条件概率的几种类型解题浅析.doc

概率论与数理统计课程论文条件概率的几种类型解题浅析李鹏（铜陵学院 机械工程学院 材控班 1210121023）摘要：条件概率公式是用来求：在事件B发生的条件下(或者知道事件B已经发生)，再发生事件A的概率。对于简单的条件概率问题，可以直接用条件概率的定义来解答，也可另找新的样本空间进行计算,对条件问题有一定的解题技巧和方法。关键词：条件概率；样本空间Conditional probability analyses of several types of problem solvingLI Peng（Tongling college institute of mechanical engineering material control class 1210121023）Abstract: the conditional probability formula is used to ask: under the condition of the event B occurs (or know event B has occurred), then the probability of events A. For simple conditional probability problems, can directly use the definition of conditional probability to answer, can also be used to find another new sample space to calculate. To the problem of condition has certain skills and methods to solve problems.Key words: Conditional probability; Sample space0.前言在谈及随机事件及其中各个事件的概率的时候，总是在一组确定的条件下讨论的。这里的条件是整个实验的共同条件，是我们讨论问题的大前提。多数时候我们还需要讨论在某些附加条件下的实验结果。这些附加条件通常以“某个时间已经发生”的形式给出。这就是已知某事件已经发生后的条件概率。由此可见，掌握条件概率的计算尤为重要。1.著名谬论条件概率的谬论是假设 P(A|B) 大致等于 P(B|A)。数学家John Allen Paulos 在他的数学盲一书中指出医生、律师以及其他受过很好教育的非统计学家经常会犯这样的错误。这种错误可以通过用实数而不是概率来描述数据的方法来避免。P(A|B) 与 P(B|A)的关系如下所示：下面是一个虚构但写实的例子，P(A|B) 与 P(B|A)的差距可能令人惊讶，同时也相当明显。若想分辨某些个体是否有重大疾病，以便早期治疗，我们可能会对一大群人进行检验。虽然其益处明显可见，但同时，检验行为有一个地方引起争议，就是有检出假阳性的结果的可能：若有个未得疾病的人，却在初检时被误检为得病，他可能会感到苦恼烦闷，一直持续到更详细的检测显示他并未得病为止。而且就算在告知他其实是健康的人后，也可能因此对他的人生有负面影响。这个问题的重要性，最适合用条件机率的观点来解释。假设人群中有1%的人罹患此疾病，而其他人是健康的。我们随机选出任一个体，并将患病以disease、健康以well表示：P(disease) = 1% = 0.01 and P(well) = 99% = 0.99. 假设检验动作实施在未患病的人身上时，有1%的机率其结果为假阳性（阳性以positive表示）。意即：P(positive | well) = 1%，且P(negative | well) = 99%. 最后，假设检验动作实施在患病的人身上时，有1%的机率其结果为假阴性（阴性以negative表示）。意即：P(negative | disease) = 1%且P(positive | disease) = 99%。现在，由计算可知：是整群人中健康、且测定为阴性者的比率。P(positive|disease) = 99% 是整群人中得病、且测定为阳性者的比率。是整群人中被测定为假阳性者的比率。是整群人中被测定为假阴性者的比率。进一步得出：是整群人中被测出为阳性者的比率。P(disease|positive) = 50%是某人被测出为阳性时，实际上真的得了病的机率。这个例子里面，我们很轻易可以看出 P(positive|disease)=99% 与 P(disease|positive)=50% 的差距：前者是你得了病，而被检出为阳性的条件机率；后者是你被检出为阳性，而你实际上真得了病的条件机率。由我们在本例中所选的数字，最终结果可能令人难以接受：被测定为阳性者，其中的半数实际上是假阳性。2.条件概率概念：如果我们在事件B已经发生的条件下考虑事件A的概率，则这种概率叫做事件A在事件B已经发生的条件下的条件概率，记作P(A|B)。关于条件概率，有下面的定理：定理1：设事件B的概率P(B)0，则在事件B已经发生的条件下事件A的条件概率等于事件AB的概率除以事件B的概率所得的商：P(A|B)=定理2：二事件的交的概率等于其中一事件的概率与另一事件在前一事件已发生的条件概率的乘积：P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)3.条件概率的解题思路解答条件概率问题，首先要判明问题的性质，确定所解的问题是不是条件概率问题。如果所要考虑的事件是在另件发生的前提下出现的，那么这一事件的概率，必须按条件概率来处理。(1)求解简单条件概率问题，有两条基本思路：a .从条件概率的定义人手，如果P(A)0则先在原样本空间计算P(AB)和P(A)，再按公式P(B|A)=推求P(B|A)b.