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管理决策分析 裴凤peifeng 合肥工业大学管理学院 2 有些决策问题 在评价某些指标时 往往很难用具体的数字来表示 例如 对服装的购买要求是 耐穿 颜色满意 式样美观 尺寸合身 价格适宜 在这五个指标中 颜色满意 式样美观的程度就很难用数字精确表示 人们往往只能用满意 美观 或不太满意 不太美观等一些含糊不清的概念 这类包含一些模糊概念在内的决策问题称为模糊决策 解决这一类问题 可以借助于模糊理论 3 第五章模糊决策 第二节模糊集合及其运算 第一节模糊数学的产生与发展 主要内容 第三节模糊聚类分析 第四节模糊综合评价法 4 经典集合论 集合论要求一个元素x是否属于集合A是明确的 即或 两者必居其一 且只居其一 十九世纪下半叶 康托尔创立了著名的集合论 数学家们发现 从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦 因而集合论成为现代数学的基石 一切数学成果可建立在集合论基础上 这一发现使数学家们为之陶醉 康托尔 1845 1918 集合 具有某种特定属性的对象的全体 第一节模糊数学的产生与发展 5 1903年 一个震惊数学界的消息传出 集合论是有漏洞的 这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论 罗素的这条悖论使集合理论产生了危机 它非常浅显易懂 而且所涉及的只是集合论中最基本的东西 所以 罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动 伯特兰 罗素 BertrandA W Russell 1872 1970 罗素悖论 罗素悖论 第一节模糊数学的产生与发展 6 在某个城市中有一位理发师 来找他刮脸的人络绎不绝 自然都是那些不给自己刮脸的人 可是 有一天 这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了 他本能地抓起了剃刀 你们看他能不能给他自己刮脸呢 广告本人的理发技艺十分高超 誉满全城 我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸 我也只给这些人刮脸 我对各位表示热诚欢迎 悖论1 第一节模糊数学的产生与发展 7 世界文学名著 唐 吉诃德 中有这样一个故事 唐 吉诃德的仆人桑乔 潘萨跑到一个小岛上 成了这个岛的国王 一天 有一个胆大包天的人来了 他照例被问了这个问题 而这个人的回答是 我到这里来是要被绞死的 请问桑乔 潘萨是让他在岛上玩 还是把他绞死呢 小岛的国王发现 他的法律无法执行 因为不管怎么执行 都使法律受到破坏 他思索再三 最后让卫兵把他放了 并且宣布这条法律作废 小岛法律 每一个到达这个岛的人都必须回答一个问题 你到这里来做什么 如果回答对了 就允许他在岛上游玩 而如果答错了 就要把他绞死 悖论2 第一节模糊数学的产生与发展 8 有一个古老的希腊悖论 是这样说的 一粒种子肯定不叫一堆 两粒也不是 三粒也不是 另一方面 所有的人都同意 一亿粒种子肯定叫一堆 那么 适当的界限在哪里 我们能不能说 123585粒种子不叫一堆而123586粒就构成一堆 确实 一粒 和 一堆 是有区别的两个概念 但是 它们的区别是逐渐的 而不是突变的 两者之间并不存在明确的界限 换句话说 一堆 这个概念带有某种程度的模糊性 秃头悖论 悖论3 第一节模糊数学的产生与发展 9 1965年美国著名控制论专家扎德 L A Zadeh 发表了 模糊集合 fuzzysets 论文 标志着模糊数学这门学科的诞生 扎德以精确数学集合论为基础 对数学的集合概念进行修改和推广 提出了 模糊集合 的数学模型 并在 模糊集合 上逐步建立运算 变换规律 开展有关的理论研究 这样使得构造出研究现实世界中的大量模糊现象的数学基础成为可能 能够对看来相当复杂的模糊系统进行定量的描述和处理 第一节模糊数学的产生与发展 10 为了提高计算机识别模糊现象的能力 就需要把模糊信息设计成机器能接受的指令和程序 以便机器能像人脑那样简洁灵活的做出相应的判断 从而提高自动识别和控制模糊现象的效率 需要一种数学工具 建立模糊数学模型 模糊数学 描述和加工模糊信息的数学工具 计算机速度快 准确率高 但是对模糊现象识别能力较差 人脑具有处理模糊信息的能力 善于判断和处理模糊现象 PK 模糊数学与信息革命 第一节模糊数学的产生与发展 11 经典集合论中 元素是否属于某集合能够清楚区分 如 某人是男还是女 某自然数是奇数还是偶数等等 在确定一个元素是否属于某集合时 只能有两种回答 是 或者 不是 我们可以用两个值0或1加以描述 属于集合用1表示 不属于集合用0表示 一 模糊现象与模糊集合 第二节模糊集合及其运算 对于普通集合A 元素x是否属于A可由特征函数来表明其隶属情况 12 然而 年老 高个子 