数学专业数学分析Ⅱ阶段测验一试题及答案.doc

课程编号：MTH17002 北京理工大学2011-2012学年第二学期 2012.3.262011级数学专业数学分析阶段测验一试题1.设，O为坐标原点。（1）求在点沿方向的方向导数；（2）求在点沿方向的方向导数为0的点的轨迹方程。2.设是由方程确定的可微的隐函数，其中具有连续的一阶偏导函数，求并化为最简形式。3.设，其中有二阶连续偏导数。又。求。4.设，求。又问：在点是否可微？5.设函数有连续的二阶偏导数且满足方程，做变换。设，试求函数满足的方程。6.设，求在点邻域内带Peano型余项的二阶Taylor公式。7.设，求。8.设在内有定义，关于的偏导函数在内存在且有界，又设对每个固定的，关于在内连续，求证：在内连续。9.设在平面区域内定义。（1）叙述在内一致连续的严格含义；（2）叙述极限存在的Cauchy收敛准则；（3）设在区域内一致连续，求证：极限必存在；（4）求证：在区域内不一致连续。10.设在全平面内连续，满足（1）当时，；（2）及任意实数，；求证:存在常数，使得。（本套题目是根据答案复原得到的，若有疏漏敬请谅解）课程编号：MTH17002 北京理工大学2012-2013学年第二学期 2013.3.232012级数学专业数学分析阶段测验一试题1.设是由方程确定的可微的隐函数，其中具有连续的一阶偏导数。试求，并化为最简形式。2.设在全平面内有连续的二阶偏导数。又设。求。3.设，求及在点沿方向的方向导数。又问：（1）在点是否可微？为什么？（2）偏导数在哪些点存在？在存在的点集内是否成立？为什么？4.（1）设在点的某邻域内有定义，且在点连续，又设。问：在点是否可微？说明理由。（2）设在全平面内有连续的二阶偏导数，且。又设，试求二阶全微分。5.设函数有连续的二阶偏导数且满足方程，做变换，试求所满足的方程。6.求函数在点邻域内带Peano型余项的二阶Taylor公式，并求的近似值。7.设在内连续。求证：函数在右半平面内可微，并求。8.设在内有定义，关于的偏导函数在内存在且连续，又设对每个固定的，关于在内可微，求证：在内可微。9.设和在全空间内连续，满足（1）当时，；（2）及任意实数， ；求证：存在常数，使得。（以下二题任选一题）10.1设在全平面内有定义。（1）叙述在内一致连续的严格含义；（2）叙述极限存在的Cauchy准则；（3）若在全平面内连续，且存在，其中。求证：在全平面内有界，且在全平面内一致连续。10.2设二元函数在全平面内具有一阶连续偏导数，且，其中。求证：在全平面内有最小值。课程编号：MTH17002 北京理工大学2013-2014学年第二学期 2014.4.22013级数学专业数学分析阶段测验一试题一、计算题：（1）计算积分；（2）计算积分；求极限（3）；（4）；（5）过点（-1,0）作曲线的切线。求此切线与曲线及X轴所围成的图形的面积及该图形绕X轴旋转所得旋转体的体积。二、记（求导算子）。设均在内有连续的二阶导数，求证：。三、（1）求证：；（2）求证：。四、设在内有定义，又对任意的T0，在内Riemann可积，且极限存在，求证：。五、设在全平面内连续，且，其中。求证：在全平面内必有最大值。六、设在平面区域内定义。（1）叙述在内一致连续的定义及极限存在的Cauchy准则；（2）设在区域内一致连续，求证：极限必存在；（3）求证：在区域内不一致连续。七、设在全平面内连续，满足（1）当时，；（2）及任意实数，；求证：存在常数，使得。八、设函数在区间内连续，是的任意分划，记，并设是内任意两点，。求证：。北京理工大学2010-2011学年第二学期（MTH17002-t01919-1） 2010级数学专业数学分析期中试题 2011.4.241.设函数在平面区域内有定义，是内一点，试利用这种符号语言形式的给出下列条件间的蕴含关系：（A）在点的某邻域内两个偏导数都存在且有界；（B）在点的某邻域内都存在且均在点连续；（C）在点连续；（D）在点可微；（E）在点的两个偏导数都存在；（不需要说明理由）2.设函数满足偏微分方程。令，求函数满足的偏微分方程。3.设在点的某邻域内有定义，且在点连续，又设。求证：在点可微，并求出的值。4.求函数在点邻域内带Peano型余项的二阶Taylor公式，并求的近似值。5.研究下列级数的敛散性。（1） （2） （3）（4） （5）6.设，且存在。求证：，7.设单调递减，求证：收敛的充分必要条件是收敛。8. 求证：函数在内连续，但函数项级数在内不一致收敛。9.设在闭矩形区域内连续，又设。求证：在内连续。10.设在闭矩形区域内连续，又设函数序列在内一致收敛，且，当时，。求证：函数序列在内一致收敛。选做题11.1设，且成立极限。