（电子科学与技术专业论文）一维各向异性异向介质电磁性质的研究.pdf

浙江大学硕士学位论文 a b s t r a c t a san e we l e c t r o m a g n e t i cm a t e r i a l ，l e f t h a n d e dm e t a m a t e r i a l ( l h m ) ，w i t h s i m u l t a n e o u s l yn e g a t i v ep e r m i t t i v i t ya n dp e r m e a b i l i t y , h a sa t t r a c t e dl o t so fi n t e r e s t s a m o n gt h er e s e a r c h e r sa r o u n dt h ew o r l d s u c hd i s t i n c tc o n s t i t u t i v ep a r a m e t e r sh a v e b r o u g h tt h em e d i u ms e v e r a lq u i t eu n i q u ee l e c t r o m a g n e t i cp r o p e r t i e s ，s u c ha sn e g a t i v e r e f r a c t i o n ，r e v e r s e dd o p p l e re f f e c t ，r e v e r s e dc e r e n k o vr a d i a t i o n ，e t c f o rt h er e a l i z e d a n i s o t r o p i cl h m ，t h er e s e a r c h e so ni t se l e c t r o m a g n e t i cc h a r a c t e r i s t i c sw i l ll e a dt oa b e t t e ri n t e r p r e t a t i o no fm a n yp h e n o m e n ao b s e r v e di nt h ee x p e r i m e n t s ，w h i c hi s d i f f e r e n tf r o mt h eo n e sc o n c l u d e df r o mt h ei s o t r o p i cm e d i a b a s e do nt h ea n i s o t r o p i c e mt h e o r y , t h er e f l e c t i o na n dr e f r a c t i o n0 nt h eb o u n d a r yo f t h eo n e d i m e n s i o n a l ( i d ) l h mh a v eb e e ns t u d i e di nt h i st i l e s i s t h em a i nw o r k sf o c u so n 1 f o rt h eh a l f - s p a c e1 dl h mw i t hi t sp r i n c i p a la x i sw i t hn e g a t i v ep e r m i t t i v i t y p e r p e n d i c u l a rt ot h ep l a n eo fi n c i d e n c e ，t h et ep o l a r i z e di n c i d e n tp l a n ew a v e c o u l dh a v et o t a lt r a n s m i s s i o no nt h eb o u n d a r yi nt h et w oc a s e sw h e nt h e p r i n c i p a la x i sw i t hn e g a t i v ep e r m e a b i l i t yi nt h ep l a n eo fi n c i d e n c ei sn o r m a l o rp a r a l l e lt ot h ei n t e r f a c e t h ec o n d i t i o n sf o rt h i sp h e n o m e n o nh a v eb e e n g i v e ni nt h et h e s i s 2 t h ew a v er e f l e c t i o na n dr e f r a c t i o no nt h eb o u n d a r yb e t w e e nan o r m a lm e d i a a n da1d l h m ，w h o s ed i s p e r s i o