考虑到事件A的发生，对事件A的发生，对事件B原样本空间所产生的影响，确定B的缩减样本空间，并在其中推求B发生的概率，从而得到P(B|A)(2)求解简单条件概率问题，有两个基本方法：a.公式法：利用条件概率公式进行计算。即如果P(A)0，则P（B|A）=b.样本空间法：在A发生的前提下，确定B的缩减样本空间，并在其中计算B发生的概率，从而得到P(B|A)4.利用条件概率解题4.1产品检验问题：例l：设有某产品一盒共1O只，已知其中有3只次品，从中取二次，每次任取一只，作不放回抽样，求第一次取到次品后第二次再取到次品的概率。分析：本题是一个不放回的抽样问题，第一次抽样的结果，直接影响到第二次抽样。因此，这是个条件概率问题。解法：设事件A为“第一次抽得次品”，事件B为“第二次抽得次品”，则AB为第一次和第二次都抽得次品”。显然，有 P(A)= P(AB)= 依条件概率定义，即得 4.2整数的倍数问题例2：从1-100共100个正整数中，任取一数，已知取出的数不大于50，求此数是2或3的倍数的概率。解:设事件H为“取出的数不大于50，事件A为“取出的数是2的两倍数”，事件B为“取出的数是3的倍数”则P(H)=1|2，且所求概率为P(A+B|H)=P(A|H)+P(B|H)-P(AB|H)=4.3筛子问题例3：一次掷十颗筛子，已知至少出现一个一点，问至少出现两个一点的概率是多少?分析：题中的特定假设是“至少出现一个一点”，在这一假设下事件“至少出现两个一点”包含了同一条件下恰好出现“两个一点”，“三个一点”，一直到“十个一点”等九种情形，情况比较复杂。为此，我们可转而考虑其逆事件的概率。注意到随机试验是等可能的，则在计算有关事件的概率时，可按古典概率方法进行。解：设事件A为“至少出现一个一点”，事件B为“至少出现两个一点”，则所求的概率为注意到为“至少出现个一点”，则事件百A就是恰好出现个一点”，于是P(A)= 0.3230且P(A)=1-P()=1-1-0.1615=0.8385把上面的结果代入(1)式，即得P(B|A)1-=0.6418注：求接条件概率的问题，必须从题设情形出发，灵活运用条件概率的有关性质或公式。本题如果不用互逆事件的陛质求解，解题将更为复杂。4.4摸球问题 例4：袋中有N个球，其中M个白球，NM个黑球，从中一次次摸球，每次摸一个，摸后不放回，求第1次摸到白球的前提下，第2次摸到黑球的概率。解：方法一 ： 设A=第1次摸到白球，B=第2次摸到黑球。先求P(A)，袋中有N个球，每个球等可能地被取中，考虑两次取球的随机试验；从袋中不放回地摸取两次，每一次一个，共有种摸法，即样本点总数为个。第1次摸到白球的摸法有种，第2次可能摸到白球或黑球，于是，只能从N1个球中摸一球，有种摸法，因此A包含的样本点数为个。故由古典概型的概率计算公式可得P(A)=下面计算P(AB)。考虑上述同个随机试验的样本空间，样本点总书仍为个，其中事件AB表示“第1次摸到自球且第2次摸到黑球”，因此，AB包含的样本点数为个 于是由古典概率计算公式可得 P(AB)= 故有条件概论可得P(B|A)= 方法二：考虑第1次摸球的随机试验所构成的样本空间Q ，共有N个样本点。第1次摸取个白球后，袋中还剩N一1个球，其中M一1个自球，N-M个黑球。于是，在第1次摸取个白球的大前提条件下，缩减的样本空间包含N-1个样本点。而黑球只能从N_M个黑球中摸得，有NM种摸法。故由古典概率公式可得 P(B|A)=注：(1)方法一中事件A的概率P(A)的计算也可以对第1次摸球的随机试验考虑。此时，样本空间Q包含N个样本点，A包含的样本点数为M，故P(A)=。 (3)方法二可以这样理解，“在第1次摸到白球的前提下第2次摸到黑球”是在原试验条件下再加上新条件“摸去第1个球(白球)”所产生的新空间：“从M-1个白球，N-M个黑球，共N-1个球中摸一个”的样本空间来讨论问题，即从这样的新空间中求出事件“摸一球是黑球”的概率。4.5 射击问题 例5:某射击小组共有20名射手,其中一级射手4人,二级射手8人,三级射手7人,四级射手1人.一、二、三、四级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9、0.7、0.5、0.2.求任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率.解：设事件A表示“射手能通过选拔进入比赛”,设事件Bi表示“射手是第i级射手”.(i=1,2,3,4)显然,B1、B2、B3、B4构成一完备事件组,且，故有条件概论可得由全概率公式得 li例6：在射击室有9支枪，其中经试射过的有3支。用试射过的枪命中靶的概率为0.8，而未试射过的的枪命中靶的概率为0.1.任取一支枪发射一次结果命中靶子，求概率。解： 设A：“所取的枪是试射过的”，B：“发射一次中靶”，则表示所取的枪是未射过的，则 而所求的概率是，可先由全概率公式求出，再由贝叶斯公式可求得。 5.总结条件概率解题技巧与方法首先要判明问题的性质，确定所解的问题是不是条件概率问题。如果所要考虑的事件是在另件发生的前提下出现的，那么这一事件的概率，必须按条件概率来处理。从不同的解题思路人手，条件概率的问题，必须从题设情形出发，灵活运用条件概率的有关性质或公式解答条件概率问题。首先要判明问题的性质，确定所解的问题是不是条件概率问题。如果所要考虑的事件在另一件发生的前提下出现的，那么这一事件的概率，必须按条件概率来处理。参 考 文 献1.沈恒范概率论与数理统计教程高等教育出版社20032.薛流根概率论解题方法与技巧. 国防工业出版社19963.赵振威、范叙保怎么解概率题北京师范大学出版社. 1986Ginseng cowen offer1. SHEN heng Fan. Probability and mathematical statistic