求证：收敛。11.2设正项级数收敛。求证：一定存在数列的一个子列，使得。 2010级数学专业数学分析期中试题解答 2011.4.241.解：（本题12分） 【补充】所有关系如下：。共8个成立，12个不成立。对于不成立的举例如下：在x+y=0的点处均不连续，但，但f(x,y)在(0,0)不可微。f(x,y)在上连续，但均不存在。，但不存在，故f(x,y)在(0,0)不连续。f(x,y)在(0,0)连续且可微，在存在，但在(0,0)的任一邻域内无界，且在(0,0)不连续，（另外对于，还可举反例：f(x,y)在上连续，但在(0,0)的任一邻域内无界，且有无意义的点。）对于成立的简证如下： 显然成立；2.解：在方程两边关于y求偏导，注意，得，从而；进而，；代入原方程，得；即。（本题10分）3.证：由条件，得，又由在点连续，得；从而，即当时，。由可微定义，在点可微，且，。（本题10分）4.解：取，记，则时，有；（*）其中将代入（*），则时，特别地，。（本题10分）5.解：（1），即有，由比较判别法的极限形式及收敛，知级数（1）收敛；（2）由，故由比较判别法，和有相同的敛散性，所以，级数（2）绝对收敛；（3）由，故由Cauchy根式判别法，级数（3）收敛；（4）级数的n项部分和为，故有界；又单调递减趋于0，故由Dirichlet判别法，级数（4）收敛；（5）记，则时，；，由对数比值判别法，发散。（本题共15分，每小题3分）6.证：由条件，有，故由dAlembert比值判别法，收敛；再由收敛的必要条件，得。（本题8分）7.证：“ ”：由收敛，设其和为S，则由于，故，即正项级数的部分和序列有界，因而级数收敛。“”： 由于单调递减，且，故由于正项级数收敛，设其和为A，则，即的部分和序列有界，因而收敛。（本题10分）8.证：，存在c0，使得，而当时，故当时，函数序列关于x在上一致收敛于0；且对固定的数列关于n单调；又的部分和序列关于x一致有界，故由一致收敛性的Dirichlet判别法，函数项级数在上一致收敛；又在内连续，因而，由和函数连续性定理，在内连续，特别，在点连续；而是任意的，故在内连续。假设函数项级数在内一致收敛，则，使当时，；令，则有，这与发散矛盾，所以函数项级数在内不一致收敛。亦可通过证明函数序列在内不一致收敛于0，进而得出函数项级数在内不一致收敛。事实上，取，则，故函数序列在内不一致收敛于0。（本题10分）9.证：设，则由在有界闭区域内连续，故在内有界，即，使得，从而，由定积分的不等式性质（估值定理），有；，由Cantor定理，在内一致连续，故，对内任意两点，只要，就有；因而，当时，；取，则当时，因而，在点连续，又由是任意的，故在内连续。（本题8分）10.证：，由Cantor定理，在内一致连续，故，对内任意两点，只要，就有；对上述，由函数序列在内一致收敛，故由一致收敛的Cauchy准则，存在正整数N，使当时，；注意到：当时，且，从而，由一致收敛的Cauchy准则，函数序列在内一致收敛。（本题7分）（余下二题不提供解答）北京理工大学2011-2012学年第二学期（MTH17002-t01919-1） 2011级数学专业数学分析期中试题 2012.51.设是由方程确定的可微隐函数，其中有连续的一阶偏导数，求并化为最简形式。2.设满足，又设，求并化为最简形式。3.设有连续的二阶偏导数且满足方程，令，试求满足的方程，并求出的值，使得满足。4.设，求及在点邻域内带Peano型余项的二阶Taylor公式。5.设在内有定义，在内存在且有界，又对每个固定的，在内连续，求证：在内连续。6.研究下列级数的敛散性。（1） （2） （3）（4） （5）7.设，且存在。又设收敛，且L1，求证收敛。举例说明：L=1时，即使收敛，仍有可能发散。8.设单调递减，求证：收敛的充分必要条件是收敛。9.（1）设，在上有定义，用语言分别叙述在内收敛和一致收敛的严格含义。（2）设，求证：在内收敛，并用两种方法证明其在内不一致收敛。10.求的收敛域及和函数。11.（1）叙述在内一致连续的严格含义。（2）设，在上一致连续，在上一致收敛于，求证：在内一致连续。北京理工大学2012-2013学年第二学期（MTH17002-t01919-1） 2012级数学专业数学分析期中试卷 2013.5.4一、设是由方程确定的可微的隐函数，其中具有连续的一阶偏导函数，求并化为最简形式。二、设函数有连续的二阶偏导数且满足方程，做变换。设，试求函数满足的方程。三、（1）叙述三元函数在点可微的定义；（2）设在区域内定义，偏导函数在内存在且连续，又设在内存在，求证：在内可微。四、设，求在点邻域内带Peano型余项的二阶Taylor公式。