nr e l a t i o ni sw i t hah y p e r b o l i ck - s u r f a c e ，a r e s t u d i e d ，i nas p e c i a lc a s ew h e nt h eb o u n d a r yi sp e r p e n d i c u l a rt oo n e a s y m p t o t i cl i n eo ft h eh y p e r b o l a ，p h a s em a t c h i n gc a nn o tb ea c h i e v e du n l e s s t h e1 d l h mi sr e g a r d e di n t r i n s i c a l l yl o s s y a f t e ri n t r o d u c i n gas m a l ll o s s f a c t o rt ot h e1 d l h m ar e a s o n a b l es o l u t i o nf o r t h ep h a s em a t c h i n gi s o b t m n e d a c c o r d i n gt ot h ea n a l y t i c a lr e s u l t ，aw a v ec o n f i n e dt oat h i nl a y e r n e a rt h eb o u n d m yi sf o u n d ，w h i c hc a nb ee x c i t e do nt h eb o u n d a r ya sa r e f l e c t e dw a v eo rar e f r a c t e dw a v ea n da t t e n u a t e sd r a s t i c a l l ya w a yf r o mt h e b o u n d a r yi n s i d et h e1 d l h mi nb o t hc a s e s 3 t h et r a n s m i s s i o no fag a n s s i a nb e a mp a s s i n gt h r o u g has l a bm a d eo fa1 d l h mi ss t u d i e d t h ea n a l y t i c a ls o l u t i o no ft h ee l e c t r i ca n dt h em a g n e t i c i i i 浙江大学硕士学位论文 f i e l d si n s i d ea n do u t s i d et h es l a ba r eg i v e n t h ec a l c u l a t i o no f t h ep o w e rf l o w o ft h eb e a mp r e d i c t st h a t i nt h en e g a t i v ep a s sb a n do ft h ei dl h m ，t h e r e e x i s td i f f e r e n td i r e c t i o n so fl a t e r a l d i s p l a c e m e n t s ，s u c hp h e n o m e n o ni s f u r t h e rv e r i f i e db ye x p e r i m e n t k e y w o r d s ：l e f t - h a n d e dm e t a - m a t e r i a l ，a n i s o t t o p y , r e f l e c t i o n ，r e f r a c t i o n ，d i s p l a c e m e n t o f ag a u s s i a nb e a m i v 浙江大学硕士学位论文 1 1 论文的目的以及意义 第一章引言 在经典物理学中，m a x w e l l 方程( 包括两个本构方程) 描述了所有在物质中 发生的电磁现象电场以及磁场和物质本身特性的关系。而描述物质本身特性 的参数包括了介电常数和磁导率。目前所知道的自然界物质，可分为四类：固体、 液体、气体以及等离子体。对于等离子体，它拥有一个等离子频率，在等离子频 率以下，等离子体呈现出负的介电常数。由于磁导率仍然为正，这个时候电磁波 是无法在当中传播的。到目前为止，自然界中这些形态的物质具有的介电常数和 磁导率都没有在同一频带内同时为负的。而低电等离子频率的人工材料的出现， 以及磁等离子人工材料的出现，直接改变了上述物质形态的格局，导致了具有负 介电常数和负磁导率的人工异向介质( 1 e f t - h a n d e dm e t a - m a t e r i a l ) 的实现。