再求对应向量坐标 思维总结 在空间直角坐标系中 无论是点还是向量 其坐标是三个实数组成的一组数 它们的运算也应是三个坐标的结果 跟踪训练在本例的正方体中 若a垂直平面d1ac 则称a为平面d1ac的法向量 求平面d1ac的单位法向量的坐标 考点3利用向量证明平行或垂直利用向量证明平行 转化为向量共线 证明垂直转化为数量积为0 如图 在长方体abcd a1b1c1d1中 aa1 ab 2ad 2 点e f分别为c1d1 a1b的中点 1 求证 ef 面bb1c1c 2 求证 df 面a1be 思维总结 解题的关键是建立空间直角坐标系 利用向量法 把证明直线与平面平行的问题转化为计算向量的问题 把求线面垂直转化为数量积的计算 方法技巧1 空间向量的加法 减法 数乘运算以及两个空间向量的数量积的定义 运算律与性质均与平面向量完全一样 2 选定空间不共面的三个向量作基向量 并用它们表示出指定的向量 解题时应结合已知和所求观察图形 联想相关的运算法则和公式等 表示出所需向量 再对照目标 将不符合目标要求的向量作新的调整 如此反复 直到所有向量都符合目标要求 5 利用空间向量证明两条异面直线垂直 在两条异面直线上各取一个向量a b 只要证明a b 即a b 0即可 6 证明线面垂直 直线l 平面 要证l 只要在l上取一个非零向量p 在 内取两个不共线的向量a b 问题转化为证明p a且p b 也就是a p 0且b p 0 失误防范1 用已知向量表示未知向量 一定要结合图形 以图形为指导是解题的关键 2 共线向量不具备传递性 除去零向量时共线向量才具备传递性 3 要用共线向量定理证明向量a b所在的直线平行 除证明a b外 还需证明某条直线上必有一点在另一条直线外 命题预测从近两年的高考试题来看 常以解答题的形式考查有关平行 垂直的证明及夹角和距离的求法 由于空间向量仅作为解决问题的一种工具 因此考查的难度一般都不大 考查的热点在于利用空间向量的坐标运算将复杂的立体几何问题 代数化 从而使问题化难为易 2012年的高考中 没有单纯考查空间向量的运算 各省市考题都是在解答题中以空间几何体为载体 恰当地建空间直角坐标系 灵活运用向量夹角公式求线线角 线面角 二面角 利用数量积解决线面 面面的垂直问题 预测2014年高考仍将以立体几何解答题的形式考查空间向量及其运算 难度一般都不大 尤其要重视恰当的空间坐标系的建立和准确的计算 垂直关系 线面角 二面角的考查仍会是重点 规范解答 本题满分14分