振动力学梁的横向振动ppt课件.ppt

振动力学 弹性体的振动 梁的横向振动 仅讨论梁在主平面内的平面弯曲振动 这种振动只有当梁存在主平面的情形才能发生 并符合材料力学中梁弯曲的小变形假设和平面假设 1 运动微分方程 在梁的主平面上取坐标xoz 原点位于梁的左端截面的形心 x轴与梁平衡时的轴线重合 假设梁在振动过程中 轴线上任一点的位移u x t 均沿z轴方向 取微段梁dx 截面上的弯矩与剪力为M和Q 其正负号的规定和材料力学一样 则微段梁dx沿z方向的运动方程为 即 利用材料力学中的关系 得到梁的弯曲振动方程 边界条件 和一维波动方程一样 要使弯曲振动微分方程成为定解问题 必需给出边界条件和初始条件 梁的每一端必须给出两个边界条件 以左端为例 1 固定端 挠度和转角为0 即 2 简支端 挠度和弯矩为0 即 3 自由端 弯矩和剪力为0 即 其它边界条件用类似的方法给出 2 梁弯曲自由振动的解 令振动方程中的干扰力为0 得到 对于均匀梁 振动方程为 其中 假定有分离变量形式的解存在 令 代入方程得到 写为 则有 其中 称为特征方程 方程的通解为 由特征方程 利用边界条件即可求出振型函数F x 和频率方程 进一步确定系统的固有频率wi 用四个边界条件只能确定四个积分常数之间的比值 例1 求简支梁弯曲振动的固有频率与固有振型 代入特征方程的解 以及 解 边界条件为挠度和弯矩为0 得到 以及 则 则 以及频率方程 由此解得 所以固有频率 振型为 第i阶振型有i 1个节点 节点坐标 即 例2 求两端固定梁弯曲振动的固有频率与固有振型 代入特征方程的解得到 以及 解 边界条件为挠度和转角为0 即 化简后得到频率方程 求得 求出b后得到固有频率 振型为 例3 求左端固定 右端用刚度为k的弹簧支承的均匀梁弯曲振动的频率方程 解 左端的边界条件为挠度和转角为0 解 左端的边界条件为挠度和转角为0 右端的边界条件 弯矩为0 剪力等于弹性力 代入特征方程的解 以及 进一步化简后得到频率方程 求出b后得到固有频率 振型为 将边界条件代入得到 求得 讨论 1 k 0时 频率方程变为 即为悬臂梁的情况 2 k趋于无穷大时 频率方程变为 或 即为左端固定 右端简支的情况 思考题 证明图示悬臂梁在x l处的边界条件为 关于振型函数的正交性 和一维波动方程振型函数的正交性类似 第i阶特征值满足 考虑边界条件为简支 自由 固定的情况 梁端点的位移 弯矩或剪力为0 则 对第j阶振型进行上面类似的运算得 用Fj左乘上式两端 并积分 上两式相减得 则 i j时 梁在激励力作用下的响应 和一维波动方程一样 用振型叠加法求响应 1 标准坐标 正则坐标 对振型函数按下式条件正则化 2 对初始激励的响应设初始条件为 将其按标准振型展开 用rAFj左乘上两式 并积分得 标准坐标下的初始激励响应 物理坐标下的响应 响应求解步骤 1 根据边界条件求解固有频率和固有振型 2 利用标准化条件确定振型中的常数因子 3 将初始条件变换到标准坐标 4 求标准坐标下的响应 5 求物理坐标下的响应 例4 长为l的均匀简支梁初始静止 设在x x1处的微段d上有初始速度v 求系统对此初始条件的响应 解 1 固有频率与相应的固有振型为 2 由正规化条件确定系数Ci 求得 所以 3 初始条件 按题意 变换到主坐标下 3 对外激励的响应 1 分布干扰力设干扰力密度为f x t 和前面杆的外激励受迫振动响应推动方法一样 利用标准化振型函数Fi 得到标准坐标下的解耦方程 利用杜哈美积分得 4 响应 总响应为 2 集中力设在x x1处受集中力F t 这时可以用 函数表示为分布形式 F x t dx x x1 方程变为 总响应为 3 集中力偶 不推导 只给出结果 设在x x1处受集中力M t 这时有 总响应为 强迫振动的响应求解步骤 1 根据边界条件求解固有频率和固有振型 2 利用正规化条件确定振型中的常数因子 3 求主坐标下的响应 4 求广义坐标下的响应 解 1 固有频率与相应的固有振型为 2 由正规化条件确定系数Ci 例5 设长为l的简支梁在x a处受集中力Fsin t作用 求响应 求得 3 响应 例6 火车在很长的桥梁上通过 可以简化为一均匀筒支梁受到以等速率v向右运动的荷重P的作用 假设在初始时刻荷重位于梁的左端 试求强迫振动的响应 解 1 均匀简支梁的固有频率与相应的固有振型为 2 和前面一样由正规化条件确定系数Ci得到 3 干扰力密度可表为 4 主坐标下的响应 其中 5 广义坐标下的响应 固有频率的结构特性 系统参数的变化与增加约束对固有频率的影响 1