2018学年浙江省杭州市西湖区学军中学高三（上）期中数学试卷（含解析）

2017-2018学年浙江省杭州市西湖区学军中学高三（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1（4分）已知集合，则ABCD2（4分）定义在上的奇函数满足：当时，则在上方程的实根个数为A1B2C3D43（4分）已知函数在，（1）处切线的倾斜角为，则ABCD4（4分）为了得到函数的图象，可将函数的图象上所有的点的A纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度B纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度C横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度D横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度5（4分）在中，已知，且最大边的长为，则的最小边为A1BCD36（4分）对于函数，下列说法正确的是A是奇函数且在内递减B是奇函数且在内递增C是偶函数且在内递减D是偶函数且在内递增7（4分）设函数的定义域是时，的取值范围为集合；它的值域是时，的取值范围为集合，则下列的表达式中正确的是ABCD8（4分）函数满足对任意都有成立，且函数的图象关于点对称，（1），则A12B8C4D09（4分）已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是ABCD10（4分）已知函数，其中表示不超过的最大整数，设，定义函数，则下列说法正确的有个的定义域为；设，1，则；若集合，则中至少含有8个元素A1B2C3D4二、填空题（本大题共7小题，共36分）11（6分）若，则 ， （用，表示）12（6分）一半径为的扇形，若它的周长对于所在圆的周长，那么扇形的圆心角是 弧度，面积为 13（6分）函数的值域为 ，最小正周期为 14（6分）已知函数，若函数的一个单调递增区间为，则实数的值为 ，若函数在内单调递增，则实数的取值范围是 15（4分）为使方程在，内有解，则的取值范围是 16（4分）已知，其中，则 17（4分）已知函数在，上存在零点，且对任意的，则的取值范围为三、解答题（本大题共5小题，共74分）18（14分）已知函数（1）若函数在，上单调递增，求的取值范围；（2）若，求19（15分）在中，角，对应的边分别是，已知，（1）若，求的面积；（2）若，求的值20（15分）设函数，证明：（1）；（2）21（15分）已知函数（）若函数为偶函数，求的值；（）若，求函数的单调递增区间；（）当时，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围22（15分）设函数，（1）当时，求函数的单调区间；（2）设，是函数图象上任意不同两点，线段中点为，直线的斜率为证明：（3）设，对任意，都有，求实数的取值范围2017-2018学年浙江省杭州市西湖区学军中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1（4分）已知集合，则ABCD【考点】：交集及其运算【专题】11：计算题；37：集合思想；：定义法；：集合【分析】分别求出集合，由此能求出【解答】解：集合，故选：【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用2（4分）定义在上的奇函数满足：当时，则在上方程的实根个数为A1B2C3D4【考点】：函数奇偶性的性质与判断；53：函数的零点与方程根的关系【专题】11：计算题【分析】根据是上的奇函数，则，当时，函数，的图象有一个交点，知有唯一实数根，由奇函数的性质知，当时，也有唯一一个根使得，从而得到结论【解答】解：当时，令得，即，在同一坐标系下分别画出函数，的图象，如右图，可知两个图象只有一个交点，即方程只有一个实根，是定义在上的奇函数，当时，方程也有一个实根，又，方程的实根的个数为3故选：【点评】本题本题主要考查了奇函数图象的性质应用，即根据题意画出一部分函数的图象，由交点的个数求出对应方程根的个数，利用图象的对称性和“”求出方程根的个数，易漏，属于中档题3（4分）已知函数在，（1）处切线的倾斜角为，则ABCD【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】33：函数思想；：转化法；52：导数的概念及应用【分析】求出函数的导数，得到，求出的值，从而求出代数式的值即可【解答】解：，（1），故，即，而，由解得：，故，故选：【点评】本题考查了导数的应用以及三角函数的值问题，是一道中档题4（4分）为了得到函数的图象，可将函数的图象上所有的点的A纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度B纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度C横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度D横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度【考点】：函数的图象与图象的变换【专题】16：压轴题；51：函数的性质及应用【分析】把给出的函数变形为，从而看到函数自变量和函数值的变化【解答】解：函数，所以要得到函数的图象，可将函数的图象上所有的点的纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