（基础数学专业论文）非线性奇异微分方程边值问题的正解.pdf

j1l-111 l 11jjli at h e s i si nf un d a m e n t a im a t h e m a t i c s 删fffiilllm#11111 i i i i ii i i hi l l l li i i i ii l l l i ll册ll y 18 4 4 0 6 1 。 p o s i t i v es o l u t i o n so fs i n g u l a rn o n l i n e a r b o u n d a r y v a l u ep r o b l e m sf o r d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s b y m al i l i s u p e r v i s o r ：a s s o c i a t ep r o f e s s o r z h a n gg u o w e i n o r t h e a s t e r nu n i v e r s i t y o c t o b e r2 0 0 7 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的论文中取 得的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料与 我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的 说明并表示谢意 学位论文作者签名：马丽丽 日 期：御i i 0 5 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位 论文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人同意东北大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索、交流 ( 如作者和导师不同意网上交流，请在下方签名；否则视为同意) 学位论文作者签名：导师签名： 签字日期：签字日期： 东北大学硕士学位论文 摘要 摘要 由于工程物理和化学领域新问题的提出，奇异非线性算子方程正解的存在性 问题这类课题引起了广泛关注本文第l 章对这类问题的现状进行了简要的说 明第2 章对奇异非线性抽象算子方程正解问题进行了研究第3 章研究了奇异 非线性，l 阶周期边值方程正解问题本文采用的方法主要是锥理论与不动点指数方 法 第2 章讨论的是奇异非线性抽象算子方程正解问题 ( 三缈) ( x ) = 办( x ) 厂( 妒( x ) ) ，9 d ( ) ，( 1 ) 其中l ：d ( l ) cc 2 ( q ) 专l 2 ( f 2 ) 是无界线性算子q 是月”中的有界区域h r ( q ) ， j i l ( x ) o 且l 厅o ) d x o 本文允许j l ( x ) 在o ( t a ) 上不连续，利用锥理论和不动点指数方法得到：如果超 线性或者次线性条件成立，则问题( 1 ) 至少存在一个正解，推广了李永祥等的结果 第3 章研究了如下情况的刀阶奇异非线性周期边值问题正解的存在性问题考 虑r i 阶奇异非线性周期边值问题 锱三嚣。i 蠹，- ，n - 1 ， i “o ( o ) = “o ( 1 ) ， = o ，l ， 一 其中厶”( f ) = “”( f ) + a l u ：( ，) ，口j r ，i = 0 ，l ，刀一1 厂：( o ，1 ) x o ，佃) 一【o ，佃) 连续且厂( ，“) 不恒等于0 ，f ( t ，u ) 关于材一致连续，并且f ( t ，x ) h ( t ) m ( x ) ， h ：( 0 ，1 ) 一【0 ，+ ) 连续，m ：【0 ，+ ) _ 【0 ，+ ) 连续通过定义控制函数 州) ：懈 盟吲朋 ( ， o ) ， ( 3 ) 州) ：r n j n 彳丛盟| ( ，c ) 【o 1 j a - z ，, j t ( 4 ) 利用锥理论和不动点指数方法得到问题( 2 ) 至少存在一个正解的结论，推广了 李永祥，姚庆六等的结果 关键词：奇异非线性问题：全连续；正解；锥；不动点指数 ， p o s i t i v es o l u t i o n so fs i n g u l a