2019-2020学年县第一中学高二上学期期中考试数学试题—附答案

2019-2020学年县第一中学高二上学期期中考试数学试卷时量：120分钟 总分：150分一选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1.为了了解某地区参加数学竞赛的名学生的成绩，计划采用系统抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，则每个学生被抽到的概率为 （ ）A. B. C. D. 2.在中，“是直角三角形”是“”的 （ ）A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花 加工零件数(个)1020304050加工时间(分钟)6469758290费的时间,为此进行了5次试验,收集数据如右.经 检验,这组样本数据具有线性相关关系,那么对于加工零件的个数与加工时间这两个变量,下列判断正确的是 ( ) A. 成正相关,其回归直线经过点(30,75) B. 成正相关,其回归直线经过点(30,76)C. 成负相关,其回归直线经过点(30,76) D. 成负相关,其回归直线经过点(30,75)4.采用系统抽样方法从人中抽取人做问卷调查，为此将他们随机编号 ，抽到的人中，编号落入区间的人做问卷，落入区间的做问卷，其余的人做问卷，则抽到的人中，做问卷的人数为 （ ）A. B. C. D. 5. 下列命题错误的是 ( )A对于命题 ：，使得，则为，均有B“”是“”的充分不必要条件C若是假命题，则均为假命题D命题“若则”是正确的 6.已知中心在原点的双曲线的右焦点为，离心率等于，则的方程为 （ ）A. B. C. D. 7. 已知平面的一个法向量是，点在内，则到 的距离是 （ ）A、 B、8 C、3 D、108. 如图所示,在平行六面体中, 为与的交点.若,则下列向量中与相等的向量是 ( )A. B. C D. 9. 已知点,抛物线的焦点为,射线与抛物线相交于点,与其准线相交于点,则等于 ( )A. B. C. D. 10. 已知椭圆的右焦点为,过点的直线交于 两点，若的中点坐标为，则的方程为 （ ）A. B. C. D. 11. 一张储蓄卡的密码共有位数字，每位数字都可以从中任选一个.某人在银行自助提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果他记得密码的最后一位是偶数，则他不超过次就按对的概率是 （ ）A. B. C. D. 12. 过抛物线上一定点，作两条直线分别交抛物线于当与的斜率存在且倾斜角互补时，的值为 （ ） A. B. C. D.无法确定 二填空题( 本大题共4小题，每小题5分，共20分. 将答案填入答卷指定位置.)13. 如图是从参加数学知识竞赛的学生中抽出名，将其 成绩整理后画出的频率分布直方图，则这些同学成绩 的众数是. 14. 在长为的绳子上剪一刀，两段长度都不小于1 的概率为 .15.如图所示,二面角为, 是棱上的点, 分别在半平面内, ， 且 则的长为 .16. 已知线段为双曲线的实轴,点在双曲线上,且,若,则双曲线的离心率是 .三解答题（本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分10分）已知命题使得,命题方程表示双曲线.()写出命题的否定形式;()若命题为假,命题为真,求实数的取值范围.18.（本小题满分12分）如图，三棱柱中，侧 棱底面，且各棱长均相等，分别为 棱的中点.(1)证明平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值. 19.（本小题满分12分）某产品的三个质量指标分别为，用综合指标 评价该产品的等级.若，则该产品为一等品.现从一批该产品中，随机抽取件产品作为样本，其质量指标列表如下：产品编号质量指标产品编号质量指标(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；(2)在该样本的一等品中，随机抽取件产品，用产品编号列出所有可能的结果；设事件为“在取出的件产品中，每件产品的综合指标都等于”，求事件发生的概率.20.（本小题满分12分）已知椭圆经过点，离心率为，左、右焦点分别为. 求椭圆的方程；若直线与椭圆交于两点，与以为直径的圆交于两点，且满足，求直线的方程.21.（本小题满分12分）如图所示,四棱锥的底面为等腰梯形, ,对角线与交于点,底面.()求证:;()若四棱锥的体积,求二面角的平面角的正弦值. 22.（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为，为抛物线上异于原点的任意一点，过点的直线交抛物线于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为时，为正三角形.（1）求抛物线的方程；（2）若直线，且和抛物线有且只有一个公共点，（i）证明：直线过定点，并求出定点坐标；（ii）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由.参考答案时量：120分钟 总分：150分 命题人：一选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1. 为了了解某地区参加数学竞赛的名学生的成绩，计划采用系统抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，则每个学生被抽到的概率为 （ A ）A. B. C. D. 2.在中， “是直角三角形”是“”的 （ B ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件加工零件数 (个)1020304050加工时间 (分钟)64697582903.