该突 破被s c i e n c e 杂志评为2 0 0 3 年度十大科技突破之一。 异向介质最基本的特征是介电常数和磁导率在一个频带内同时为负。电磁波 在各向同性异向介质中，或者以特定的偏振状态在各向异性异向介质中传播时表 现为后向波，在多种条件下可观察到负折射、倏逝波放大、逆多普勒效应、逆 c e r e n k o v 辐射等不同于一般介质的特性。该介质的电磁特性是值得分析和掌握 的。有了这些特性，异向介质就具有很大的应用潜力，如可以实现天线波束汇聚， 完美透镜，超薄谐振腔等功能。该介质将在微波和光学领域有广泛的应用价值， 在军事上和日常生活中都可以发挥作用。 现在实现人工异向介质的方法主要是金属谐振周期结构，其所制作出来的异 向介质在结构上面只有一个或者两个方向上面的介电常数或者磁导率为负，因此 被视为一维或者二维异向介质。而三维各向异性或者各向同性异向介质，目前为 止还没有得到实现。另外，由于单元尺寸较大，其工作频率大部分为微波波段， 也有一些研究小组利用纳米技术在t h z 波段甚至在远红外波段和可见光波段实现 了异向介质。目前，通过实验已经可以在微波频段观察到异向介质的各种异向特 性。 本论文主要从各向异性电磁波理论入手，研究只有一个主轴方向上面具有负 介电常数，在另一个主轴上面具有负磁导率的一维各向异性异向介质的折射反射 浙江大学硕士学位论文 和透射等这些电磁特性，以及其应用。从而更好地给出目前可以制造出的低维数 异向介质的物理特性。 1 2 异向介质的研究历史以及现状 1 2 1 异向介质研究简介 异向介质的概念最初是由前苏联科学院l e b e d e v 物理研究所的物理学家v g v e s e l a g o 于1 9 6 4 年提出的，并于1 9 6 8 年在s o v i e tp h y s i c su s p e k h i 的1 月号、2 , q 号 合刊上发表其英文版译文。他从m a x w e l l 方程出发，分析了电磁波在介电常数 和磁导率同时为负的介质里传播的情况，从理论上指出这种介质的存在是不违反 经典物理学定律的，并且具有一些奇特的电磁性质。但是由于在自然界中并未观 察到这种物质的存在，而且没有产生负磁导率的材料或方法，异向介质在其概念 提出以后几十年问一直因无法验证而成为一种假说。 直n 2 0 世纪末，异向介质人工材料的实现因为新的结构的提出才变得可能。 英国帝国理工学院( i m p e r i a lc o l l e g e ) 的物理学家j b p e n d r y 于1 9 9 6 年在p h y s i c a l r e v i e wl e t t e r s 上面提出了关于如何用金属线构造低电等离子频率材料的方法。3 ， 以及于1 9 9 9 年在i e e et r a n s a c t i o no nm i c r o w a v et h e o r ya n dt e c h n i q u e s a 2 发表了 关于如何构造具有磁等离子特性的材料的文章。1 。在这两篇文章所提出的结构的 基础上，美国加州大学圣地亚哥分校的物理学家d r s m i t h 于2 0 0 0 年提出了构造 在同一频带内具有负介电常数以及负磁导率的复合材料的方法以及给出了通带 的测量结果”1 ，并且于2 0 0 1 年在s c i e n c e 上面发表了对该材料的实验验证。1 。至此， 人工异向介质材料在实验室中得到了证实。 如上所述，而对于异向介质物理性质的探讨，是从v g v e s e l a g o ) q ：始的。 在其文中“，首先探讨了各种不同于正常介质的电磁现象：反相波现象、逆 c e r e n k o v 辐射、逆多普勒效应、负折射等。到人工异向介质实现的可能性提出之 后，这种材料的电磁特性又重新引起人们的关注。最著名的莫过于结构提出者j b p e n d r y 的各向同性异向介质对倏逝波( e v a n e s c e n t w a v e ) 放大的性质的研究”3 ， 以及对这个问题的激烈的讨论”。1 。r r u p p i n 对异向介质表面模( s u r f a c e p o l a r i t o n s ) “。“”以及在色散异向介质中的能量传播“的研究也非常引入注目。此 外，对各向同性异向介质的电磁传播特性( t r a n s m i s s i o n p r o p e r t y ) 的研究也在进 浙江大学硕士学位论文 行“”0 1 。 在世界各个研究小组中，除了j b p e n d r y ，d r s m i t h ，r r u p p i n 等外，美 国麻省理工学院( m a s s a c h u s e t t si n s t i t u t eo f t e c h n o l o g y ) j i na uk o n g 教授领导的 研究小组亦对此领域作了很多工作。他们的研究包括了：在多层异向介质中电磁 波的激发以及传播等性质。