弹性力学徐芝纶课后习题答案.pdf

1 习题 2-1 如果某一问题中，0 zzxxy ，只存在平面应力分量 x ， y ， xy ，且它们不沿 z 方向变化，仅为 x，y 的函数，试考虑此问题是否就是平面应力 问题？(是) 2-2 如果某一问题中，0 zzxzy ，只存在平面应变分量 x ， y ， xy ，且它们不沿 z 方向变化，仅为 x，y 的函数，试考虑此问题是否就是平面应变问题？(是) 2-3 试分析说明，在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层中，图 2-11，其应力状态接 近于平面应力的情况。(自由表面薄层中：000 zyzxzxyxy 近于平面应力问 题) 2-4 试分析说明，在板面上处处受法向约束且不受切向面力作用的等厚度薄板中，图 2-12， 当板边上只受 x，y 向的面力或约束，且不沿厚度变化时，其应变状态近于平面应变的情况。 (000 zyzyzxzyz 只有0 xyxy 接近平面应变问题) 2-5 在图 2-3 的微分体中，若将对形心的力矩平衡条件 0 C M ，改为对角点的力矩平衡条 件，试问将导出什么形式的方程？( xyyx ) 3-1 试考察应力函数 3 ay 在图 3-8 所求的矩形板和坐标系中能解决什么问题 （体力不计） 。 3-2 取满足相容方程的应力函数为： （1） 2 ax y ， （2） 2 bxy ， （3） 2 cxy ，试求出 应力分量（不计体力） ，画出图 3-9 所示弹性体边界上的面力分布，并在次要边界上表示出 面力的主矢量和主矩。 3-3 试考察应力函数 22 3 (34) 2 F xyhy h 能满足相容方程，并求出应力分量（不计体力） ， 画出图 3-9 所示矩形体边界上的面力分布（在次要边界上画出面力的主矢量和主矩） ，指出 该应力函数所能解决的问题。 2 3-4 试证 2323 33 4312 410 qxyyqyyy hhhh 能满足相容方程， 并考察它在图 3-9 所示矩形板和坐标系中能解决什么问题（设矩形 板的长度为 l，深度为 h，体力不计） 。 3-5 设有矩形截面的长竖柱，密度为，在一边侧面上受均布剪力 q，图 3-10，试求应力分量。 4-1 试比较极坐标和直角坐标中的平衡微分方程、几何方程和物理方程，指出哪些项是相似 的，哪些项是极坐标中特有的？并说明产生这些项的原因。 4-2 试导出极坐标和直角坐标中位移分量的坐标变换式。 4-3 在轴对称位移问题中，试导出按位移求解的基本方程。并证明,0 B uAu 可以满 足此基本方程。 4-4 试导出轴对称位移问题中，按应力求解时的相容方程。 4-5 试由一阶导数的坐标变换式，导出二阶导数的坐标变换式4-3 中的式(a)，(b)，(c) 。 5-1 长 l 悬臂梁，B 端作用集中力 P 分别用 1)最小势能原理 2) (拉格郎日)位移变分方程 求 B 端挠度(设 23 12 vb xb x) 6-6 试求图 6-25 所示结构的结点位移和应力，取1 ,0tm。 7-1 试证明：在与三个主应力成相同角度的面上，正应力等于三个应力的平均值。 7-2 设某一物体发生如下的位移： 0123 0123 0123 uaa xa ya z vbb xb yb z wcc xc yc z 试证明：各个形变分量在物体内为常量（即所谓均匀形变） ；在变形以后，物体内的平面保 持为平面，直线保持为直线，平行面保持平行，平行线保持平行，正平行六面体变成斜平行 六面体，圆球面变成椭球面。 8-5 半空间体在边界平面的一个圆面积上受有均布压力 q。设圆面积的半径为 a，试求圆心 下方距边界为 h 处的位移。 l A B P 3 3-1 考察应力函数 3 ay 在图示矩形板和坐标系能解决什么问题。 解 444 4224 000 xxyy 满足双调和方程（相容方程）可作应力函数 应力分量(2-24)： 222 22 600 xyxy ay yxx y 力边界条件(2-25)： xyxx yxyy lmf mlf 上下边界 01:0 0 x y lmf f 左边界1060 xxy lmfayf 右边界1060 xxy lmfayf 0a 解决偏心拉伸问题 0a 解决偏心压缩问题 3.2 解： 22 22 022 xyxy ayax yx 力边界： xyxx yxyy lmf mlf 上边界0122 xyy lmfaxfay 下边界0122 xyy lmfaxfay 左边界1002 xxyxy lmffax 右边界1002 xyxy lmfxfax 22 22 202 xyxy bxby yx 力边界： xyxx yxyy lmf mlf 上边界0120 xyxyy lmfbyf 下边界0120 xyxy lmfbyf 左边界1022 xxyxy lmfbxfby 右边界1022 xyxy lmfxbxfby 4 222 2 22 603 xyxy cxycy yxx y 力边界： xyxx yxyy lmf mlf 上边界 2 0130 xyxyy lmfcyf 下边界 2 0130 xyxy lmfcyf 左边界 2 1063 xxyxy lmfcxyfcy 右边界 2 1063 xyxy lmfxcxyfcy 3-3、3-4 解：1、将两种函数分别代入式中，得知能满足双调和方程，因此，可作为应力函数。 