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第十九章含参量积分 1含参量正常积分 2含参量反常积分 3欧拉积分 1 上的连续函数 确定了一个定义在 a b 上的函数 x称为参变量 上式称为含参变量的积分 1含参量正常积分 2 一般地 设f x y 为区域 上的二元函数 c x d x 在 a b 连续 定义 含参量的积分 下面讨论含参量积分的连续性 可微性和可积性 3 在 a b 上连续 连续性定理 4 只要 就有 5 则含参变量的积分 6 即在定理的条件下 极限运算与积分运算的顺序 是可交换的 或说可在积分号下取极限 上连续 则 在 a b 上连续 7 定理19 2 连续性 如果函数在区域 上连续 又函数与在区间上连续 则函数 在 a b 上连续 于是 从而 8 因为 在矩形 a b 0 1 上连续 由定理19 1得 在 a b 上连续 9 都在 可微性定理 10 分析 要证 对任意的 证 11 所以 因此 从而一致连续 即 12 因此 故I x 在x可导 且 由x的任意性 及定理19 1知I x 在 a b 有连续的导函数 在定理的条件下 求导和求积分可交换次序 也说可在积分号下求导数 13 定理19 4 可微性 如果函数 在 a b 上可微 且 14 证 把F x 看作复合函数 由复合函数求导法则及变上限定积分的求导法则 有 16 定理19 5 可积性 在 a b 上可积 上连续 则函数 在 c d 上可积 可积性定理 17 记 统称为累次积分或二次积分 问 累次积分与积分顺序有关吗 即是否有 18 其中 19 于是 即得 20 取u b 就得 21 22 例2 显然 于是由定理19 3 23 故 因此得 24 例3 验证当 x 充分小时 函数 的n阶导数存在 且 证 令 25 即 同理 当x 0时 有 26 例4 27 例5 解 28 内容小结 在 a b 上连续 可积 在 c d 上
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