“，高斯波束在各向同性异向介质平板中的位移现象 “，电磁波能量在色散的各向同性异向介质中的传播”，异向介质中的 e e r e n k o v 辐射”，异向介质平板中的导模。，异向介质本构参数的重构。”，以 及一些各向异性异向介质的折射反射和传播。“”。3 。 在2 0 0 2 年，j i na uk o n g 教授来浙江大学讲学，创建了电磁科学院浙江大学 分院。与此同时，在浙大建立了异向介质研究小组，并开展了相关的研究工作。 到目前为止，浙江大学异向介质小组在该领域已经进行了三年多的研究工作，并 取得了一系列的研究成果，主要包括：各种异向介质的设计以及实现，包括型 。3 “1 ，s 型。”。“，双s 型。7 1 以及随机型。：一些异向介质特性的实验验证：包括本 构参数重构的实验实现。，t 波导的实验验证“，各向同性异向介质波束位移的 实验验证“，异向介质和正常介质构成复合介质的零阶禁带的实验验证“”等； 些用异向介质在微波器件或者天线方面的设计，包括：次波长谐振器“，反向微 波耦合器“，方向性良好的窄波束天线“”等；以及本人在各向异性异向介质中的 理论以及实验验证的工作。 1 2 2 各向异性异向介质的研究简介 各向异性异向介质首先是f 1 3 v g v e s e l o g o 揪“1 中提到的，然而系统性 描述各向异性异向介质的是d r s m i t h “。在该文中，s m i t h 全面地给出了各种 各向异性异向介质，并命名主轴上面不同符号的介质为i n d e f i n i t em e d i a ，并将各 种类型的i n d e f i n i t em e s a 分为四类来表征切向波矢量从而来代表不同的电磁波 传播特性：c u t o f f , a n t i c u t o f f , n e v e r c u t o f f , 和a l w a y s c u t o f f ，如图1 1 所示。 在s m i t h 之前，d e l a w a r e 大学f 1 0 l i a n g b i nh u 已经对单轴( u n i a x i a l l y ) 各向异 性异向介质作了较为普适的研究“。该文给出了电磁波在单轴各向异性异向介质 中的传播特性，以及针对光轴垂直和平行于半空间单轴各向异性异向介质表面的 情况，给出了电磁波在界面上的折射和反射行为。同时亦分析了如此单轴各向 浙江大学硕士学位论文 莹 州a m c ，州 。麟l 雕j 嘲i ：瞄) 雕 瞄ll 潮 、 “ 。，! l 、j 厂奄；， 扩，：，爹i 、 ，。、1 ， nj w 。瞵jr 蘩 t 瞵jl 誊 f w i ”d 口 瞵l 瞵j 皑1 雕 、登， ，j 。、。 j _ ! ， 图1 1s m i t h 针对i n d e f i n i t em e d i a 提出的四种不同的电磁波传播情况“。” 异性异向介质平板对于倏逝波的传播所起到的作用。 此后，l e iz h o u 和c t c h a r t 亦分析了半空间一维异向介质( 只有一个方向一j ， 轴上面介电常数为负，另外一个与之前负介电常数主轴方向垂直的方向一确9 上面 具有负的磁导率的异向介质) 界面上电极化波( sp o l a r i z e dw a y e ) 的折射反射情 况“，如图1 2 所示。他们指出，当界面为x 7 平面时，电极化波从空气入射，反 射系数会和折射角( 包括波矢量折射角和能量折射角) 会随着入射角度的增大 ( a ) j ：同蔓r 嗣 爿二兰= = = = ：= ：到：i 譬 一m l j口v j 图1 2l z h o u 4 和c t c h a n 对一维异向介质界面上折射反射的分析。( a ) 波矢量图“4 “。” ( b ) 界面为x i ，平面时的折射反射情况，“”1 ：( c ) 界面为，一。平面时的折射反射情况“” 4 s-b兰日5 羽一 忍 l耐tle sc暑莒 浙江大学硕士学位论文 而增大，如图1 2 ( b ) 所示。当界面为j ，一z 平面时，我们可以看到入射角度小于 定角度时候是没有透射的，也就是说反射率为1 。而大于该角度后反射率则是非 单调的，如图1 2 ( e ) 所示，并且会出现一个情况：当波矢量折射角与入射角相等 时，反射率为0 ，透射率为1 ，即是完全透射。这个情况跟各向同性介质里面出现 的b r e w s t e r 角的情况很相像。作者对此进行了比较，他们认为：在各向同性介质 里面的完全透射是由于在第二种媒质，即产生折射波的媒质，中的电子的振动不 能够产生跟折射波角度垂直的反射波，因此会有反射率为0 的现象。而在各向异 性异向介质里面，产生完全透射现象的原因是和上面所描述的b r e w s t e r 角的情况 不一样的，是由于媒质的各向异性( a n i s o t r o p y ) 导致的。 