rn o n l i n e a rb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m sf o rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a b s t r a c t r e c e n t l y , t h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n s o fb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o r s i n g u l a ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n ds y s t e m sd r a w sc l o s ea t t e n t i o n ，i nw h i c ht h e n o n l i n e a rf u n c t i o ni se n d o w e dw i t ht h ec o n d i t i o n so fs o m ed i f f e r e n tk i n d si nm u c h l i t e r a t u r e i nc h a p t e r1o ft h i st h e s i s ，w ee x p l a i nt h ep r e s e n tc o n d i t i o no ft h i sq u e s t i o n i nc h a p t e r2o ft h i st h e s i s ，w ec o n s i d e rt h ea b s t r a c te x i s t e n c et h e o r e m so fp o s i t i v e s o l u t i o n sf o rs i n g u l a rn o n l i n e a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ，a n di nc h a p t e r3w es t u d yt h e p o s i t i v es o l u t i o n so f 力一o r d e rs i n g u l a r n o n l i n e a rp e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s i nc h a p t e r2w ec o n s i d e rt h e a b s t r a c te x i s t e n c et h e o r e m so fb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m s ( 却) ( x ) = ，l ( x ) 厂( 妒( x ) ) ， 妒d ( ) ， ( 1 ) w h e r e ：d ( ) cc 2 ( q ) 一r ( q ) i sau n b o u n d e dl i n e a ro p e r a t o r ,qc r ”i s b o u n d e dd 。m a i n ，厅r ( q ) ， ( x ) o a n d 厅( x ) d x o i nt h i st h e s i s ，w ea l l o w 乃( x ) t ob ed i s c o n t i n u o u si na ( q ) t h ee x i s t e n c er e s u l t s o fp o s i t i v es o l u t i o n sa r eg i v e nb ym e a n so ft h ec o n et h e o r ya n dt h ef i x e dp o i n ti n d e x i f t h es u p e r l i n e a ro rs u b l i n e a rc o n d i t i o ni ss a t i s f i e d ，t h ep r o b l e m s ( 1 ) h a sa tl e a s to n e p o s i t i v es o l u t i o n t h ec o n c l u s i o n se s s e n t i a l l ye x t e n da n di m p r o v et h em a i nr e s u l t so f y o n g x i a n g l i i nc h a p t e r3w ec o n s i d e rt h e 力一o r d e rs i n g u l a rn o n l i n e a rp e r i o d i cb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m s 。