度故选：【点评】本题考查了函数的图象与图象变化，解答此类问题的关键是看自变量发生了什么变化，然后再根据“左加右减”的原则，是易错题5（4分）在中，已知，且最大边的长为，则的最小边为A1BCD3【考点】：两角和与差的三角函数；：正弦定理【专题】35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值【分析】由条件求得，可得，故为最小的边，再利用正弦定理求得的值【解答】解：中，已知，再根据，再根据，求得，且最大边的长为，则的最小边为，再利用正弦定理可得，即，求得，故选：【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式，两角和的正切公式，正弦定理的应用，属于中档题6（4分）对于函数，下列说法正确的是A是奇函数且在内递减B是奇函数且在内递增C是偶函数且在内递减D是偶函数且在内递增【考点】：函数奇偶性的性质与判断【专题】33：函数思想；：定义法；51：函数的性质及应用【分析】化简函数，运用奇偶性的定义，即可判断为奇函数；求得的导数，判断符号，即可得到单调性【解答】解：函数，显然定义域为，可得为奇函数，当时，可得，即有，可得在，递减；由奇函数的性质可得在，递减；即有奇函数在，递减故选：【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意运用定义法和导数，考查运算能力，属于中档题7（4分）设函数的定义域是时，的取值范围为集合；它的值域是时，的取值范围为集合，则下列的表达式中正确的是ABCD【考点】：对数函数的定义；73：一元二次不等式及其应用【专题】51：函数的性质及应用【分析】由函数的恒成立问题求得，根据函数的值域为求得，即可判断、间的关系【解答】解：由函数的定义域是，可得恒成立，且，求得 且，故，当函数的值域为时，再结合且，求得，故，故有，故选：【点评】本题主要考查二次函数的性质，函数的恒成立问题，对数函数的定义域和值域，两个集合间的关系，属于基础题8（4分）函数满足对任意都有成立，且函数的图象关于点对称，（1），则A12B8C4D0【考点】：函数的值【专题】11：计算题；33：函数思想；：定义法；51：函数的性质及应用【分析】由函数满足对任意都有成立，知函数的周期为4，由函数的图象关于点对称，知函数是奇函数，由此得到（1）（1），从而能求出结果【解答】解：函数满足对任意都有成立，函数的周期为4，函数的图象关于点对称，函数的图象关于点对称，即函数是奇函数，（1），（1）（2）（3）（1）（1）（1）故选：【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用9（4分）已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是ABCD【考点】53：函数的零点与方程根的关系【专题】31：数形结合；44：数形结合法；51：函数的性质及应用【分析】作出的函数图象，根据图象得出，再利用函数单调性求出范围【解答】解：作出的函数图象如图所示：由图象可知，即，设，则为增函数，故选：【点评】本题考查了方程解与函数图象的关系，属于中档题10（4分）已知函数，其中表示不超过的最大整数，设，定义函数，则下列说法正确的有个的定义域为；设，1，则；若集合，则中至少含有8个元素A1B2C3D4【考点】：函数的最值及其几何意义【专题】23：新定义；：转化法；51：函数的性质及应用【分析】根据对分区间讨论求解；逐个代入求值判断即可；通过为，即，根据周期求解即可；根据前三问结果判断得出结果【解答】解：，当时，所以；当时，成立，所以；当时，成立，所以；因此定义域为，；（1），（2）；，（2），（1），；（2），（1），因此；因为，即，因此，；那么：；由上可知0，1，2，为中元素，又，所以中至少含有8个元素综上共有3个正确说法，故选：【点评】本题是对新定义类型函数的考查，难点是对新定义的正确理解和应用二、填空题（本大题共7小题，共36分）11（6分）若，则1， （用，表示）【考点】：对数的运算性质【专题】34：方程思想；：转化法；51：函数的性质及应用【分析】，可得，代入即可得出由于，代入即可得出【解答】解：，则，故答案为：1，【点评】本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题12（6分）一半径为的扇形，若它的周长对于所在圆的周长，那么扇形的圆心角是弧度，面积为 【考点】：扇形面积公式【专题】34：方程思想；48：分析法；56：三角函数的求值【分析】设扇形的周长为，扇形的圆心角是，面积为，运用扇形的弧长公式和面积公式，计算即可得到所求值【解答】解：一半径为的扇形，若它的周长对于所在圆的周长，设扇形的周长为，扇形的圆心角是，面积为，则，则，故答案为：，【点评】本题考查扇形的周长和圆的弧长公式、以及扇形的面积公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题13（6分）函数的值域为，最小正周期为 【考点】：三角函数的周期性【专题】35：转化思想；5：高考数学专题；57：三角函数的图象与性质【分析】首先对函数的关系式进行恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值域和最小正周期【解答】解：，所以函数的值域为：，函数的最小正周期为故答案为：； 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用14（6分）已知函数，若函数的一个单调递增区间为，则实数的值为3，若函数在内单调递增，则实数的取值范围是 