2 0 0 4 年，d r s m i t h 在j o u r n a lo ft h eo p t i c a ls o c i e t yo fa m e r i c ab o p t i c a l p h y s i c s 上发表了一篇关于i n d e f i n i t e m e d i a 中的负折射问题研究的综述性文章”。 文中具体阐述了在i n d e f i n i t em e s a 界面上面，电磁波的折射反射行为，包括了主 轴平行或垂直于界面与主轴与界面形成一个锐角或者钝角的情况。 2 0 0 5 年，m i t 的异向介质小组工m g r z e g o r c z y k 等人在i e e et r a n s a c t i o no n 警 墨 分 蛩 ，岛 够 匿 f 疗一 卜猷 ，f 重 分 譬 ( b )( c ) 图1 3 一般情况下的各向异性异向介质的折射定律。“2 ”。( a ) n g ! i t l n ；电场感受到 正( b ) 和负( c ) 的介电常数时的波矢量折射角和能量折射角 浙江大学硕士学位论文 m i c r o w a v et h e o r ya n dt e c h n i q u e s 上面更加详细地描述了一般情况下人工各向异 性异向介质中的折射定律。，如图1 3 所示。比较图1 3 和图1 2 ，我们可以明显 看到，当主轴平行或者垂直于界面的情况于主轴与界面成锐角或者钝角的情况的 不同。同年，他们从实验上验证了各向异性异向介质的全透射和逆全反射角现象 ( i n v e r s i o no f c r i t i c a la n g l e ) 嘲。 另外，n 一h s h e n 等人在p h y s i c a lr e v i e wb 上面更加一般性地提出了三维空 间中的波矢量图，如图1 4 所示。 图1 4 各向异性异向介质在三维空间中的波矢量图“。1 。” 1 3 论文内容安捧 由于现阶段能够被制造出来的人工异向介质均为各向异性的，为了能够更加 深入地了解各种实验现象，发现其背后一些不同寻常的物理性质，深刻地探讨各 向异性异向介质成为了目前异向介质领域中较为重要的一个研究方向。本文在这 个方向上面所做的工作主要分为三部分，半空间主轴垂直于或平行于界面的一维 各向异性异向介质界面上的反射折射理论分析、半空间主轴非平行于非垂直于界 面的一维各向异性异向介质界面上的反射折射理论分析、主轴非平行于非垂直于 界面的一维各向异性异向介质平板的透射理论和实验分析以及其应用。本文的创 新性工作主要概括为： 1 、 对于半空间的一维各向异性异向介质，当其负介电常数主轴垂直于 入射平面，而在入射平面内的负磁导率主轴垂直于介质界面时，若 浙江大学颂七学位论文 m i c r o w a v et h e o r ya n dt e c h n i q u e s 上而更加详细地描述了一般情况下人工各向异 性异向介质中的折射定律1 ，如图1 3 所示。比较图1 3 和图1 2 ，我们可以明显 看到，当主轴平行或者垂直于界面的情况于主轴与界面成锐角或者钝角的情况的 不同。同年，他们从实骑p 验证了各向异性异向介质的全透射和逆牟反射角现象 ( i m , e r s i o no f c d t i e a la n g l e ) 致 另外，n 一hs h e n 等人在p h y s i c a lr e v i e wb 上面更加一般性地提出t u _ 维空 间中的波矢量图”，如图1 4 所示。 图14 备向异性异向介质在三维空间中的波矢量图= 5 。“。3 1 3 论文内容安捧 由于现阶段能够被制造l _ _ l 来的人工异向介质均为各向异性的，为了能够更加 深入地了解各种实验现象，发现其背后一些不同寻常的物理性质，深刻地探讨各 向异性异向介质成为了目前异向介质领域中较为重要的一个研究方向。本文在这 个方向：面所做的工作主要分为三部分，半空间主轴垂直于或平行于界面的一维 各向异性异向介质界面上的反射折射理论分析、半窄问主轴非平行于非垂直于界 面的一维各向异性异向介质界面上的反射折射埋论分析、主轴非平行丁非垂直于 界而的维各向异性异向介质平板的透射理论和实验分析以及其应用。本文的创 新性上作主要概括为： l 、 对于半空间的一维各向异性异向介质，当其负介电常数书轴垂直于 入射平面，而在入射平面内的负磁导率主轴垂直于介质界面时，若 入射平面，而在入射下面内的负磁导率主轴垂直于介质界面时，若 浙江大学硕士学位论文 t e 偏振的平面波从空气入射，平面波在介质界面完全透射的条件是 入射波的波矢量和折射波的波矢量在同方向，并且平面波的频率 在。一维各向异性异向介质的负频带内；若入射平面内的负磁导率主 轴平行于介质界面，则对于t e 偏振入射的平面波，界面上发生完全 透射现象的条件是折射波的能量方向和入射波的能量方向一致，且 负介电常数要大于负磁导率。而对于一维各向异性异向介质构成的 平板，这些现象仍然存在，同时还具有由于体积效应造成的完全透 射现象。 2 、 发现了以双曲线表征的色散关系的一维各向异性异向介质平面上的 一种反射折射现象。