2019-2020版数学新学案北师大版选修2-2练习：第一章　推理与证明 1.4 含解析.docx

教学资料范本2019-2020版数学新学案北师大版选修2-2练习：第一章推理与证明 1.4 含解析编 辑：_时 间：_4数学归纳法课后训练案巩固提升A组1.如果f(n)=1+(nN+),那么f(n+1)-f(n)等于()A.B.C.D.解析:f(n+1)=1+,f(n)=1+,f(n+1)-f(n)=.答案:D2.观察下列式子:1+,1+,1+,则可归纳出1+小于()A.B.C.D.解析:所猜测的分式的分母为n+1,而分子3,5,7,恰好是第(n+1)个正奇数,即2n+1.答案:C3.设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足“当f(k)k2成立时总可推出f(k+1)(k+1)2成立.”则下列命题总成立的是()A.若f(3)9成立,则当k1时,均有f(k)k2成立B.若f(5)25成立,则当k5时,均有f(k)k2成立C.若f(7)49成立,则当k8时,均有f(k)k2成立D.若f(4)=25成立,则当k4时,均有f(k)k2成立解析:由数学归纳法原理可得,若f(3)9成立,则当k3时,均有f(k)k2成立,即A不正确.若f(5)25成立,则当k5时,均有f(k)k2成立,即B不正确.若f(7)49成立,则当k6时,均有f(k)42成立,则当k4时,均有f(k)k2成立.答案:D4.已知n为正偶数,用数学归纳法证明1-+=2时,若已假设n=k(k2,k为偶数)时命题成立,则还需要用归纳假设证()A.n=k+1时等式成立B.n=k+2时等式成立C.n=2k+2时等式成立D.n=2(k+2)时等式成立解析:根据数学归纳法的步骤,若已假设n=k(k2,k为偶数)时命题成立,则还需要用归纳假设证下一个偶数,即n=k+2时等式成立.答案:B5.用数学归纳法证明关于n的不等式+(nN+),由n=k递推到n=k+1时,不等式的左边的变化为.解析:假设n=k时,不等式成立,即+,则当n=k+1时,不等式左边=+=+=+=+.答案:增加6.用数学归纳法证明12+22+32+n2=(nN+).证明(1)当n=1时,左边=12=1,右边=1,等式成立.(2)假设当n=k(k1,kN+)时等式成立,即12+22+k2=,则当n=k+1时,12+22+k2+(k+1)2=+(k+1)2=,即当n=k+1时等式也成立.由(1)和(2),可知等式对任何nN+都成立.7.已知正数数列an(nN+)的前n项和为Sn,且2Sn=an+,请用数学归纳法证明an=.证明(1)当n=1时,a1=S1=,=1(an0).a1=1.又=1,当n=1时,结论成立.(2)假设当n=k(k1,kN+)时,结论成立,即ak=,则当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=.+2ak+1-1=0,解得ak+1=(an0).当n=k+1时,结论成立.由(1)和(2),可知对nN+都有an=.8.用数学归纳法证明:当nN+时,1+22+33+nn(n+1)n.证明(1)当n=1时,左边=1,右边=2,12,不等式成立.(2)假设当n=k(k1,kN+)时不等式成立,即1+22+33+kk(k+1)k.则当n=k+1时,1+22+33+kk+(k+1)k+1(k+1)k+(k+1)k+1=(k+1)k(k+2)0,且b1,b,r均为常数)的图像上.(1)求r的值.(2)当b=2时,记bn=2(log2an+1)(nN+),证明:对任意的nN+,不等式成立.解(1)由题意知,Sn=bn+r,当n2时,Sn-1=bn-1+r,所以an=Sn-Sn-1=bn-1(b-1).因为b0,且b1,所以当n2时数列an是以b为公比的等比数列,又a1=b+r,a2=b(b-1),=b,所以=b,可得r=-1.(2)由(1)知an=2n-1,因此bn=2n(nN+).所证不等式应为.当n=1时,左边=,右边=,左边右边,所以结论成立.假设当n=k(k1,kN+)时结论成立,即,则当n=k+1时,=,所以当n=k+1时结论成立.由和,可知不等式对任意nN+均成立.5.是否存在常数a,b,c使等式122+232+342+n(n+1)2=(an2+bn+c)对于一切正整数n都成立?并说明你的结论.解假设存在常数a,b,c,使等式对于一切正整数n成立,令n=1,2,3得整理得解得令Sn=122+232+342+n(n+1)2.于是对于n=1,2,3,等式Sn=(3n2+11n+10)成立.用数学归纳法证明等式对于一切nN+都成立,过程如下:当n=1时,已得等式成立.假设n=k(k1,kN+)时,等式成立,即Sk=(3k2+11k+10),则n=k+1时,Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=(3k2+11k+10)+(k+1)(k+2)2=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2=