l。n。u，(。t)=：=f。(，t(,1u)(，。i二三， o 使丁是一致p 正，即 砷- l l w l l e ， v i f ，ec + ( q ) ( 4 ) 上的第一特征值 是简单特征值，即 所对应的特征函数是一维的 ( 以) ：d ( l ) c 日寸h 是正规算子，即r = 口，这里r 是的共轭算子 利用锥理论和不动点指数方法得到了问题( 1 1 ) 的正解存在：如果 或者 ( 超线性情形) ， 孙 九 华掣 紫 学 r i n u + 1 + s 0 耋 嚣 - g g h “ h 第1 章绪论 东北大学硕士学位论文 l i m m 粤丛盟 ， 一0 + “q r ，u 、 ( 次线性情形) l i m s u p 吧警趔 ”“ h 舱qu 成立，那么抽象非线性算子方程( 1 1 ) 至少存在一个正解，但未对f ( x ，u ) 在孢处奇 异的情况讨论解的存在性 ( - - ) 张国伟1 5 1 研究了一般的奇异非线性s t u r m l i o u v i l l e 问题： f 一( 妒) ( x ) = 矗( x ) 厂( 9 ( x ) ) ，0 x 0 ，g ( z ) c o ，l 】，q ( x ) 0 ；a l 0 ，届0 ，a 2 0 ，尾0 ；口? + 所0 ，a ；+ 所0 允许j l l ( x ) 在x = 0 ， x = l 处奇异另外，一般的奇异非线性s t u r m l i o u v i l l e 问题满足下列条件： ( 尽) 对应于问题( 1 2 ) 的齐次方程 f 一( 妒) ( x ) = 0 ，0 x 0 ) 利用锥理论和不动点指数方法得到了问题( 1 6 ) 的正解存在：如果 或者 l i m i n f f ( u ) ， u + 4 - o o r u ，、 ( 超线性情形) l i m s u p 地 ( 次线性 l i m s u pf ( u ) ， ”一 成立，那么抽象非线性算子方程( 1 6 ) 至少存在一个正解，但未对f ( x ，u ) 在边界处 奇异的情况下讨论解的存在性 ( 五) 姚庆六1 1 5 i 在解决4 阶非奇异周期边值问题正解的存在性问题 牌d o ) = 甜“o 卜伽。卜八，“d x 。i 嚣12 ，3 ( 1 7 ) l ( o ) = ”o ( 1 ) ， = o ， 、 7 其中胗- 2 以o 学学 m 矿 叭啡黑 第1 章绪论东北大学硕士学位论文 9 ( ，) ：m a x j 业! c ) 【o ，l 】x , 1 t ， ( 1 8 ) 州) ：面n 丁丛盟i ( ，c ) 【0 ，l 】巾，】一 ( 1 9 ) 这样得到若存在两个不相同的正数a ，bn6 p ( a ) 仅，则4 阶非奇异周期 边值问题至少有一个正解甜，并且满足m i n 和，辨- i i - m a x a ，但未对厂( x ，“) 在 边界处奇异的情况下讨论解的存在性 ( 六) 在文献【1 8 】中，作者研究了如下的奇异边值问题 ”+ ( 7 ，“) = o ， o 7 0 ；f ( t ，x ) p ( t ) q ( x ) ，p ：( o ，1 ) 专【0 ，佃) 连 续，q ：【0 ，+ o o ) 一【0 ，+ o o ) 连续利用锥理论和不动点指数方法得到了边值问题( 1 9 ) 的正解存在结果：如果 0 l i m 棚s u + p q ( “u ) m l 。