变力功的计算.docVIP

专题1：变力功的计算20151120专题1：变力功的计算20151120微元求和法1.基本思路：当物体在变力的作用下作曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角不变，（例如当力的大小不变而方向总是与运动方向相同或相反时，可把公式做变通处理，两者同向时，；两者反向时，式中的指的是物体的路程）且力与位移的方向同步变化，可用微元法将曲线分成无限个小元段，每一小元段可认为恒力做功，总功即为各个小元段做功的代数和。变力始终与速度在同一直线上或成某一固定角度时，可把曲线运动或往复运动的路线拉直考虑，在各小段位移上将变力转化为恒力用计算功，而且变力所做功应等于变力在各小段所做功之和。2.基本方法：求出力在位移方向上的分量，求出曲线总长度，总功即为各个小元段做功的代数和【例1】如图所示，某个力F10N作用于半径为Rlm的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向保持在任何时刻均与作用点的切线一致，则转动一周这个力F做的总功为A.0 B.J C.10J D.J【解析】 本题中F的大小不变，但方向时刻发生变化，属于变力做功的问题.可以考虑把圆周分割为很多的小段采研究.当各小段的弧长足够小时，可以认为力的方向与弧长代表的位移方向一致.所求的总功为：【答案】B【例2】如图所示，一质量为m2.0 kg的物体从半径为R5.0 m的圆弧的A端，在拉力作用下沿圆弧缓慢运动到B端(圆弧AB在竖直平面内)拉力F大小不变始终为15 N，方向始终与物体在该点的切线成37角圆弧所对应的圆心角为60，BO边为竖直方向。(g取10 m/s2)求这一过程中：(1)拉力F做的功。(2)重力G做的功。(3)圆弧面对物体的支持力FN做的功。(4)圆弧面对物体的摩擦力Ff做的功。思路点拨：根据各个力的特点(是恒力还是变力)，选择相应的计算功的方法。（62.8J,-50J,0,-12.8J）【例3】 一机车以恒定功率P拖着质量为m的物体，沿半径为R的水平圆轨道由静止开始运动一周所用的时间为t，如图1所示已知物块与轨道间的动摩擦因数为，求物块获得多大的速度？【精析】物体在运动过程中受到重力、支持力牵引力和摩擦力，其中重力和支持不做功，牵引力做正功、摩擦力做负功，且牵引力和摩擦力都是变力，都不能直接根据功的公式求解求牵引力做功可根据功率求出WPt求摩擦力的功用微元法我们可以把圆周分成无数小微元段，如图2所示，每一小段可近似成直线，从而摩擦力在每一小段上的方向可认为不变，求出每一小段上摩擦力做的功，然后再累加起来，便可求得结果把圆轨道分成无穷多个微元段，摩擦力在每一段上可认为是恒力，则每一段上摩擦力做的功分别为，摩擦力在一周内所做的功就等于各小段上做功的代数和，即2mgR求物体运动一周的速度可由动能定理求解由动能定理：联立解得：示功图法1.原理：在F-l图象中，图线与坐标轴所围成的“面积”表示功，作出变力变化的Fl图象，图象与位移轴所围的“面积”即为变力做的功。力学中叫作示功图。2.方法：对于方向在一条直线上，大小随位移变化的力，作出F-l图象，求出图线与坐标轴所围成的“面积”，就求出了变力所做的功。【例1】静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块,在水平拉力F作用下,沿x轴方向运动,拉力F随物块所在位置坐标x的变化关系如图所示,图线为半圆.则小物块运动到x0处时的动能为 ( ) 答案（C）A.0 B. 1/2Fmx0 C.Fmx0 D.x02【例2】用锤子把钉子钉入木块中，设锤子每次打击时，锤子对钉子做的功均相同，钉子进入木块所受到的阻力跟钉入的深度成正比。如果第一次被打入木块的深度为2cm。求第二次打击后可再进入几厘米？22+x2kK(2+x)S/cmF/N图2O解：由于锤子对钉子每一次做的功均相同，而锤子对钉子做的功又可以用阻力做的功来代替，已知钉子进入木块所受到的阻力跟钉入的深度成正比,设钉入进入的深度为x,那么阻力：, FS图象如图2所示。 第一次锤子对钉子做的功：第二次锤子对钉子做的功：由于有：解得：【例3】放在地面上的木块与一劲度系数的轻弹簧相连。现用手水平拉弹簧，拉力的作用点移动时，木块开始运动，继续拉弹簧，木块缓慢移动了的位移，求上述过程中拉力所做的功。分析：由题意作出图象如图所示，在木块运动之前，弹簧弹力随弹簧伸长量的变化是线性关系，木块缓慢移动时弹簧弹力不变，图线与横轴所围梯形面积即为拉力所做的功。