2018学年云南师大附中高三（上）月考数学试卷（理科）（1）（含解析）

2017-2018学年云南师大附中高三（上）月考数学试卷（理科）（1）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合，集合，则ABCD2（5分）已知复数，则A2B1C0D3（5分）已知平面向量的夹角为，则A2B3C4D4（5分）将函数的图象向左平移个单位，所得的图象所对应的函数解析式是ABCD5（5分）等差数列的前项和为，且，则A8B9C10D116（5分）已知点在不等式组，表示的平面区域上运动，则的最大值是A4B3C2D17（5分）从某社区随机选取5名女士，其身高和体重的数据如表所示：身高155160165170175体重5052555862根据上表可得回归直线方程，据此得出的值为A43.6BC33.6D8（5分）若直线始终平分圆的周长，则的最小值为ABCD9（5分）函数的零点个数是A2B3C4D510（5分）已知，分别是的三条边及相对三个角，满足，则的形状是A等腰三角形B等边三角形C直角三角形D等腰直角三角形11（5分）已知正三棱锥及其正视图如图所示，则其外接球的半径为ABCD12（5分）定义在上的偶函数，当时，且在上恒成立，则关于的方程的根的个数叙述正确的是A有两个B有一个C没有D上述情况都有可能二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）展开式中常数项是 14（5分）执行如图所示的程序框图后，输出的结果是 （结果用分数表示）15（5分）已知双曲线的右焦点为，过作轴的垂线，与双曲线在第一象限内的交点为，与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，满足，则双曲线离心率的值是 16（5分）设是的三边垂直平分线的交点，是的三边中线的交点，分别为角，的对应的边，已知，则的取值范围是 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12分）已知数列满足，（1）求证：数列是等比数列；（2）若满足，求数列的前项和18（12分）某班级体育课举行了一次“投篮比赛”活动，为了了解本次投篮比赛学生总体情况，从中抽取了甲乙两个小组样本分数的茎叶图如图所示（1）分别求出甲乙两个小组成绩的平均数与方差，并判断哪一个小组的成绩更稳定：（2）从甲组成绩不低于60分的同学中，任意抽取3名同学，设表示所抽取的3名同学中得分在，的学生个数，求的分布列及其数学期望19（12分）如图，在长方体中，与平面及平面所成角分别为，分别为与的中点，且（1）求证：平面；（2）求二面角的平面角的正弦值20（12分）已知椭圆的两个顶点分别为，点为椭圆上异于，的点，设直线的斜率为，直线的斜率为，（1）求椭圆的离心率；（2）若，设直线与轴交于点，与椭圆交于，两点，求的面积的最大值21（12分）设函数（1）若函数在上单调递增，求的取值范围；（2）求证：当时，选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）已知曲线的参数方程为：为参数），直线的参数方程为：为参数），点，直线与曲线交于，两点（1）分别写出曲线在直角坐标系下的标准方程和直线在直角坐标系下的一般方程；（2）求的值选修4-5：不等式选讲23已知函数（1）请写出函数在每段区间上的解析式，并在图中的直角坐标系中作出函数的图象；（2）若不等式对任意的实数恒成立，求实数的取值范围2017-2018学年云南师大附中高三（上）月考数学试卷（理科）（1）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合，集合，则ABCD【考点】：交集及其运算【专题】11：计算题；37：集合思想；：定义法；：集合【分析】分别求出集合和集合，由此能求出【解答】解：集合，集合，故选：【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用2（5分）已知复数，则A2B1C0D【考点】：复数的模【专题】：数系的扩充和复数【分析】通过分母有理化即得结论【解答】解：，故选：【点评】本题考查复数求模，分母有理化是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于基础题3（5分）已知平面向量的夹角为，则A2B3C4D【考点】：平面向量数量积的性质及其运算【专题】35：转化思想；41：向量法；：平面向量及应用【分析】由已知求得，再由，展开后代入数量积求解【解答】解：由，得，又，且向量的夹角为，故选：【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量模的求法，是基础题4（5分）将函数的图象向左平移个单位，所得的图象所对应的函数解析式是ABCD【考点】：函数的图象变换【专题】35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图象与性质【分析】利用的图象变换规律，得出结论【解答】解：将函数的图象向左平移个单位，所得的图象所对应的函数解析式为的图象，故选：【点评】本题主要考查的图象变换规律，属于基础题5（5分）等差数列的前项和为，且，则A8B9C10D11【考点】85：等差数列的前项和【专题】54：等差数列与等比数列【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式，由题设条件列出方程组，能求出等差数列的首项和公差，由此能求出【解答】解：等差数列的前项和为，且，解得，故选：【点评】本题考查等差数列的第二项的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