搬眠l 掣佃， ( 1 1 1 ) “+ o +“ o 叫嘲e i 叽- 1 一巩j材 或者 o l i 黜p 型 m ， l i m i n f u u - - ，o 1 趔u 佃 ( 1 1 2 ) 呻+ r e l 魄，l q 成立，则边值问题( 1 9 ) 至少存在一个正解 ( 七) 姚庆六1 1 6 1 解决了2 阶非线性周期边值问题正解的存在性问题考虑下面 问题 ：翟三二：f ) ) 口u ：嚣：z ；， m 3 ， 【甜( o ) = “( 2 万) ， ( o ) = ( 2 万) ， 其中厂：1 0 ，2 n x ( o ，删专( 咖，佃) 满足c a r a t h e o d o r y 条件，即： ( 1 ) 对几乎所有的r 【0 ，2 万】，f ( t ，) ：( 0 ，佃) 寸( 枷，佃) 是连续的 ( 2 ) 对每个甜( 0 ，4 - 0 0 ) ，厂( ，u ) ：( o ，2 1 r ) j ( 埘，佃) 是可测的 ( 3 ) 对任意的0 c d ，存在非负函数i l 【叫) l o ，2 兀】，使得l 厂( f ，“) l i l 【。埘( f ) ， 对几乎所有f 【0 ，2 万】，对任意u 【c ，d 】 作者定义控制函数 妒( r ，) = s u p f ( t ，) + 妇i 甜【o r r ，】) ，( 1 1 4 ) 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 v ，( ，) = i n f j ( ，z ，) + 砌i 甜【o r ，厂j ， 【1 1 5 ) 这样得到若存在两个正数a , b 满足对几乎所有的，【o ，2 丌】，对任意 “ o - m i n 口，6 ) ，m a x 口，6 】，有f ( t ，甜) + 砌o ， 并且r ”缈( r ，口) d t b m ，则2 阶周期边值问题( 1 1 3 ) 至少有一个正解材，并且满足 m i n a ，b i l u l i m a x a ，6 ) ( 八) 在文献【1 0 】中，作者研究y - - 阶非线性m 点奇异问题，即 f 妒( x ) + 办( x ) 厂( 缈( x ) ) = 0 ， o x l ， 1 妒( o ) ：o ，妒( 1 ) ：m - 2 q 9 ( 善) l 1 6 m - 2 其中鲁( o ，1 ) 且o 善l 2 厶一2 l ，q 【o ，+ o o ) i ! t q l ，并假设 t = l ( c 1 ) f ：【o ，佃) 一【o ，佃) 连续： ( c 2 ) h ：( 0 ，1 ) _ 【o ，悃) 连续， ( x ) 不恒等于0 ，并且 i p ( x ) 出 l l ( n - 1 ) ( 1 ) ，厶甜0 贝i j 甜0 ( 甜三0 或 0 ) 并定义控制函数 训) ：删 型悱w f 】 ( ， o ) ， ( 1 1 9 ) y ( f ) ：m i n f 趔l ( f ，c ) 【o ，l 】【仃。z ，】 ( 1 2 0 ) l c j 利用锥理论和不动点指数方法得到了问题( p ) 的正解存在结果：这样得到若存在两 个不相同的正数a ，b _ h c p ( a ) a ，则刀阶非奇异周期边值问题至少有一 个正解甜，并且满足商n 口，6 ) m a x a ，6 这一部分研究了不可分离变量情形的刀阶奇异非线性周期边值问题，推广了文 献 1 2 - 1 5 ，2 2 总之，本文利用锥定理及不动点方法，研究了抽象非线性算子方程和不可分 离变量情形的刀阶奇异非线性周期边值问题，并且举出了相应的例子，对有关文章 进行改进 东北大学硕士学位论文第2 章奇异非线 生抽象算子方程正解问题 第2 章奇异非线性抽象算子方程正解问题 2 1 问题的提出 考虑算子方程 ( 缈) ( x ) = 厅( x ) 厂( 妒( x ) ) ，缈d ( ) ，( 2 1 1 ) 其中l ：d ( l ) c 7 c 2 ( q ) 哼r ( q ) 是无界线性算子q 是r ”中的有界区域h r ( q ) ， h ( x ) 0 r 厅( x ) d x o 在b a n a c h 空间c ( q ) 中范数由m l = m 醛忉( x ) l 定义并定义 ” j e n 。 。 p = 缈c ( 五) i 妒( x ) o ，x 五 ， 于是p 是c ( 五) 中的锥 我们假设算子l ：d ( l ) _ r ( q ) 满足条件： ( 。) l ：d ( ) 哼l z ( q ) 存在有界逆算子r ：r ( q ) 专c 2 ( q ) c 7 c ( f i ) 并且r 是全 连续的，且对任意妒r ( q ) 线性方程l u = 够有唯一的解丁有界，即存在m 0 使 寻- v eer ( q ) ，有i l r q , i i 。 