当表征色散关系的双曲线中的一条渐近线垂直 于界面时，界面上的折射反射行为会出现一些不符合常理的现象： 如此界面激发出来的在一维各向异性异向介质中传播的电磁波( 反 射波或者折射波) 会随着介质损耗的减小而迅速衰减。同时，无论 在介质表面还是内部，电磁波都遵循能量守恒定律。 3 、在主轴旋转到与表面构成一定角度非苴角或者平行时候，在一 维各向异性异向介质的负通带内( n e g a t i v ep a s sb a n d ) ，当一束斜入 射的单频率高斯波束穿透如此介质构成的平板，根据频率的不同该 波束可能发生负方向或者正方向的切向位移。此工作从实验上得到 了验证。利用上述原理，当一束斜入射的含有两个不同频率的高斯 波束打入一用主轴与界面成非直角非平行角度的一维各向异性异向 介质构成的平板，该波束可以被分为两束单频率的高斯波束，并且 分列与入射点法线两侧，从而起到了波分器( s p l i t t e r ) 的作用 本论文分为四章，上述三项研究工作分别在第三、四章中介绍。第二章将介 绍异向介质的基本物理性质和基本实现构成。 浙江大学硕士学位论文 第二章异向介质基本理论基础以及实现 2 1 异向介质的定义以及基本概念 异向介质这个名字是由m i t 的j i n a u k o n g 教授给出的，其中的“异向”表 征了各向同性的异向介质中传播的电磁波的波矢量方向和能量传播方向是相反 的，而这个结果是符合因果律( c a u s a l i t y ) 的。”。“。 考虑无源全空问的各向同性异向介质，从m a x w e l l 方程出发 v 屉一詈( 2 1 - 1 a ) v _ - 0 d a ( 2 1 - 1 b ) v d = 0 f 2 1 一l c ) v - b = 0 r 2 1 - l d ) d = s e b = p h 佗1 一l e ) f 2 1 1 n 其中，百为磁通量密度、五为电位移、面为电场强度以及耳为磁场强度。式( 2 1 1 e ) 以及f 2 1 i f ) 均为各向同性介质中的本构方程。 对( 2 1 一l a ) 两边求旋度，并将( 2 1 - l b ) 、( 2 1 一l e ) 和( 2 1 1 0 代入得到 ( v 2 一掣刳面= 。 b m ， 上式为无源各向同性介质充满的空间中的亥姆霍兹( h e l m h o l t z ) 方程。这个方 程描述了电磁波在s 、所表征的介质组成的空间中的传播行为，故也被称为波方 程。 对于时谐场，即面一e 。e x p ( 一l o t ) ，波方程可以得到电场强度面的解，如下 面= 一e 0 e x p 弦；刊) ( 2 1 - 3 ) 其中，面。是一个与坐标无关的表征了波幅度的大小以及方向的矢量， 浙江大学硕士学位论文 k = i t + 如，+ 玩，= 矗+ 咖+ 勃，且k 2 = + 女：+ 贮。上述解即为波方程的 平面波解。将( 2 ，1 3 ) 代入( 2 1 2 ) ，我们可以得到该介质的色散方程 k 2 = 2 掣( 2 1 4 ) 从上式中，我们可以很明显看到，k 若要有实数解，等式右边必须大于零。 而频率的平方是始终大于零的，这时候就要求s 和同时大于零或者同时小于 零。对于( 2 1 3 ) 所表示的平面波解，( 2 1 一l a ) 至( 2 1 1 b ) 可以改写为 k e = c o , t h( 2 1 - 5 a ) k x h = - o ) 占e ( 2 1 5 b ) 这时候，我们可以用上两式计算电磁波的波印廷矢量( p o y n t i n gv e c t o r ) ，如 下 i ：面耳 = ( 一去丽) 腼西( 壶丽) b m ， = 磊k 研- -= 面k 阿- - 很明显，在碍口廊为负时，电磁波能量流方向，即波印廷矢量s 的方向， 是与波矢量k 的方向相反的，异向介质的命名便由此而来。同时，e ，h 与七同 时构成左手系( 1 e f t - h a n d e ds e t ) ，故异向介质亦被称为左手介质( 1 e f t h a n d e d m a t e r i a l ，或者l h m ) ，如图2 1 所示。 h( s o ， 0 的l h m 中，对应两个频率；= 1 0 5 g h z ， = 1 1 , 5 g h z 的介电常数分别是 s ( 2 刁) = 一2 ，s ( 2 矾) = 一1 5 ，而磁导率则同为一1 。当入射波为这两个频率的单 色平面波时，由于折射率的不同，折射波同样出现了干涉现象。此时，折射波的 能量是负折射的。而不是如v a l a n j u 等人认为的波的能量沿着干涉条纹的波前方 向传播的。 2 3 目前低维数异向介质人工材料的构成 到月前为止，人工异向介质还没有实现各向同性，或者同时在空间三维上面 实现负的介电常数和负的磁导率。现在绝大部分l h m 的实现都是基于j b p e n d r y 在1 9 9 6 年和1 9 9 9 年提出来的r o d 结构和s r r ( s p l i tr i n gr e s o n a t o r ) 结 构来分别实现负的介电常数和负的磁导率。