2、由应力函数，可求得应力分量，考虑各边界条件后，可求得面力（或合力） ，从而得 知各自能解决的问题，见表 3-12 所列。 表 3-12两种应力函数所对应的应力、面力、合力 应力函 数 3 3 23 2 FxyFxy U hh (1) 2323 33 432 1 410 qxyyqyyy U hhhh (2) 应力分 量 3 2 3 12 ,0 63 2 xy xy Fxy h FyF hh 23 33 3 3 2 3 643 5 43 1 2 123 2 x y xy qx yqyqy hhh qyy hh qxy hh 边 界 条 件 上 边 /2/2 ()0,()0 yyhxyyh /2/2 (), ()0 yyhxyyh q 下 边 /2/2 ()0,()0 yy hxyy h /2/2 ()0,()0 yy hxyy h 边 界 条 件 左 端 /2/2 /2/2 /2 /2 ()0,() () hh xxlxyxl hh h xxl h dydyF ydyFl /2/2 /2/2 /2 2 /2 ()0,() ()/2 hh xxlxyxl hh h xxl h dydyql ydyql 右 端 /2/2 /2/2 /2 /2 ()0,() () hh xx lxyx l hh h xx l h dydyF ydyFl /2/2 /2/2 /2 2 /2 ()0,() ()/2 hh xx lxyx l hh h xx l h dydyql ydyql 面力 （合力） 解决问 题 悬臂梁一端受集中力和力矩作 用；或简支梁两端受力矩作用 悬臂梁上边受均布载荷，一端受集中力 和力矩作用；或简支梁两端受力矩作用， 上边受均布载荷作用 5 3-5 解 1、半逆解法确定主要边界 0, ()0 xxb 故可设0 x 即 22 1 22 0( )( )( ) xx f xf xyf xf x yyy 44444 1 444224 ( )( ) 00 d f xd f x y xdxdxxyy 4 0 即 44 1 44 ( )( ) 0 d fxd f x y dxdx 对 y 的任意值均成立则有： 4 4 ( ) 0 d f x dx 32 ( )f xAxBxCx(略去了与应力无关的常数项) 4 1 4 ( ) 0 d fx dx 32 1( ) fxExFx(略去了与应力无关的常数项及次项) 故 3232 ()y AxBxCxExFx 2、应力 22 22 0(62 )62 xxyy f xf yyAxBExFgy yx 2 2 (32) xy AxBxC x y 3、边界条件定常数： 0 ()00 xyx C 2 2 32 00 ()(32) ()000 xyx b b xy y q A qAbBbq b q dxAbBbAbB B b 上端面即 00 0 0 ()0320 0 ()020 b y y b y y dyEbF EF xdxEbF 则 233 0(1)(2) xyxy qxqxx ygy bbbb 4-1 解：物理方程完全相似，因为极坐标和直角坐标都是正交坐标等。 平衡方程多了非微分项，这是由于 )微分体二径向边不平行，使 对方向的平衡产生了影响。 )二环向边不等长使 在方向， 0 在 Q 方向产生附加影响。 几何方程多了非微分项这是由于 微分体二径向边平不平行，u引起周向应变 u u引起剪应变 uu 4-2 仿照直角坐标系的旋转变换 cossin sincos uu uu 介上式： cossin sincos uuu uu 6 4-3 轴对称位移问题，导出按位移求解的基本方程，并证明0 B uAu 满足此方程 解：按位移轴对称条件（应力也轴对称） ： 0 ( )0( )0uuu 代入平衡方程0 d d (a)几何方程0 uduu d (b) 物理方程 22 ()()0 11 EE (c) (c)代入(a)得 1 (1)()0 dd dd (d) (b)代入(d)得位移轴对称问题按位移求解基本方程： 2 22 1 0 duu d u dd 或 1 ()0 dd u dd 4-4 试导出轴对称位移问题中，按应力求解时的相容方程。 