o 使得珊满足一致p 正，即咒劬0 死幼i j f p ，v 9 p ( 1 4 3 ) 是对称算子，即v c p ，y d ( 三) ，( 却，1 5 i ，) = ( 9 ，如) 引理2 1 假设( 日1 ) ，( 吼) 满足，那么t b ：p 专p 是全连续算子 证明 由( ) 和( ) 知，t b ：p - - - 尸又因为v 妒c ( f i ) i l b 缈0 ：= ( 陋( x ) 9 ( x ) 1 2a x ) i o ，所以存在常数c ，使得 c ( 脚) y ( x ) ，v x 五 于是，可以推得c n ( ( 册) ”l 】f ，) ( x ) l f ，( x ) ，从而c n i i ( 纺) ”l f ，秒i | ，c ”0 ( 珊) ”0 1 根据g e l f a n d 公式得谱半径 椰) = 熙沂研丢0 再由k r e i n r u t a m n 定理知，船存在对应其第一特征值 = ( ，( 纺) ) 一的正特征 函数证毕 引理2 3 1 1 】设e 是b a n a c h 空间，尸是中的锥，q ( 尸) 是p 中的有界开集假 设a ：n ( e ) 寸尸是全连续算子如果存在p 0 ) 使得u - a u z u o ，v u 抛( 尸) ，卢o n 不动点指数f ( 彳，t a ( e ) ，p ) = 0 引理2 4 t 1 】设e 是b a n a c h 空间，p 是e 中的锥，q ( p ) 是p 中的有界开集，0 f 2 ( t , ) 假设a ：q ( 尸) 专p 是全连续算子，如果a u i z u o ，v u 孢( 尸) ，j l l l 则不 动点指数i ( a ，q ( 尸) ，p ) = 1 2 2 超线性情形正解的存在性 定理2 1 假设( 日。) ，( 马) ，( 马) 满足，如果 l i m i i l f 型 ， ( 2 2 1 ) o _ ，o t i m s u p 地 o ，使得磊p ( x ) 9 ( x ) 岛p ( x ) 东北大学硕士学位论文第2 章奇异非线性抽象算子方程正解问题 证明凼为 9 ( x ) = 脚。( x ) i i t s q l l 。e ( x ) ， 于是取磊- - - i i t b q , i i 。 o ，得6 。e ( x ) 妒( x ) 由于 啦，钾如，臀妒b ， m l n e i x lm l n e l x l 贻如p 啼霄知棚怜驴霄如懈妒弋功蚰z “力。 综上，存在4 ，疋 0 ，使得6 1 e ( x ) 妒0 ) 6 2 e ( x ) 证毕 引理2 6 假设( 。) ，( 马) ，( 且) 满足，记 毋= 妒el ( 却，妒) a0 妒i i 。) ， 其中口= ( 却，p ) ，则只是c ( 五) 中的锥，rt b ( p ) c 只 证明 由p ( x ) o ，9 o ，厅o ) d x o ，可得口 o 因为0 e ，则毋非空 若“，v 毋，口，6 【o ，1 】，i ；ia + b = l ，有( 却，u ) - a l l u l l 。，( 却。，v ) - - , x l l v l l 。，则 ( b e , a u + b y ) = a ( 却，材) + 6 ( 却+ ，1 ，) - - a ( 1 l a u l l 。+ l l b v l l 。) _ “l l a u + b v h 。， 即异使凸集 设 ) c 毋，上t l l u 一i i 。- + o 有l l u 。i i c - , l l u 。i l c ，( 却，u ) - al l u 。也，却r ( q ) c 刀( q ) ，i l u n l i 有界由控制收敛定理得， ( 却) ( j c ) o ) d x - - a ( b t p ) ( x ) ( x ) a x 显然4 0 只，故b 是闭集 若“毋，则v 卢o ，( 却，o u ) = 卢( 却，u ) - 叩l ul 。= 口0 卢“i i 。，即卢“毋 若材眉，吲露，即( 却，甜) 口0 z ，| | c ，( 却，- u ) 独l l - u l l 。- - 口1 1 1 1 。，则甜= o 综上可知，只是c ( 五) 中的锥 第2 章奇异非线性抽象算子方程正解问题东北大学硕士学位论文 对任意缈p ，有( 却+ ，珊妒) ( 却，i i t b 妒i i 。e ) = 口i l z g q o l l 。