本节将对此原理进行介绍，并进一步 介绍浙江大学异向介质组提出的多种整合设计结构。 2 3 1 负介电常数的形成机理 负介电常数并不是一个新的概念，早在等离子体被研究的时候，负介电常数 就已经被发现了。在金属中，同样存在着等离子频率的概念，即在该频率以下， 金属的介电常数是为负的，而这个就是导致金属内部没有电磁波传播的根本原 因。通常情况下。1 ，金属的等离子频率具有下面的表达式 ：l( 2 3 1 ) 岛 其中1 为金属内部电子的密度，e 为电子的电荷量，m e f f 为电子的有效静止质量 ( r e s tm a s s ) 。有上式给出的金属等离子频率会在e v 量级，即在1 0 “h z 左右的 量级上面。这个频率远远高于微波波段，已经达到了远红外甚至是可见光波段了。 j b p e n d r y 利用了金属线结构( r o d ) 将等离子频率从1 0 “h z 量级降到了1 0 9 h z 量级，其中他利用了两个重要的原理：1 ) 由于金属线结构并不是全空间充满了 金属，因此等效的电子密度会因此而降低；2 ) 由于金属线上的电流，金属线结 构会产生自感( s e l f - i n d u c t a n c e ) ，这一效应大大减弱了金属线内部电子的位移程 度，这也等效于增加了电子的静止质量。下面我们将通过推导来介绍这种低等离 子频率结构的工作原理。 浙江大学硕+ 学位论文 图2 4 产生低等离子频率的金属线结构。，”“ 考虑如图2 4 所示的结构，用半径为，的金属线构成周期为a 的方格子 ( 1 a t t i c e ) 。考虑单个轴向上的电子位移，那么每个周期内的等效电子密度将为 驴n 等 ( 2 3 国 很明显，当金属线半径，远小于周期a 的时候，电子的有效密度将远小于金属线 内部的电子密度。从( 2 3 一1 ) 可以看到，这个效应将降低等离子频率。 此外，由于电子流动所造成的电流，将在金属线周围激发起磁场，而该磁场 将造成金属线结构的自感。考虑电子以v 的速度在金属线内部流动，那么距离金 属线中心为r ( r r ) 的磁场强度为 - i f ( 月) = 妒 1 7 1 ：f 鬲2 7 l p e ( 2 3 3 ) 该磁场的方向为围绕金属线的方向，与电流j 的方向构成右手系。 由于磁场可以写为矢量势的形式，即 万( 月) ：上v j ( r )( 2 3 4 ) 胁 则 j ( r ) = 2 l o 瓦万r 2 n y el n ( 叫月) ( 2 弼 浙江大学硕士学位论文 可以看到该矢量势的方向是与电流7 的方向相反的。经典电动力学认为，矢量势 是对电子的动量具有e i 的贡献，则单位长度内金属线上的电子的动量为 刀2 e r a ( r ) = 0 2 f - 2 4 e 2 h 2 v1 n ( 妙) = 历2 刀v ( 2 3 6 ) 其中聊咿为磁场存在条件下等价的电子静止质量，其表达式为 p o 矿e 2 n i n ( a r ) 2 r e 将j 二式与( 2 3 2 ) 代入( 2 3 一1 ) 我们可以得到该结构的等离子频率，如下 = 筹= 堕a 2 l n ( a r )占o 聊甜 j b p e n d r y 给出了下面一个例子，他假定 r = 1 0 x 1 0 - 6 m d ：5 0 x 1 0 3 m 拧= 1 8 0 6 1 0 2 9 1 1 1 3 ( 铝) ( 2 3 8 ) ( 2 3 9 ) f 2 3 一l o ) ( 2 3 11 ) 得到： ：=24808x10-26keg：，口(23-12)27 2 3 3 1 0m1 48 3 m= 4 。= ， 。 ：z ( 8 2 g h z ) ?( 2 3 1 3 ) 可以看到，当用半径为1 直n 铝线构成边长为5 r a m 方格子，其电子的有效静止质 量为原电子静止质量高出了4 个数量级别，这样就使得结构的等离子频率下降了 4 个数量级别，再加上有效电子密度上面的数量级下降，最后得到的等离子频率 为1 0 9 h z 数量级，比原来的1 0 “h z 下降了6 个数量级。考虑金属的电导率仃，最 后得到该结构的有效介电常数表达式为 锄5 1 一雨i 孑w p 硐( 2 3 - 1 4 ) 用( 2 3 1 4 ) 可以预测出用金属细线构成的方格子结构的有效介电常数，并且 当选择合适的几何参数r 和a ，该结构能够产生在x 波段量级的等离子频率。 浙扛大学硕十学位论文 2 3 2 负磁导率的形成机理 1 9 9 9 年，j b p e n d r y 再次针对人工等离子体结构提出了能够产生磁等离子 频率的开环谐振器( s p l i tr i n gr e s o n a t o r ，或s r r ) 结构。3 。首先考虑如图2 5 的结构，当中为二维平面周期为日的金属圆柱环阵列，而圆柱的半径为r 。 ( e = c o l t h f 3 1 3 a ) 女日= 一棚s e r 3 1 3 b ) i ( 互万1 = o( 3 ”。) i f 面) = o( 3 ，1 _ 3 d ) 将( 3 1 3 b ) 改写成 ( i 万) = 一面( 3 1 4 ) 其中s 为s 的逆矩阵。用波矢量对上式两边同时进行叉乘并代入( 3 1 3 a ) ，得到 云 ；- ( i 万) = 一印一k 面= 一国2 翥，万 ( 3 1 s ) l 式为关于h 的线性方程组，可以表示为万三个分量的线性方程组，该方程组 具有三个线性方程。假设波矢量在工：平面，且磁场万亦只在x 。平面内，电场 只在j ，方向上，即为电场云垂直于入射平面的t e 波，我们可以进步将上式化 简为只有两个方程的线性方程组 f f x 2 - 。- s j ，一髟- 1 皿+ 也k 皿= o 1 t t 只+ ( ：段髟一碍) z ：o ( 3 1 - 6 ) 若上式有非零解，那么其行列式必为零，即 r 嫠砖卜 w ， 上式即为t e 波条件下各向异性异向介质的色散方程，亦可表示为更常见的形式 去+ 畚= m ， 瓦茏+ 赢划 ( 3 小8 ) 很明显地，当以与段的符号不同时，上式描述了一个双曲线型的色散特性，如 图3 1 所示的是当肛 0 以及f 。 遍而 缸 入 图3 1 主轴与界面垂直或平行时的一维异向介质色散关系( 实线双曲线) 及与真空色散关系 ( 虚线圆) 。当界面为z 轴方向时，波矢量所必须满足p h a s e m a t c h i n g ( 点直线) “5 。“” e i = y e x p i k 。r 一6 0 i 自，则我们可以进一步假设反射波和空气中的折射波具有下 面形式：e ，= 如e x p f 惦，r 一耐m ，e ，= 多t e x p i ( k - r ，一甜l ，其中r 和t 分别为 反射系数和透射系数。这时候从( 3 1 3 ) 的m a x w e l l 方程可以分别写出入射波、反 射波和折射波的磁场方程，并把电场方程一一同归纳如下： 面。= 多e x p i ( k r ；一耐1 】 砧章 去e 嘶，- 一计；怯叫瓦而) 】) 。1 。9 面，= 多r e x p i ( k r - i 一耐1 】 耻文等( o ue 删( “砷h 等唧陋【 ， 、 j【掣： 、 面r = j r e x p i ( k r ；一国f 1 】 砧景唧睢一一耐) ，卜t k “e x p 咂 一、1 ( 3 1 - 1 0 ) ，一耐j 】 一 、1 ( 3 1 - 1 1 ) r 一耐j 其中尼二+ = 后j ，产c ，。吒，吒必须满足( 3 1 8 ) 描述的色散关系，k 与k 亦 同。为了使入射波纵向能量是沿z 轴向上，反射波能量是沿z 轴向下，必须满足 屯 0 。而譬= 彩2 岛肺，岛和为真空的介电常数和磁导率。同2 2 节， 由于必须满足边界条件，则必须满足p h a s em a t c h i n g ，因此有k = k = k = k x ， 如图3 ，1 所示。则根据边界条件，我们可以得到胄和丁的表达式，如下 浙江大学硕士学位论文 r ：丝笠二丝笠 “o k j ：+ “。k f ： r ：丝整 矗。+ 杠孓e ： ( 3 ，1 1 2 ) 假定段= 一脶，以= 胁且s 。= 一氏，我们可以得到关丁二t 的r 的表达式如下 r = ( 3 i - 1 3 ) 对颤进行归一化，得到如图3 2 所示的变化曲线。出于界面另一边的介质为真空 故当切向波矢量大于真空的波矢量k ，平面波将被全反射。而当切向波矢量从0 到颤，r 的绝对值是从0 到1 单调增加的，这个与图1 2 ( b ) 对于从空气的入射情 况的结果是类似的。 k x7k 。 图3 2 反射系数的绝对值与切向波矢量的关系 f 面，我们在这个情况下面考虑在一维各向异性异向介质中平面波的能量传 播方向和波矢量方向的关系。以反射波为例，有 i ，：面，。两 = 文哒c o p , h 啦c o u lji ( 3 1 一1 4 ) 可以看到，若t n i e ，x 方向上的能流是沿着正方向的，z 方向的能流是沿着负 方向的，且能量方向跟x 轴正方向的夹角是 珐一1 ( 泞t a n 1 ( 警 h s ， 孵蒜 浙江大学硕士学位论文 若我们对( 3 1 - 8 ) 式求观戤，我们得到 d k d k k ：p 。 k ：越： 或者说，在t = k ，k ：= k 处，曲线的切线跟x 轴正方向的夹角足 ( 3 1 1 6 ) p = t a n - i 一篾j b ， 比较( 3 1 - 1 5 ) - 与( 3 1 1 7 ) ，我们可以很明显得到。一噍= 刀2 ，即能量转播方向垂直 于色散关系的切线( 波矢量面) “，这样能量和波矢量的方向关系不再是如各向 同性r h m 中的同方向，或者在各向同性l h m 中的反方向但仍然平行的情况了。 并且，从( 3 i 1 4 w r 以直接得到入射波的能量方向，即x 方向为正，z 方向亦为正