第四全国大学生数学竞赛预赛（非数学类）试题评分标准.pdf

第四届全国大学生数学竞赛预赛试题 非数学类 参考答案及评分标准 一 本题共 5 小题 每小题各 6 分 共 30 分 解答下列各题 要求写出重要步骤 1 求极限 2 1 lim n n n 2 求通过直线 232 55430 xyz l xyz 0 的两个相互垂直的平面 1 和 2 使其中一个平面过点 4 3 1 3 已知函数 且 ax by zu x y e 2 0 u x y 确定常数a和 使函数满足方程 b zz x y 2 0 zzz z x yxy 4 设函数连续可微 且 uu x 2 1u 3 2 l xy udxxu udy 在右半平面上与路径无关 求 u x 5 求极限 1 3 sin lim cos x xx t xdt tt 解 1 因为 22 11 ln n nn ne 1 分 而 2 11 ln1ln2ln ln 12 n n nn n 且 ln lim0 n n n 3 分 所以 1 ln1ln2ln lim0 12 n n nn 即 2 1 limln 0 n n n 故 2 1 lim n n n 1 2 分 2 过直线 l 的平面束为 232 5543 xyzxyz0 即 25 5 34 23 xyz0 2 分 若平面 1 过点 4 代入得 3 1 0 即 从而 1 的方程为 2 分 3410 xyz 若平面束中的平面 2 与 1 垂直 则 3 25 4 5 1 34 0 解得3 从而平面 2 的方程为253xyz0 2 分 3 y ax by zu eau x xx ax by zu ebu xy yy 2 分 2 ax by zuu ebaabu x y x yxy 2 分 2z zz z x yxy 1 1 1 ax by uu ebaababu x y xy 若使 2 0 zzz z x yxy 只有 1 1 1 uu baababu x y xy 0 即 1ab 2 分 4 由 uyx y uxu x 2 3 得 uuux 4 3 即 2 4 1 ux udu dx 2 分 方程通解为 cuucuduucdueuex uu 2ln2ln 244 3 分 由得1 2 u0 c 故 3 1 2 x u 1 分 5 因为当x 1 时 1 3 sin cos x x t xdt tt 1 3 1 x x dt x t 3 分 3 3 212 1 x xxx xx 0 x 2 分 所以 1 3 sin lim cos x xx t xdt tt 0 1 分 二 本题 10 分 计算 dxxe x sin 0 2 解 由于 dxxe n x sin 0 2 dxxe n k k k x sin 1 1 2 3 分 xdxe n k k k xk sin 1 1 1 21 应用分部积分法 xdxe k k xk sin 1 1 21 1 5 1 22 ee k 2 分 所以 dxxe n x sin 0 2 2 1 22 2 1 22 1 1 5 1 1 5 1 e ee eee n n k k 2 分 当 1 nxn时 dxxe n x sin 0 2 dxxe x x sin 0 2 dxxe n x sin 1 0 2 令 由两边夹法则 得 n dxxe x sin 0 2 dxxe x x x sin lim 0 2 1 1 5 1 2 2 e e 3 分 注 注 如果最后不用夹逼法则 而用 2 22 2 00 11 sin lim sin 51 n xx n e ex dxex dx e 需先说明 收敛 dxxe x sin 0 2 三 本题 10 分 求方程 2 1 sin2501xx x 的近似解 精确到 0 001 解 由泰勒公式 2 sin sin 01 2 t ttt 1 0 500 x 111 501sin0 001 221000 x xx 3 3 0 lim sin x x f u f xu 其中 u 是曲线 yf x 上点处的切线在 p x f xx轴上的截距 解 曲线在点处的切线方程为 yf x p x f x yf xfxxx 令 则有0y f x xx fx 由此 f x ux fx 3 分 且有 000 0 0 limlimlim0 0 0 xxx f xf f xf x ux fxf fxf x 2 分 由 f x在处的二阶泰勒公式 0 x 222 0 0 0 0 22 ff 2 f xffxxxxx 2 分 得 22 000 0 2 lim1 lim1 lim xxx f xx uf x xxfxxfx 0 1 0 1 1 0 1lim1 0 22 x ff fxf f x 1 0 2 3 分 3 3 0 lim sin x x f u f xu 322 00 322 0 2 limlim2 0 2 xx f xuu x fu uxx 2 分 五 本题 12 分 求最小实数 使得满足c 1 0 1f xdx 的连续的函数 f x都有 1 0 fx dxc 解 由于 111 000 22 2 fxdxf ttdtf tdt 1 n 4 分 1 0 1 n nn fxnxfxdxfx dx 1 0 另一方面 取则 3 分 11 00 11 2 22 12 22 nn n fx dxtf t dtn nn 而 3 分 2 c 因此最小的实数 2 分 六 本题 12 分 设为连续函数 区域 xf0 t 是由抛物面和球面 所围起来的部分 定义三重积分 22 yxz 2222 tzyx 0 t dvzyxftf 222 求的导数 tf tf 解法 1 记 2 1 41 2 t gg t 则 在xy面上的投影为 22 xyg 2 分 在曲线上任取一点 则原点到的点的射线和轴的夹角 为 2222 22 tzyx zyx s zyxz arccosarccos t zg tt 取0 t 则 ttt 对于固定的 考虑积分差 这是一个在厚度为 0 t tfttf t 的球壳上的积分 原点到球壳边缘上的点的射线和 轴夹角在z tt 和 t 之间 我们使用球坐标变换来做这个积分 由积分的连续性可知 存在 t ttt 使得 4 分 tt t drrrfddtfttf sin 22 0 2 0 这样就有 而当 tt t drrrftfttf 22 cos12 0t coscos t g t t 1 2222 tftdrrrf t tt t 故的右导数为 tf 2222 21 2114 g t t f tttt f t t 4 分 当 考虑可以得到同样的左导数 因此 0 则 1 n n a 收敛 2 若 11 1 lim0 n n nnn a abb 则存在n 对于任意的时 nn 11 11 n nnn a abb 1 1 1 nn n nn aa a bb 1 1 1 1 nn n nn aa a bb 4 分 11 1 11 11 mm nnnmn n n nn n n