，即绉( 尸) c 墨证毕 用引理2 6 同样方法可知彳( 尸) ce 下面我们证明定理2 1 定理2 1 的证明 e h ( 2 2 1 ) 知，存在s 0 当甜充分大，使得厂( ) ( 丑+ s ) ”又 由f ：r + _ r + 可知，存在b 0 使得， f ( u ) ( , t l + e ) u - b ，0 材 型掣 下面证明9 嘶柳，v 妒峨限z 0 ,其 口s 一 中妒墨是t b 相厦于第一特征值 的j f 特征函数如若不然，存在仍峨n p ， p o 0 使得 仍一彳仍= 心9 ( 2 2 4 ) 不妨设地 0 ，由于彳( 尸) ct i , ，t b ( p ) c 毋，由( 2 2 4 ) 知仍e l ，因此，根据 ( 2 2 3 ) 式、( 见) 知， ( b r p + ，a q o i ) 一( 却，仍) ：( 妒，7 矽( 锅) ) 一( 却，仍) 2 畴9 ，b y ( 删一( 哆仍) = ( 却，厂( 删一( 却，) 地删( 去阢仍) 一6 m ) 缈k ) 出一( 却州 = 妻( 却，仍) 一6 揪) 妒b ) 出 引 争旷i i 6 胁肌) 出 0 另一方面，由乃( p ) c 日可知，9 墨，故( 却，9 。) - a l l 妒l i c o ，又由( 2 2 4 ) 式可得，( 却，么仍) 一( 却，仍) = 一心( 却，9 ) 0 矛盾所以根据引理2 3 f ( 彳，峨n 尸，p ) = 0 ( 2 2 5 ) 1 主t ( 2 2 2 ) 式，存在0 0 则“1 ，矛盾 所以根据引理2 4 知， f ( 彳，耳n p ，p ) = 1 ( 2 2 7 ) 综上e h ( 2 2 5 ) 和( 2 2 7 ) 式可得， f ( 彳，毋np ( 耳np ) ，p ) = f ( 彳，b rnp ，p ) 一f ( 么，耳np ，p ) = 一1 于是爿在坏np ( enp ) 上至少有一个不动点即方程( 2 1 1 ) 至少存在一个正 解证毕 推论2 1 假设( 。) ，( 鸩) ，( 皿) 满足，如果 l i m i 。n 。f 趔：佃， ( 2 2 8 ) ”。+ ” u l i m s u p 掣：0 ， ( 2 2 9 ) h ，o +“ 其中 是算子绉的第一特征值，则方程( 2 1 1 ) 至少存在一个正解 2 3 次线性情形正解的存在性 定理2 2 假设( 日。) ，( 吼) ，( 马) 满足，如果 l i m 川i n + f f “( u ) ， - + o +u l i m s u p 趔 0 使得， f ( u ) , a 1 ， v o s ， 对任意的9 a 最n p ，根据( 2 3 3 ) 式有 ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) 釜! 主童墨! ! 垡：竺塑塾簦查堡垩壁塑整 东北大学硕士学位论文 二一2 ：二：! ：竺= ：! 兰：! 全一 ( 彳9 ) ( x ) ( 脚) ( x ) ( 2 3 4 ) 不妨设彳在峨n 尸上没有不动点( 否则定理得证) 现在证明 垆一么妒u p ， v e e a 气r l e ,o ( 2 3 5 ) 如若不然，存在a & f q e 和2o ，使得一彳= r 。9 ，于是r 。 0 ，并且 = 么+ 缈r o 缈 令 r = s u p ri 婶 ， 容易知道f 0 和f 9 + ，由t b ( p ) cpn - - 丁见， 砜r 脚= f 。缈 因此根据( 2 - 3 4 ) 式有 2a t p o + v o a p - 2 1 t b c p o + v o q ) + 0 + + r o ) 9 ， 这与r 的定义矛盾故( 2 3 5 ) 式成立 于是由引理2 3 可得， f ( 爿，& n 尸，尸) = 0 由( 2 3 2 ) 式存在吃 ，i 和0 c ys1 使得， 厂( 甜) o 巩“，v u 吃， ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) ( 2 3 即 令五妒= o 巩脚，则石：c ( 孬) 一c ( 孬) 是线性有界算子，且巧( 户) cp 令 肌9 器p 0 阿( 吼， ( 2 3 9 ) 9 e 母- n p 。 显然m - l - o o 令 则有 w = 9ij l l 9 = 彳9 ，j l l 1 ) 下面我们证明形是有界的 对任意妒矿，令石。