年轻人 很大 聪明 漂亮的人 价廉物美 等情况要复杂得多 对这类事物不能简单地用0 1数字特征来刻画 一 模糊现象与模糊集合 假如规定身高1 8米是高个子范围 那么 1 79米的算不算 在描述模糊集合时 我们可以在普通集合的基础上 把特征函数的取值范围从集合 0 1 扩大到区间 0 1 这样就可以借助经典数学工具来描述模糊集合了 第二节模糊集合及其运算 13 一 模糊现象与模糊集合 模糊集合 FuzzySet 的定义所谓给定论域X上的一个模糊集合 是指存在一个映射使得对于任意的x X 都有一个数与之对应 模糊集合完全由其隶属函数所刻画模糊集合的特征值取值范围推广到 0 1 区间 特别地 当它的值只取 0 1 两个端点时 模糊集合便转化为普通集合 因此 普通集合是模糊集合的特殊情形 第二节模糊集合及其运算 14 模糊集合的表示 一 模糊现象与模糊集合 在有限论域的情况下 在无限论域的情况下 此时的不表示积分 而是表示各个元素及其隶属度的总括 Zadeh表示法 向量表示法 第二节模糊集合及其运算 15 例1设X 1 2 3 4 A 1 1 0 8 2 0 2 3 0 4 分母表示论域中的元素 分子表示相应元素的隶属度 隶属度为0的时候可以不写 例2模糊集 老年人 的隶属函数为 则 老年人 55 0 5 老年人 60 0 8 老年人 70 0 94 第二节模糊集合及其运算 16 二 模糊集合的运算 模糊集合的运算实质量上是对隶属度的计算 第二节模糊集合及其运算 17 二 模糊集合的运算 第二节模糊集合及其运算 18 二 模糊集合的运算 第二节模糊集合及其运算 19 二 模糊集合的运算 第二节模糊集合及其运算 20 举例 设文学爱好者和体育爱好者集合为A和B 对应隶属函数 A x 和 B x 则文体爱好者集合为C A B 隶属函数为 C x A x B x 若某人关于A B的隶属函数取值为0 3 0 6 则其关于C的隶属函数取值为0 3 0 6 0 6 又 设健康者和老年人集合为A和B 对应隶属函数 A x 和 B x 则健康的老年人集合为C A B 隶属函数为 C x A x B x 若某人关于A B的隶属函数取值为0 4 0 7 则其关于C的隶属函数取值为0 4 0 7 0 4 第二节模糊集合及其运算 21 1 模糊关系 例现有三个家庭 将其成员的单人照片放在一起 让一个不相识的人根据照片上的容貌来判断哪些人是一家人 分析 可以把照片两两比较 并用 0 1 中的一个数来表示他们的相像程度 这个数可称为相似系数 例如 第一张照片与第二张照片不太像 可用0 4表示 第一张与第三张比较像 可用0 8表示 第一张与第n张根本不像 可用0表示 于是得到一个n n的模糊关系矩阵 称其为模糊关系 一 模糊聚类分析基本原理 第三节模糊聚类分析 聚类分析 将研究对象按照一定的条件或属性进行分类 22 123456789 123 69 第三节模糊聚类分析 23 模糊相容关系 具有自返性和对称性的模糊关系 自返性 主对角线值为1 即rii 1 i 1 2 n 若已知甲乙一家 乙丙一家 则合理的推论是甲丙也是一家 要想由模糊关系得到此推论 还须具有传递性 模糊关系的性质 对称性 关于对角线对称处的值相等 即rij rji i j 1 2 n 模糊等价关系 具有自返性 对称性和传递性的模糊关系 第三节模糊聚类分析 24 设有两个模糊关系R和S 称R S为模糊关系的复合 即模糊矩阵的积 模糊关系的运算 第三节模糊聚类分析 25 可以证明 对于一个n n的模糊相容关系矩阵R 有Rn 1 Rn Rn 1 且Rn 1必具有自返性 对称性和传递性 即 对于一个n行n列的模糊相容关系矩阵R 最多经过n 1次复合 自乘 即可得到相应的模糊等价关系 为加快计算速度可采用平方法 褶积计算 即 R1 R2 R4 R8 2 求模糊等价关系 第三节模糊聚类分析 26 3 利用模糊等价关系聚类对模糊等价关系R 给定一个聚类 置信 水平 令rij 0 rij rij 1 rij 则各行各列中元素值为1的即为同类 调整 值 直至获得满意的分类为止 第三节模糊聚类分析 27 1 收集数据 进行标准化处理 2 选择一种表示样本相似度的计算公式 建立样本间的模糊相容矩阵 3 由模糊相容关系 得到模糊等价关系 4 给定聚类水平 对样本进行聚类 二 模糊聚类分析的步骤 第三节模糊聚类分析 28 1 数据的标准化处理 表1具有n个指标m个样本的数据表 数据表中的指标往往量纲不统一 且可能会出现有些是定量的 有些是定性的 有的取值很大 有的取值很小 所以在计算相似度之前 必须对样本数据进行处理 处理的办法是消除原指标的量纲 且压缩到 0 1 区间 常用公式为 第三节模糊聚类分析 29 收益型指标 成本型指标 样本第j项指标最大值 样本第j项指标最小值 其中 第三节模糊聚类分析 30 经过标准化处理以后 表1变为 其中的xij i 1 2 m j 1 2 n 都在区间 0 1 内 第三节模糊聚类分析 31 2 模糊相容矩阵的建立 