即平均力法1.基本依据：如果一个过程，若F是位移l的线性函数时，即F=kl+b时，可以用F的平均值 (F1 +F2)/2来代替F的作用效果来计算。2.基本方法：先判断変力F与位移l是否成线性关系，然后求出该过程初状态的力和末状态的力，再求出每段平均力和每段过程位移，然后由求其功。【例1】用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次进入木板的深度是多少?sF0Kd+dd+dkddCABD解： 此题也可用图像法：因为木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比，即F=kd，其图象为图所示。铁锤两次对钉子做功相同，则三角形OAB的面积与梯形ABCD的面积相等，即解得 【例2】要把长为的铁钉钉入木板中，每打击一次给予的能量为，已知钉子在木板中遇到的阻力与钉子进入木板的深度成正比，比例系数为k。问此钉子全部进入木板需要打击几次？分析：在把钉子打入木板的过程中，钉子把得到的能量用来克服阻力做功，而阻力与钉子进入木板的深度成正比，先求出阻力的平均值，便可求得阻力做的功。钉子在整个过程中受到的平均阻力为：钉子克服阻力做的功为：设全过程共打击n次，则给予钉子的总能量：所以用求解1.基本原理：在机车的功率不变时，根据知，随着速度v的增大，牵引力将变小，不能用求功，但已知功率恒定，所以牵引力在这段时间内所做的功可以根据求出来。2.基本方法：因为功率恒定，所以设法求出做功的时间，然后即可按求出这段时间牵引力的功。（在已知平均功率一定时，也可采用这种方法）【例1】质量为m的机车，以恒定功率从静止开始起动，所受阻力是车重的k倍，机车经过时间t速度达到最大值v，求机车的功率和机车所受阻力在这段时间内所做的功。解析：机车的功率恒定，从静止开始达到最大速度的过程中，牵引力不断减小，当速度达到最大值时，机车所受牵引力达到最小值，与阻力相等。在这段时间内机车所受阻力可认为是恒力，牵引力是变力，因此，机车做功不能直接用来求解，但可用公式来计算。根据题意，机车所受阻力，当机车速度达到最大值时，机车功率为： 根据，该时间内机车牵引力做功为：根据动能定理， 得牵引力克服阻力做功为：故阻力做功为：【例2】（2012福建理综）如图，用跨过光滑定滑轮的缆绳将海面上一搜失去动力的小船沿直线拖向岸边。已知拖动缆绳的电动机功率恒为P，小船的质量为m，小船受到的阻力大小恒为f，经过A点时的速度大小为v0，小船从A点沿直线加速运动到B点经历时间为t1，A、B两点间距离为d,，缆绳质量忽略不计。求：（1）小船从A点运动到B点的全过程克服阻力做的功Wf；（2）小船经过B点时的速度大小v1；（3）小船经过B点时的加速度大小a。11【解析】：（1）小船从A点运动到B点的全过程克服阻力做的功Wf =fd。（2）小船从A点运动到B点，电动机牵引绳对小船做功，W=Pt1，由动能定理有，W- Wf =mv12-mv02，联立解得小船经过B点时的速度大小v1=。（3）设小船经过B点时绳的拉力大小为F，绳与水平方向夹角为，电动机牵引绳的速度大小为u，则，P=Fu，u= v1cos，由牛顿第二定律有，Fcos -f=ma，联立解得加速度大小a=-。等效变换法1.基本思路：在某些情况下，通过等效变换可以将变力做功转换成恒力做功，然后用求解。2.基本方法：找出不变的因素，将变力做功转换成恒力做功及与之对应的位移，然后用求功公式求解。【例1】 如图所示，某人用大小不变的力F=20N拉着放在光滑水平面上的物体。开始时与物体相连的轻绳和水平面间的夹角为=37，当拉力F作用一段时间后，绳与水平面间的夹角为=53。 已知图中的高度是h=12m，绳与滑轮间的摩擦不计，求绳的拉力FT对物体所做的功。分析：拉力FT在对物体做功的过程中大小不变，但方向时刻改变，所以这是个变力做功问题。由题意可知，人对绳做的功等于拉力FT对物体做的功，且人对绳的拉力F是恒力，于是问题转化为求恒力做功。由图可知,在绳与水平面的夹角由变到的过程中,拉力F的作用点的位移为：所以绳对物体做功：【例2】如图所示，物体A的质量为2kg，置于光滑的水平面上，水平拉力2N，不计绳子与滑轮的摩擦和滑轮的质量，物体A获得的加速度a=_m/s2，在物体A移动0.4m的过程中，拉力F做功_J2；1.6 【例3】一木块前端有一滑轮，绳的一端系在右方固定处，另一端穿过滑轮用恒力F拉住保持两股绳之间的夹角不变，如图所示当用力拉绳使木块前进s时，力F对木块做的功(不计绳重和摩擦)是（ B ）AFscosBFs（1cos）C2FscosD2Fs能量转化法功是能量转化的量度，已知外力做功情况就可计算能量的转化，同样根据能量的转化也可求外力所做功的多少。