( x ) = m i n c p ( x ) ，吒 则有 厂( 9 ( 工) ) o 巩9 ( x ) + 厂( 石。( x ) ) ， 垤瓦( 2 3 1 0 ) 9 ( x ) ： ( 却) ( x ) ( 彳缈) ( x ) p 。一 = 死旷( 9 ( x ) ) a 2 l ( t b c p x x ) + m 东北大学硕士学位论文第2 章奇异非线性抽象算子方程正解问题 = ( t , g o ) ( x ) + m ， v x q ， 即( ( ，一互) 9 ) ( x ) m 因为 是算子船的第一特征值，go m a x r 2 ，s u p w ，有彳妒j l l 9 ，v u 峨n 尸，j l l 1 ，于是，由引理4 可 得，j j ( 彳，n p ，p ) = 1 ( 2 3 。1 2 ) 综上e h ( 2 3 7 ) 和( 2 3 1 2 ) 式可得， f ( 彳，& n p ( b n p ) ，尸) = f ( 彳，& n p ，p ) 一f ( 彳，吃n 尸，p ) = 1 于是爿在最n p ( b n 尸) 上至少有一个不动点即方程( 2 1 1 ) 至少存在一个正 解证毕 推论2 2 假设( 日) ，( 4 ) ，( 马) 满足，如果 l i m i n f 型：栅， ( 2 3 1 3 ) _ u “ l i m s u p 巡：0 ，( 2 3 1 4 ) h + “ 其中 是算子皿的第一特征值，则方程( 2 1 1 ) 至少存在一个正解 2 4 例子 我们考虑四阶周期边值问题解的存在性 j ，( ，) = “4 ( ，) 一j 6 i “。( f ) + a ”( ，) = ( ，) 厂( “( ，) ) ， o f - 2 以o 0 r ih ( 懈 z石。万。 0 ，f ：【0 ，佃) _ 0 ，+ ) 连续 由于c o 【o ，qez 2 ( o ，1 ) 中稠密，而c o 【o ，l 】cc 4 【o ，l 】ce ( o ，1 ) 所以，c 4 【o ，l 】在 第2 章奇异非线性抽象算子方程正解问题东北大学硕士学位论文 ( 三甜，) = f ( 甜4 ( ，) 一卢z ，( ，) + a ( f ) ) v ( ，矽 = “( f ) v ( f ) e f “( f ) v ( t ) d t 一硝( f ) v ( f ) c + 卢p ( f ) v o 渺+ af “( f ) v ( f = 一“。( ，) v ( ，) | ：+ p ( ，) v 。( o a t + p 材( f ) v 。( ，) i ：- 卢f 甜( ，) v 。( o a t + ar ”( ，) v ( ，弦 = 甜。( ，) v ( ，) e p ( f ) v ( t ) a t 一卢f 甜( ，) v 。( ，渺+ 仅c “( ，) v ( t ) d t = f 甜( ，) ( 1 ，( ，) 一p v ( f ) + a ，( ，) 渺 f ”o ) 一p “。( ，) + a “( f ) = 0 ， ”o ( o ) = “( 1 ) ， i = o ，1 ，2 ， ( 2 4 2 ) i “( 3 ( o ) 一“3 ( 1 ) = 1 ， 有。唯一解厂c 1 0 ，1 】，并且，( r ) 0 ，可， 0 ，1 】 令 g o ，s ，= 。，r ( 。t ，+ - ，s ) 一, s ，：三；三二三： 则g ( t ，s ) 是相应于问题( 2 4 2 ) 的g r e e n 函数 因此有逆算子丁 m ) ( ，) = f g ( t ，s ) ”( t ) d s ， 并且 ( 砌) ( ，) = f g ( ，s ) 厅( s ( t ) a s ， 则条件( 。) 满足 令 则对任意”c + 【0 ，l 】有 m = m 。g i 鲥n r ( t ) ，o g 鲥 m = m a x ，( ，) ， o s f s l ( 2 4 3 ) ( 2 4 4 ) ( 2 4 5 ) ( 2 4 6 ) 东北大学硕士学位论文第2 章奇异非线性抽象算子方程垩堡塑墨 ( t 8 “) ( r ) = fg ( t ，s ) 办( j ) “( f ) 凼mf 办( s ) “( t ) d s ， 则f 挪) 砸) 凼劫乃叱 另一方面 ( t b 甜) ( ，) = fg ( t ，s ) 办( s ) ”( t ) d s 肌f 办( j ) 甜( t ) d s m i i r b “ 令p ( ，) = 万m ，v ，【o ，l 】，则条件( 皿) 满足 由 。