只需计算出被分类对象间的相似度rij i j 1 2 m 便可得到模糊相容矩阵R rij m m 计算相似度rij的方法很多 有夹角余弦法 数量积法 相关系数法 算术平均最小法 几何平均最小法等 夹角余弦法 第三节模糊聚类分析 32 几何平均最小法 算术平均最小法 第三节模糊聚类分析 33 例国家为解决科研经费的分类管理问题 即哪些科研机构应由国家预算拨款 哪些实行差额预算 哪些应自负盈亏 哪些应向国家纳税等 需要将科研机构进行分类 经研究选择一组最简单的能在一定程度上描述科研机构经费管理特征的指标如下 三 模糊聚类分析应用举例 第三节模糊聚类分析 34 聚类指标 1 研究工作的性质 大致分为基础研究 应用研究和开发工作 在确定指标值时 按承担课题的性质 完全属于基础研究性质的取 0 分 完全属于开发性质的取 100 分 2 经济效益 用机构的年收益总额衡量 3 人员结构 分科研人员 工人 行政人员三类 量化时用工人和行政人员占总人数的比重来取值 如该科研机构总人数为500人 其中工人和行政人员为100人 则指标值为20 第三节模糊聚类分析 35 以上三个指标根据上述规定取值时 可使科研经费管理在特征上具有一致性 即指标取值越小 由国家拨款的必要性越大 反之则越小 为简化计算 今选定六个科研机构进行聚类 其原始数据如下表所示 第三节模糊聚类分析 36 利用公式 1 计算xij i 1 2 6 j 1 2 3 可得下表 例如 第一步 对数据进行标准化处理 第三节模糊聚类分析 37 使用夹角余弦法 公式3 计算相似度rij i j 1 2 6 例如 第二步 计算样本之间的相似度 建立模糊相容关系 第三节模糊聚类分析 38 10 740 780 8300 820 7410 990 980 670 98R 0 780 9910 990 620 990 830 980 9910 550 9900 670 620 5510 550 820 980 990 990 551 从而得到模糊相容关系 第三节模糊聚类分析 39 可见R4 R2 即R2为模糊等价关系 10 830 830 830 670 830 8310 990 990 670 99R2 RR 0 830 9910 990 670 990 830 990 9910 670 990 670 670 670 6710 670 830 990 990 990 671 10 830 830 830 670 830 8310 990 990 670 99R4 R2R2 0 830 9910 990 670 990 830 990 9910 670 990 670 670 670 6710 670 830 990 990 990 671 第三步 对上述模糊相容关系R进行复合 得出模糊等价关系 第三节模糊聚类分析 40 取 0 83 对样本聚类分析如下 111101111101R 111101111101000010111101 取 0 99 对样本聚类分析如下 此时样本被分为两类 即 1 2 3 4 6 和 5 第四步 给定聚类水平 对样本进行聚类 第三节模糊聚类分析 41 第五步 确定科研经费管理方法对样本5可以由国家全额给予预算拨款 对样本1可以实行差额预算拨款 对其它4个样本则可自负盈亏 100000011101R 011101011101000010011101 此时样本分成三类 即 1 2 3 4 6 5 第三节模糊聚类分析 42 1 确定评价项目集F f1 f2 fn 及其权重W w1 w2 wn 2 确定各评价项目的评语集E及其隶属度向量e e1 e2 em 3 作出项目fi符合评语ej的隶属度评价 得隶属度矩阵R rij n m 通常用专家法按下式求得 rij Nij N 式中rij为fi符合ej的隶属度 Nij为赞成fi符合ej评语的人数 N为总人数 4 计算方案的综合评定向量Sk WFRk 5 计算方案的综合评价值Nk SkET 根据Nk的大小得方案优先顺序的排列 也可对各方案确定最终评语 一 步骤 第四节模糊综合评价法 43 某省科委为确定同类科研课题A1 A5的优先顺序 请9名专家评价 经讨论确定F 必要性 技术先进性 实施可行性 经济合理性 社会效益 W 0 15 0 2 0 1 0 25 0 3 对每项指标均设有5个评语 如对必要性的评语为V 非常必要 很必要 必要 一般 不太必要 其它指标评语亦仿此设定 为进行比较 确定的隶属度向量为 E 0 9 0 7 0 5 0 3 0 1 二 应用举例 第四节模糊综合评价法 44 1 评价项目集为 F 必要性 技术先进性 实施可行性 经济合理性 社会效益 其权重为 WF 0 15 0 2 0 1 0 25 0 3 2 评语集分五个等级 如对必要性的评语为E 非常必要 很必要 必要 一般 不太必要 其隶属度向量为 E 0 9 0 7 0 5 0 3 0 1 第四节模糊综合评价法 45 设计一种表格 请专家按要求打钩 如对A1 经统计得Nij 在相应栏目打钩的人