【考点】：利用导数研究函数的单调性【专题】11：计算题；33：函数思想；：转化法；53：导数的综合应用【分析】先求导，再求出函数的单调增区间，即可求出的，根据函数在内单调递增，可得，在恒成立，求出的范围即可【解答】解：，（1）当时，恒成立，故在上单调递增，当时，令，解得或，当时，解得或，函数单调递增，函数的一个单调递增区间为，解得，（2）函数在内单调递增，在恒成立，在恒成立，故答案为：3，【点评】本题考查了导数和函数的单调性的关系，以及函数恒成立的问题，属于中档题15（4分）为使方程在，内有解，则的取值范围是【考点】：一元二次方程的根的分布与系数的关系；：同角三角函数间的基本关系【专题】11：计算题【分析】由题意可得方程 在，上有解，函数 的对称轴为，故有，解此不等式组求得的取值范围【解答】解：方程即由于，故方程 在，上有解又方程 对应的二次函数 的对称轴为，故有，即解得故答案为：【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，一元二次方程的根的分布与系数的关系，体现了转化的数学思想16（4分）已知，其中，则【考点】：三角函数的恒等变换及化简求值；：三角函数中的恒等变换应用【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；56：三角函数的求值【分析】利用已知条件求出、的三角函数值，利用二倍角公式化简所求的表达式，利用两角和与差的余弦函数求解即可【解答】解：，其中，可得，是的解，又，可得，或，当，当，综上故答案为：【点评】本题考查三角函数的恒等变换的应用，两角和与差的三角函数，同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力17（4分）已知函数在，上存在零点，且对任意的，则的取值范围为，【考点】：二次函数的性质与图象【专题】33：函数思想；：转化法；51：函数的性质及应用【分析】设，是方程的解，且，运用韦达定理和已知条件，得到的不等式，得到即的范围，由分式函数的值域，即可得到所求的范围【解答】解：设的根是，且，则，则，由，得：，故，故，而，故，故答案为：，【点评】本题考查二次方程和函数的零点的关系，以及韦达定理的运用，考查不等式的性质和分式函数的最值的求法，属于中档题三、解答题（本大题共5小题，共74分）18（14分）已知函数（1）若函数在，上单调递增，求的取值范围；（2）若，求【考点】：三角函数中的恒等变换应用；：正弦函数的图象【专题】35：转化思想；：转化法；57：三角函数的图象与性质【分析】（1）根据函数利用和与差，二倍角辅助角化简，在，上单调递增，求的取值范围；（2）由，带入求解，根据三角函数恒等式的关系，即可求解【解答】解：（1）函数函数在，上单调递增，则，解得：的取值范围为，；（2）由，可得那么：，当时由当时由【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键19（15分）在中，角，对应的边分别是，已知，（1）若，求的面积；（2）若，求的值【考点】：三角形中的几何计算【专题】32：分类讨论；35：转化思想；56：三角函数的求值；58：解三角形【分析】（1）直接利用同角三角函数的关系式和正弦定理求出三角形的面积（2）利用向量的数量积及余弦定理建立方程组，进一步求出结果【解答】解：（1）在中，角，对应的边分别是，已知，利用正弦定理：，解得：由于：，则：，当时，则：，当时，由于：，则：故不满足题意舍去所以：（2）由于：，则：，即：，利用余弦定理得：，整理得：，即：，由于：，整理得：，由得：，解得：故：，故【点评】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用，三角形面积公式的应用20（15分）设函数，证明：（1）；（2）【考点】：函数的最值及其几何意义【专题】35：转化思想；：构造法；53：导数的综合应用【分析】（1）；转化为即可证明（2）根据，那么可得求解函数在，的最值范围即可证明【解答】证明：（1）由；可得可得函数在，上，当取得最大值为即令则，在，恒大于0，在，单调递增，成立；（2）由由，那么：令，根据函数的解析式，可知，上为递增函数可得：，则【点评】本题主要考查了函数的单调性和最值，推理与论证，分析问题与解决问题的能力属于难题21（15分）已知函数（）若函数为偶函数，求的值；（）若，求函数的单调递增区间；（）当时，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围【考点】：函数恒成立问题【专题】51：函数的性质及应用【分析】（）因为函数为偶函数，所以可由定义得恒成立，然后化简可得；也可取特殊值令，得（1），化简即可，但必须检验（）分，将绝对值去掉，注意结合图象的对称轴和区间的关系，写出单调增区间，注意之间用“和”（）先整理的表达式，有绝对值的放到左边，然后分讨论，首先去掉绝对值，然后整理成关于的一元二次不等式恒成立的问题，利用函数的单调性求出最值，从而求出的范围，最后求它们的交集【解答】解：（）解法一：因为函数又函数为偶函数，所以任取，则恒成立，即恒成立（3分）所以恒成立，两边平方得：所以，因为为任意实数，所以（5分） 解法二（特殊值法）：因为函数为偶函数，所以（1），得，得：所以，故有，即为偶函数（5分）（）若，则（8分）由函数的图象并结合抛物线的对称轴可知，函数的单调递增区间为，和（10分）（）不等式化为，即：对任意的，恒成立因为当时，不等式化为，即对任意的，恒成立，函数在区间，上单调递增，解得，（12分）时，不等式化为，即对任意的，恒成立，由中知：函数在区间，上单调递减，即，解得或结合的结论可得（14