由几何方程所得应变间的关系即相容方程： 0 duu d 中第 2 式微分 2 1111 ddu u dd 即相容方程0 d qq d 5-1 长 l 悬臂梁，B 端作用集中力 P 分别用 1)最小势能原理 2) (拉格郎日)位移变分方程求 B 端挠度(设 23 12 b xb x) 解：1) 23 12 b xb x满足位移边界条件 0 0 00 x x dv v dx 应变能 2 2 2 12 2 00 11 (26) 22 lld v UEIdxEIbb xdx dx 222 3 11 22 2(33)EI b lbb lb l 外力势能 23 112 ( )() x VP vP blb l 总势能 222 323 11 2212 2(33)()UVEI b lbb lb lP blb l 由0 得： 22 12 1 02(23)0EIblb lPl b 解得 1 2 Pl b EI 233 12 2 02(36)0EIblb lPl b 2 6 P b EI 则挠曲线方程为 23 23 ( ) 263 Bx l PlPPl vxxvv EIEIEI 2) 23 12 vb xb x满足位移边界条件 0 0 ( )00 x x dv v dx ， 应变能 222 3 11 22 2(33)UEI b lbb lb l 7 11 11 22 22 x l x l Uv bPb bb Uv bPb bb 位移变分方程UW 22 1 12 233 12 2 2(23) 2 2(36) 6 Pl b EIblb lPl EI P EIblb lPl b EI 6-6 试求图示结构的结点位移和应力，取10tm 解：1、离散化如图，建立坐标系0 x y，划分单元，节点编号 1，2，3，4 单元节点编号节点坐标 eijk节点号xy 142101 231210 311 400 2、单元刚度矩阵 单元 111 ()(0 1) 222 ijji Abcb c(或 11 1 1 22 Ax x) 应变矩阵 000 001010 1 000010100 2 101101 ijm ijm iijjmm bbb Bccc A cbcbcb 弹性矩阵 2 10 200 10020 12 1001 00 2 EE D 应力矩阵 002020 020200 2 121101 E SDB 单元刚度矩阵 101101 020200 103121 1213014 002020 101101 T T KBDB tA E BS tA 1422114 1241241 011 110 ijm ijm bbyybyybyy ccxxcxxcxx K11K14K12 K41K44K42 K21K24K22 8 单元单刚与相同 B符号相反， S符号也相反 101101 020200 103121 1213014 002020 101101 E K 3、整体分析 整体刚度矩阵 11121314 21222324 313233 414244 30012011 03101102 01301120 10030211 02110310044 001121300 10210031 12010013 KKKK KKKK EE KKK KKK KKK 整体刚度方程 4、位移边界条件处理 11 1 2 22 3 3 4 4 30012011 031011020 013011200 10030211 2110310004 011213000 102100310 120100130 uF v u vF E u v u v 5、方程求解，去除 123344 000000uuu六个方程 得： 122 11 22 212 1 (3) 31 2 131 (3) 2 uFF uF E vF vFF E 6、单元应力，设 12 FFF则， 12 22FF uv EE 2222 00000000 TT FFFF EEEE 0020200 22 02020000000 2 1011010 T x y xy EFF s EE 0020202 22 02020000002 2 1011010 T x y xy F EFF sF EE K22K23K21 K32K33K31 K11K13K12 + + 9 平均应力 1 2 0 x y xy F F 7-1 试证明：在与三个主应力成相同角度的面上，正应力等于三个主应力的平均值。 证：取坐标面与三个主平面重合，由题意 1 3 lmn 由式(7-3)， 222 123123 1 () 3 n lmn 7-2 解：1) 123xyz uvw abc xyz 122331xyyzyx vuw