因此根据动能定理、机械能守恒定律、功能关系可从能量改变的角度来求变力功。1.用动能定理求变力做功动能定理的内容是：外力对物体所做的功等于物体动能的增量。它的表达式是：W 外=EK，W外可以理解成所有外力做功的代数和，如果我们所研究的多个力中，只有一个力是变力，其余的都是恒力，而且这些恒力所做的功比较容易计算，研究对象本身的动能增量也比较容易计算时，用动能定理就可以求出这个变力所做的功。【例1】如图所示，原来质量为m的小球用长L的细线悬挂而静止在竖直位置.用水平拉力F将小球缓慢地拉到细线与竖直方向成角的位置的过程中，拉力F做功为（ ）A. B. C. D.解析：很多同学会错选B，原因是没有分析运动过程，对FLcos来求功的适用范围搞错，恒力做功可以直接用这种方法求，但变力做功不能直接用此法正确的分析，小球的运动过程是缓慢的，因而任一时刻都可看作是平衡状态，因此F的大小不断变大，F做的功是变力功，小球上升过程中只有重力和拉力做功，而整个过程的动能改变为零，可用动能定理求解：所以 ，故D正确。【例2】如图所示，质量的物体从轨道上的A点由静止下滑，轨道AB是弯曲的，且A点高出B点。物体到达B点时的速度为，求物体在该过程中克服摩擦力所做的功。解析：物体由A运动到B的过程中共受到三个力作用：重力G、支持力和摩擦力。由于轨道是弯曲的，支持力和摩擦力均为变力。但支持力时刻垂直于速度方向，故支持力不做功，因而该过程中只有重力和摩擦力做功。由动能定理，其中所以代入数据解得。【例3】如图所示,在长为L的轻杆中点A和端点B各固定一质量均为m的小球,杆可绕无摩擦的轴O转动,使杆从水平位置无初速释放摆下.求当杆转到竖直位置时,轻杆对A、B两球分别做了多少功?解析：设当杆转到竖直位置时,A球和B球的速度分别为VA和VB.如果把轻杆、地球、两个小球构成的系统作为研究对象,那么由于杆和小球的相互作用力做功总和等于零,故系统机械能守恒.若取B的最低点为零重力势能参考平面,可得: 又因A球对B球在各个时刻对应的角速度相同,故VB2VA由以上二式得： 根据功能关系可解出杆对A、B做的功.对于A有对于B有 2.用机械能守恒定律求变力做功如果物体只受重力和弹力作用，或只有重力或弹力做功时，满足机械能守恒定律。如果求弹力这个变力做的功，可用机械能守恒定律来求解。【例1】如图所示，质量m=2kg的物体，从光滑斜面的顶端A点以V0=5m/s的初速度滑下，在D点与弹簧接触并将弹簧压缩到B点时的速度为零，已知从A到B的竖直高度h=5m，求弹簧的弹力对物体所做的功。分析与解：由于斜面光滑故机械能守恒，但弹簧的弹力是变力，弹力对物体做负功，弹簧的弹性势能增加，且弹力做的功的数值与弹性势能的增加量相等。取B所在水平面为零参考面，弹簧原长处D 点为弹性势能的零参考点，则状态A：EA= mgh+mV02/2对状态B：EB=W弹簧+0由机械能守恒定律得： W弹簧=（mgh+mv02/2）=125（J）。小结：对于涉及弹簧弹力做功的试题，一般我们都可以用机械能守恒定律求功。3.用功能原理求变力做功功能原理：系统所受的外力和内力（不包括重力和弹力）所做的功的代数和等于系统的机械能的增量，如果这些力中只有一个变力做功，且其它力所做的功及系统的机械能的变化量都比较容易求解时，就可用功能原理求解变力所做的功。基本思路：如果这些力是变力或只有一个变力做功，而其他力对物体做的功和系统机械能的变化量容易求得，就可以用功能原理求解变力做功问题。基本方法：在涉及重力、弹力之外的变力做功问题时，只要系统的机械能的变化容易求得，用功能原理求解该变力所做的功比较方便【例1】质量为2kg的均匀链条长为2m，自然堆放在光滑的水平面上，用力F竖直向上匀速提起此链条，已知提起链条的速度v=6m/s，求该链条全部被提起时拉力F所做的功。分析：链条上提过程中提起部分的重力逐渐增大,链条保持匀速上升，故作用在链条上的拉力是变力，显然不能直接用功的公式求功。但可以根据功能原理有：上提过程拉力F做的功等于机械能的增量，解：由用功能原理:WF=当链条刚被全部提起时，动能没有变化，重心升高了=1米，故机械能的变化量为因此，拉力F所做的功WF=19.6J【例2