的通项公式的合理运用6（5分）已知点在不等式组，表示的平面区域上运动，则的最大值是A4B3C2D1【考点】：简单线性规划【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；：不等式【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求的最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大代入目标函数得故选：【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键7（5分）从某社区随机选取5名女士，其身高和体重的数据如表所示：身高155160165170175体重5052555862根据上表可得回归直线方程，据此得出的值为A43.6BC33.6D【考点】：线性回归方程【专题】11：计算题；33：函数思想；：演绎法；：概率与统计【分析】首先求得样本中心点，然后利用回归方程过样本中心点即可求得最终结果【解答】解：由表中数据可得，因为回归直线必过，代入回归方程得，故选：【点评】本题考查回归方程的性质及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于基础题8（5分）若直线始终平分圆的周长，则的最小值为ABCD【考点】：基本不等式及其应用；：直线与圆的位置关系【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；：直线与圆；：不等式【分析】利用直线与圆的位置关系得到，的方程，然后利用基本不等式求解最小值即可【解答】解：直线平分圆周，则直线过圆心，所以有，则（当且仅当，时取“” ，故选：【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，基本不等式在最值中的应用，考查计算能力9（5分）函数的零点个数是A2B3C4D5【考点】53：函数的零点与方程根的关系【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；51：函数的性质及应用【分析】由得，分别作出两个函数的图象，根据图象的交点个数进行判断即可【解答】解：令得，作出与的函数图象，如图所示：由图象可知两图象有4个交点，共有4个零点故选：【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题是解决本题的关键注意要利用数形结合10（5分）已知，分别是的三条边及相对三个角，满足，则的形状是A等腰三角形B等边三角形C直角三角形D等腰直角三角形【考点】：三角形的形状判断【专题】38：对应思想；：转化法；58：解三角形【分析】根据正弦定理与三角函数公式进行推理即可【解答】解：中，由正弦定理知，即，是等边三角形故选：【点评】本题考查了正弦定理与三角函数公式的应用问题，是基础题11（5分）已知正三棱锥及其正视图如图所示，则其外接球的半径为ABCD【考点】：球的体积和表面积【专题】34：方程思想；44：数形结合法；：空间位置关系与距离【分析】由三视图知该三棱锥的底面边长和高，利用勾股定理列方程求出外接球的半径【解答】解：由三视图知：三棱锥是底面边长为，高为的正三棱锥，设其外接球的球心为，半径为，则有，即：，解得：故选：【点评】本题考查了求正三棱锥外接球的半径应用问题，是基础题12（5分）定义在上的偶函数，当时，且在上恒成立，则关于的方程的根的个数叙述正确的是A有两个B有一个C没有D上述情况都有可能【考点】：函数奇偶性的性质与判断【专题】11：计算题；33：函数思想；：演绎法；51：函数的性质及应用【分析】利用题意首先确定函数的单调性，然后结合函数的奇偶性整理计算即可求得最终结果【解答】解：由题意知：在上单调递增，在上恒成立，必有，则的根有2个，故选：【点评】本题考查函数的奇偶性，函数的单调性等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于基础题二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）展开式中常数项是495【考点】：二项式定理【专题】35：转化思想；：转化法【分析】直接利用通项公式，令的指数为0，即可求解常数项【解答】解：由通项公式可得令，解得：代入可得，即常数项为495故答案为：495【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式常数项的性质，二项式展开式的通项公式，体现了转化的数学思想，属于基础题14（5分）执行如图所示的程序框图后，输出的结果是（结果用分数表示）【考点】：程序框图【专题】35：转化思想；：定义法；：算法和程序框图【分析】分析执行如图所示的程序框图后，输出算式，列项求值即可【解答】解：执行如图所示的程序框图后，输出的结果是该程序执行的是故答案为：【点评】本题考查了程序框图的应用问题，也考查了列项求和的问题，是基础题15（5分）已知双曲线的右焦点为，过作轴的垂线，与双曲线在第一象限内的交点为，与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，满足，则双曲线离心率的值是【考点】：双曲线的性质【专题】11：计算题；49：综合法；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用已知条件通过，求出、关系，然后求解双曲线的离心率即可【解答】解：由已知：，由，知：，故答案为：【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