= 群i i f g ( f ，啪印, d s l l 。 m 上h ( s ) d s ， ， 同时 。= 群l i f g ( r 啪) 凼0 。 m f 办( s ) d s ， 即历f 办( j ) 幽0 皿忙mr 厅( s ) 凼则 币1 面邮 其中 是纺的第一特征值 这样就有 定理2 3 如果 l i m i n f 型 ， l m f 郴) d s l i m s u p 型 ，l i m s u p 趔 ( 2 4 8 ) u - - - o + “ _ _ 甜 其中 是算子他的第一特征值，则方程( 2 4 1 ) 至少存在一个正解 删地，忙4 世5 叫忙札f ) - ；m 班防2 嚣此 j 甜( ，) = 4 ( f ) 一5 甜。( ，) + 4 甜( r ) = 厂( ，材( ，) ) ，o ，( 2 4 1 5 ) l i m s u p f ( u ) ：3 ，( 2 4 1 6 ) 一r11 东北大学硕士学位论文第3 章奇异非线性门阶周期边值方程正解问题 第3 章奇异非线性刃阶周期边值问题的正解 3 1 问题的提出 考虑门阶周期边值问题 揣三髯o 。， t i 奠1 1 黜 i ”o ( o ) = ”( 。( 1 ) ，= o ，刀一，( 3 1 2 ) r7 其中厶 ( ，) = “一( f ) + a ，”( f ) ，q r ，i = 0 ，l ，甩一1 ，f ：( o ，1 ) o ，佃) 专 o ，+ ) 连续 1 f ( t ，u ) 不恒等于0 ，f ( t ，”) 关于“一致连续 在b a n a c h 空间c o ，1 】中范数由m 。2 署蹄陋( f ) l 定义 c + o ，l 】= u c o ，1 】i “( ，) 0 ，t 【o ，l 】) 是c o ，1 】中的锥 我们假设问题( p ) 满足下列条件： ( s ) 厂( ，甜) h ( t ) m ( u ) ，其中h ( t ) ：( o ，1 ) 一【0 ，佃) 连续( 允许办( ，) 在t = 0 ，= 1 点 奇异) ，m ：r + 专r + 连续 ( 是) 土厅( s ) 出 0 ) 若厶在周期边值条件( 3 i 2 ) 中满足强极大原理，则由f r e d h o l m 抉择得， j 厶“( f ) = 0 ， “o ( o ) = “d ( 1 ) ， i = o ，1 ，刀一2 ， ( 3 1 3 ) lu ( n - 1 ) ( o ) 一u ( n - o ( 1 ) = 1 ， 有唯一解c 1 0 ，1 】并r r 。( t ) 0 ，v t 【o ，1 】，令 第3 章奇异非线性玎阶周期边值方程正解问题 东北大学硕士学位论文 啪，秣：麓善黧 b ， 则g ( ，s ) 是相应于方程 ：篙；三：，。，i 。三三，主11 刀一1 ， c 3 ，5 ， l “( o ) = “( 1 ) ， = o ，l ， 、。7 的g r e e n 函数1 2 0 。2 2 1 令 z 三嚣， m ， 鸠2 懋( ，) ， 、 7 则由删 0 ，v ，【o ，1 】，有0 仃o l l u l l 。，o ，1 ) ， 得引理3 1 引理3 1 疋是c 0 ，1 】中的锥 证明 因为9 疋，则e 非空 若甜，k ，口，6 o ，1 】且口+ 6 ，1 ，由l ，( ，) 吒i l u l l 。， ，( ，) 吒删。得， 。a u ( t ) + b y ( t ) 盯：l l u l l 。+ b l l v l l 。 = 吒q 例i 。+ 1 1 6 v l i 。) ( i l 口甜+ 6 v 0 。) ， 即疋使凸集 取 ”， ck ，且i i 甜。一1 1 0 l l c 哼o ，由一，则 ”。 一致连续易见匕为闭 集 若”k ，v 卢o 有卢甜( ，) 卢i l u l l 。= 吒忪材l l 即卢“ 若”e ，一“即“o ) 仃。i l u u 。，一“( f ) 仃h 。= 仃。l l u l l 。，则“( f ) 暑o 综上疋是c o ，1 】中的锥证毕 查! ! 查茎堡主茎堡垒查 第3 章奇异非线性门阶周期边值方程正解问题 一：一： ：= = = ：= 3 2 算子的全连续性 引理3 2 2 5 1 ( a r z e l a - a s