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了5次试验,收集数据如右.经检验,这组样本数据具有线性相关关系,那么对于加工零件的个数与加工时间这两个变量,下列判断正确的是 ( B ) A. 成正相关,其回归直线经过点(30,75) B. 成正相关,其回归直线经过点(30,76)C. 成负相关,其回归直线经过点(30,76) D. 成负相关,其回归直线经过点(30,75)4. 采用系统抽样方法从人中抽取人做问卷调查，为此将他们随机编号为，抽到的人中，编号落入区间的 人做问卷，落入区间的做问卷，其余的人做问卷，则抽到的人中，做问卷的人数为 （ C ）A. B. C. D. 5. 下列命题错误的是 ( D )A对于命题 ：，使得，则为，均有B“”是“”的充分不必要条件C若是假命题，则均为假命题D命题“若则”是正确的 6.已知中心在原点的双曲线的右焦点为，离心率等于，则的方程（ B ）A. B. C. D. 7. 已知平面的一个法向量是，点在内，则到的距离是 （ A ）A、 C、3 B、8 A、108. 如图所示,在平行六面体中, 为与的交点.若,则下列向量中与相等的向量是 ( A )A. B. C D. 9. 已知点,抛物线的焦点为,射线与抛物线相交于点,与其准线相交于点,则等于 ( C )A. B. C. D. 10. 已知椭圆的右焦点为,过点的直线交于两点，若的中点坐标为，则的方程为 （ D ）A. B. C. D. 11. 一张储蓄卡的密码共有位数字，每位数字都可以从中任选一个.某人在银行自助提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果他记得密码的最后一位是偶数，则他不超过次就按对的概率是 （ C ）A. B. C. D. 12. 过抛物线上一定点，作两条直线分别交抛物线于当与的斜率存在且倾斜角互补时，则的值为 （ B ）A. B. C. D.无法确定二填空题( 本大题共4小题，每小题5分，共20分. 将答案填入答卷指定位置.)13. 如图是从参加低碳生活知识竞赛的学生中抽出名，将其成绩整理后画出的频率分布直方图，则这些同学成绩的众数是.14.在长为的绳子上剪一刀，两段长度都不小于1的概率为 0.6 .15.如图所示,二面角为, 是棱上的点, 分别在半平面内, ， 且则的长为 . 16. 已知线段为双曲线的实轴,点在双曲线上,且,若,则双曲线的离心率是 . 三解答题（本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分10分）已知命题使得,命题方程表示双曲线.()写出命题的否定形式;()若命题为假,命题为真,求实数的取值范围.【解】()命题的否定形式:,都有.5分()由为假,即为真,所以,即; 又命题为真,则有,即或; 所以假、真时,即求.10分18.（本小题满分12分）如图，三棱柱中，侧棱底面，且各棱长均相等，分别为棱的中点.(1)证明平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.解析：（1）连接,易知且，所以是平行四边形，所以，又在平面外，所以平面； 6分（2） 12分19.（本小题满分12分）某产品的三个质量指标分别为，用综合指标评价该产品的等级.若，则该产品为一等品.现从一批该产品中，随机抽取件产品作为样本，其质量指标列表如下：产品编号质量指标产品编号质量指标利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；在该样本的一等品中，随机抽取件产品，用产品编号列出所有可能的结果；设事件为“在取出的件产品中，每件产品的综合指标都等于”，求事件发生的概率.解析：（1） 5分 （2）该样本中一等品中，随机抽取件产品的所以可能结果为 8分这批样品中综合指标为有，则事件发生的可能结果为共种， 12分20.（本小题满分12分）已知椭圆经过点，离心率为，左、右焦点分别为. 求椭圆的方程；若直线与椭圆交于两点，与以为直径的圆交于两点，且满足，求直线的方程.解答：（1）根据题意， 1分 又离心率，所以3分所以椭圆的方程为 5分（2）设，联立直线与椭圆的方程可得， 6分因此， 7分根据垂径定理，可得，8分由已知，可得10分解得，因此直线的方程为12分21.（本小题满分12分）如图所示,四棱锥的底面为等腰梯形, ,对角线与交于点,底面.()求证:;()若四棱锥的体积,求二面角的平面角的正弦值.【解】()证明 在等腰梯形中,知, 又,所以,故, 即,又底面,得, 且,所以面,即.5分BCOSAHDxyz()由, 于是,得.法一 由两两垂直,故以为原点, 分别以为轴建系如图; 则, , 设平面的法向量为,则由 得,令,得,即 同理可得平面的一个法向量为,设二面角的平面角为, 则,又,故.12分BCOSAHDxyz法二 过点作于点,连接,则 由知面, 所以(三垂线定理) 所以为二面角的平面角. 由等面积知,故,由余弦定理有,即,即求.22.（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为，为抛物线上异于原点的任意一点，过点的直线交抛物线于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为时，为正三角形.（1）求抛物线的方程；（2）若直线，且和抛物线有且只有一个公共点，（i）证明：直线过定点，并求出定点坐标；（ii）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由.解析：(1)由题意知当点的横坐标为时，不妨设设，则点的纵坐标为 2分因此， （舍去） 所以抛物线的方程为 4分(2)证明