，转化思想的应用16（5分）设是的三边垂直平分线的交点，是的三边中线的交点，分别为角，的对应的边，已知，则的取值范围是【考点】：平面向量数量积的性质及其运算【专题】38：对应思想；44：数形结合法；：平面向量及应用【分析】用表示出，根据数量积的定义得出关于的二次函数，再求出的范围，得出答案【解答】解：由题意可知是的重心，是的外心，延长交外接圆于，则，同理，又，即，又，由二次函数的单调性可知的取值范围为故答案为【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，二次函数的性质，三角形重心与外心的性质，属于中档题三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12分）已知数列满足，（1）求证：数列是等比数列；（2）若满足，求数列的前项和【考点】88：等比数列的通项公式；：数列的求和【专题】34：方程思想；：转化法；54：等差数列与等比数列【分析】（1）变形为即可证明（2）由（1）可得：，可得可得，利用错位相减法即可得出【解答】（1）证明：数列是等比数列，首项为4，公比为2（2）解：由（1）可得：，可得，数列的前项和，可得【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的定义通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18（12分）某班级体育课举行了一次“投篮比赛”活动，为了了解本次投篮比赛学生总体情况，从中抽取了甲乙两个小组样本分数的茎叶图如图所示（1）分别求出甲乙两个小组成绩的平均数与方差，并判断哪一个小组的成绩更稳定：（2）从甲组成绩不低于60分的同学中，任意抽取3名同学，设表示所抽取的3名同学中得分在，的学生个数，求的分布列及其数学期望【考点】：茎叶图；：离散型随机变量及其分布列；：离散型随机变量的期望与方差【专题】49：综合法；：转化法；：概率与统计【分析】（1）利用平均数与方差的计算公式即可得出（2）由题意知服从参数为3，3，7的超几何分布，即，3，的取值可能为：0，1，2，3，利用计算公式即可得出【解答】解：（1），所以乙组的成绩更稳定（2）由题意知服从参数为3，3，7的超几何分布，即，3，的取值可能为：0，1，2，3，的分布列为：0123的数学期望：【点评】本题考查了平均数与方差的计算公式、超几何分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19（12分）如图，在长方体中，与平面及平面所成角分别为，分别为与的中点，且（1）求证：平面；（2）求二面角的平面角的正弦值【考点】：直线与平面垂直；：二面角的平面角及求法【专题】15：综合题；31：数形结合；41：向量法；：空间角【分析】（1）在长方体中，由三角形中位线定理可得，再由平面，得平面；（2）在长方体中，由题意可知为与平面所成的角，得，同理可得为与平面所成的角，即，求解三角形得到，分别以，所在直线为，轴建立空间直角坐标系，可得是平面的法向量，求出平面的法向量由与所成角的余弦值可得二面角的平面角的正弦值【解答】（1）证明：在长方体中，分别为与的中点，为的中位线，又平面，平面；（2）解：在长方体中，平面，为与平面所成的角，即，又平面，为与平面所成的角，即，如图，分别以，所在直线为，轴建立空间直角坐标系，0，2，2，0，在正方形中，是平面的法向量，设平面的法向量为，由，由，得，取，得平面的一个法向量为设二面角的大小为，则【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题20（12分）已知椭圆的两个顶点分别为，点为椭圆上异于，的点，设直线的斜率为，直线的斜率为，（1）求椭圆的离心率；（2）若，设直线与轴交于点，与椭圆交于，两点，求的面积的最大值【考点】：椭圆的性质【专题】35：转化思想；：转化法；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）设点坐标，代入椭圆方程，根据直线的斜率公式，即可求得，根据椭圆的离心率公式，即可求得椭圆的离心率（2）由（1）求得椭圆方程，设直线的方程，代入椭圆的方程，利用韦达定理及弦长公式求得的面积，利用基本不等式的性质即可求得的面积的最大值【解答】解：（1）设，代入椭圆方程，则，整理得：，又，所以，联立两个方程则，解得：（2）由（）知，又，椭圆的方程为设直线的方程为：，代入椭圆的方程有：，设，则，则的面积，令，则有，代入上式有，当且仅当，即时等号成立，所以的面积的最大值为【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及基本不等式的性质，考查计算能力，属于中档题21（12分）设函数（1）若函数在上单调递增，求的取值范围；（2）求证：当时，【考点】：利用导数研究函数的单调性【专题】32：分类讨论；34：方程思想；：转化法；53：导数的综合应用；59：不等式的解法及应用【分析】（），对分类讨论，利用单调性即可得出（）由（）知，当时，在，上单调递增，对任意，有成立，可得，代入整理即可得出【解答】（）解：，当时，在，上，恒成立，所以在，上单调递增成立，当时，由，解得，易知，在上单调递减，在，上单调递增，由题意有，解得：，综上所述，（）证明：由（）知，当时，在，上单调递增，对任意，有成立，所以，代入有，整理得：，即当时，【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）已知曲线的参数方程为：为参数），直线的参数方程为：为参数），点，直线与曲线交于，两点（1）分别写出曲线在直角坐标系下