高考数学一轮复习 2.1 映射、函数及反函数课件.ppt

第二章函数 2014高考导航 考纲解读1 了解映射的概念 理解函数的概念 2 了解函数单调性和奇偶性的概念 掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法 3 了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系 会求一些简单函数的反函数 4 理解分数指数幂的概念 掌握有理数指数幂的运算性质 掌握指数函数的概念 图象和性质 5 理解对数的概念 掌握对数的运算性质 掌握对数函数的概念 图象和性质 6 能够运用函数的性质 指数函数与对数函数的性质解决某些简单的实际问题 2 1映射 函数及反函数 本节目录 教材回顾夯实双基 考点探究讲练互动 考向瞭望把脉高考 知能演练轻松闯关 基础梳理1 映射 1 定义 设a b是两个非空集合 如果按照某种对应关系f 对于集合a中的任何一个元素 在集合b中都有 的元素和它对应 那么 这样的对应 包括集合a b 以及集合a到集合b的对应关系f 叫做集合a到集合b的 记作f a b 2 象和原象 给定一个集合a到集合b的映射 且a a b b 如果元素a和元素b对应 那么 我们把元素b叫做元素a的 元素a叫做元素b的 唯一 映射 象 原象 2 函数 1 函数的定义设a b是非空的数集 如果按某个确定的对应关系f 使对于集合a中的 一个数x 在集合b中都有 确定的数f x 和它对应 那么就称f a b为从集合a到集合b的一个函数 记作y f x x a x的取值集合a叫做函数的 函数值的集合 f x x a 叫做函数的 2 函数的三要素 和对应法则 3 函数的表示法表示函数的常用方法有 解析法 任意 唯一 定义域 值域 定义域 值域 列表法 图象法 3 反函数的定义设式子y f x 表示y是x的函数 定义域为a 值域为c 从式子y f x 中解出x 得到式子 如果对于y在c中的任何一个值 通过式子x y x在a中都有唯一确定的值和它对应 那么式子x y 就表示x是y的函数 这样的函数 叫做函数y f x 的反函数 记作x f 1 y 即x y f 1 y 一般对调x f 1 y 中的字母x y把它改写成 x y y f 1 x 4 反函数四个引申性质 f 1 b a c a 单调 相同 思考探究1 映射f a b与映射f b a是同一个映射吗 提示 不一定 映射f a b必须满足 1 a中元素无剩余 即a中任何元素必须有象且唯一 2 b中元素可以有剩余 即b中元素不一定有原象 3 若集合a中有m个元素 集合b中有n个元素 则可构成映射f a b有nm个 映射f b a有mn个 2 映射与函数有什么区别 提示 映射不一定是函数 但函数一定是某一个映射 映射的两个集合可以是任意非空集合 函数的集合一定是非空数集 课前热身1 在映射f a b中 下列判断正确的是 a a中的元素a的象可能不只一个b a中的两个元素a1和a2的象必不同c b中的元素b的原象可能不只一个d b中的两个不同元素b1和b2的原象可能相同答案 c 答案 d 答案 d 5 点 x y 在映射f作用下的象是 2x log2y 则在f作用下 点 1 1 的原象是 答案 0 2 考点1映射的概念映射是一种特殊的对应 判断对应是否为映射 关键有两点 一是a中元素必须都有象且唯一 二是b中元素不一定有原象 且a中不同的元素在b中可以有相同的象 一般地 一对一 多对一 的对应关系可构成映射 一对多 不是映射 设a 1 2 3 4 5 b 1 3 7 15 31 33 下列的对应法则f能构成从a到b的映射的是 a f x x2 x 1b f x x x 1 2c f x 2x 1 1d f x 2x 1 思路分析 根据映射定义 判断对于集合a中的任何元素 按照对应法则f 在集合b中是否有唯一的元素与它对应 解析 当x 4时 x2 x 1 21 b 当x 4时 x x 1 2 13 b 当x 1时 2x 1 1 20 1 0 b a b c都不构成从a到b的映射 对于d 经验证 x 1 2 3 4 5时2x 1的值分别为1 3 7 15 31 又映射并不要求b中的任何元素都有原象 应选d 答案 d 领悟归纳 判断从a到b的映射 务必用a中的任何元素在b中找对应的象 切不可颠倒 考点2求函数解析式此类问题有时是单独的一个小题 有时作为解答题的某一过程 但考查的都是常见函数的通法 待定系数法 换元法 消元法等 如果已知函数解析式的类型 可用待定系数法 已知复合函数的表达式时 可用换元法 这时要注意 元 的范围 当已知表达式比较简单时 也可以用配方法 若已知抽象函数的表达式 则常用解方程组 消元的方法求出解析式 思路分析 1 可用配凑法 2 可用换元法 3 可用方程组法 误区警示 对于 1 2 中的换元 易丢掉对 新元 的取值范围的判定 即丢掉所求解析式的定义域 跟踪训练 考点3求反函数解析式求反函数解析式的三步曲 一解 二换 三定义 所谓一解 即首先由给出的原函数的解析式y f x 反解出用y表示x的式子x f 1 y 二换 即将x f 1 y 中的x y两个字母互换 得到y f 1 x 即为所求的反函数 即先解后换 三定义 即求出反函数的定义域 即原函数的值域 思路分析 求原函数值域 反解x 交换x y 得反函数 领悟归纳 本题求反函数的过程中 要注意开方时 是取 正 还是取 负 考点4抽象函数问题这种问题没有给出具体的函数解析式 只是借用抽象的函数意义 来转化其中的变量关系 往往结合恒等式或不等式转化为自变量的关系 思路分析 1 令x y 1再求解可得 2 中赋值时注意应用 1 的结论 3 用定义法确定f x 的单调性 从而转化为关于x的不等式求解 思维升华 本题是抽象函数问题 尽管题中没有给出具体的解析式 但我们仍可以通过不断地赋值去探索其特殊自变量的函数值 常用的赋值有 x y 0 x y 1 x 0 y 1 x y y x 当然具体在实际操作时的赋值还要根据题设的条件进一步确定取值情况 方法技巧1 若两个函数的对应关系一致 并且定义域相同 则两个函数为同一函数 2 函数的三种表示方法 列表法 图象法和解析法 三者之间是可以互相转化的 求函数解析式比较常见的方法有代入法 换元法 待定系数法和解函数方程等 特别要注意将实际问题化归为函数问题 通过设自变量 写出函数的解析式并明确定义域 还应注意使用待定系数法时函数解析式的设法 3 分段函数的反函数仍是分段函数 要分段来求 一般地是把各分段上的函数看作独立函数 分别求出它们的反函数 然后再拼合到一起 求得的反函数一定要标明其定义域 失误防范 命题预测高考中主要考查映射与函数的基本概念 例如求象 原象以及映射的个数等 映射的内容可与其它知识点结合 在高考中常以函数作为背景 结合不等式 方程 数列等知识 考查学生处理综合问题的能力 往往以综合题形式出现 分段函数在高考命题上以考查基本概念与基本计算为主 题型主要是选择题和填空题 也有的把定义一种新运算作为考查的目的 如2012年高考江西卷 江苏卷都对分段函数进行了考查 在2011年的高考中 大多数省市的高考题是与具体函数的性质结合起来考查 如大纲全国卷对函数的周期性 奇偶性进行了考查 从近两年的高考试题来看 对反函数的考查主要是认识反函数的定义 会求反函数 能用互为反函数的图象的对称关系解决问题 以选择题 填空题为主 考查基本知识 基本技能 解答题很少涉及 在2012年高