五、研究下列无穷级数的敛散性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。（其中，试确定x取何值时该级数绝对收敛？x取何值时该级数条件收敛？x取何值时该级数发散？）六、设对每一个自然数，在上有定义。（1）用语言分别叙述函数序列在内点态收敛于函数和函数序列在内一致收敛于函数的严格含义；（2）叙述函数序列在内一致收敛的Cauchy准则；（3）设，求证：函数序列在区间内收敛，但不一致收敛；并证明在开区间中内闭一致收敛。七、（1）叙述数项级数收敛性的Abel判别法，并回答什么是Abel变换？（2）设绝对收敛，求证：收敛。八、求幂级数的收敛域及和函数。九、设对每一个自然数，在有界闭区间上连续，且函数序列在内一致收敛，又设在内连续，求证；（1）函数序列在内一致有界；（2）函数序列在内一致收敛。十、设在全平面内有连续的一阶偏导函数，且，求证：对任意的，。课程编号：MTH17002 北京理工大学2013-2014学年第二学期 2014.4.272013级数学专业数学分析期中试题一、（10分）（1）计算积分；（2）求极限。（实际上分母应为）二、（25分）（1）设在全平面内有连续的二阶偏导数。又设。求；（2）设。试判别点和点是否为的极值点；（3）求函数在点邻域内带Peano型余项的二阶Taylor公式，并利用所得公式求的近似值；（4）设在点的某邻域内连续，且。求证：在点可微，并求及的近似值。三、（10分）设在连续，且单调递减。求证：。四、（10分）设在内连续。求证：函数在第一象限平面区域内可微，并求。五、（10分）设有曲线弧及射线；（1）在C上任取一点，设P在L上的垂足为N，求N到坐标原点的距离s及N到P的距离r；（2）求弧C与射线L围成的图形绕L旋转所得旋转体的体积V。六、（15分）（1）设，求函数极限；（2）设对任意的T0，在内Riemann可积，且极限存在。求证：。七、（10分，原题有误）设在区域内定义，偏导函数在内存在且有界；又设对每个，极限存在，证明或否定以下结论：（1）对每个，二重极限存在；（2）对每个，累次极限与存在，且二者相等。八、（10分）设二元函数在全平面内具有一阶连续偏导函数，且，其中。求证：在全平面内有最小值。九、（10分）设在全平面内有连续的一阶偏导函数，且，求证：对任意的，。课程编号：MTH17002 北京理工大学2015-2016学年第二学期2015级数学与统计学院数学分析期中考题1.（12分）计算下列积分：（1）；（2）。2.（12分）证明：在有唯一的极小值点，但该极小值点不是在D的最小值点。3.（12分）设。证明：。4.（14分）设在二阶可导，其中，并且满足方程，求出函数。5.（10分）设。证明：若在连续，在D可微，且满足，则。6.（10分）设在连续且单调增加。证明：。7.（10分）设不是常数函数，且在可积。证明：存在L0，使得。8.（10分）设在连续。证明：。9.（10分）设在可积，且。证明：存在和常数，使得。课程编号：MTH17002 北京理工大学2013-2014学年第二学期 2014.5.302013级数学专业数学分析阶段测验三试题一、（1）设三元函数在全空间内有连续的偏导函数，又设是由方程确定的可微的隐函数，求；（2）设在全平面内有连续的二阶偏导数，。求二阶偏导数。（15分）二、设是由方程确定的满足的可微函数，求在点邻域内带Peano型余项的二阶Taylor公式。（10分）三、设在上的二重积分存在，且存在，求证：极限存在，并求该极限。（10分）四、叙述三元函数在点可微的定义，并证明：若在点的某邻域内有定义，偏导函数在内存在且在点连续，又设存在，则在点可微。（10分）五、（1）计算积分；（2）计算三重积分，其中积分区域是由曲面与围成的有界闭区域；（2）计算积分，其中积分区域是由柱面与平面围成的有界闭区域。（20分）六、设有曲线弧及半直线；求弧C与L围成的图形绕L旋转所得旋转体的体积V。（10分）七、设在连续，且单调递增。求证：。（10分）八、设曲线C是由曲面与平面的交线，求坐标原点到曲线C的最短距离和最长距离；假设前述最长距离在点取到，求曲线C在点的切线方程。（15分）九、设对任意的T0，在内Riemann可积，且极限存在；求证：。（10分）课程编号：MTH17002 北京理工大学2013-2014学年第二学期2013级数学分析期末试卷（A卷）一、（15分）（1）设，其中函数具有二阶连续偏导数。求；（2）设，求的所有可能的极值点，并判别是极大值点还是极小值点。二、（15分）（1）设是由方程确定的满足的可微函数，求在点邻域内带Peano型余项的二阶Taylor公式；（2）设函数有连续的二阶偏导数且满足方程。做变换，设，试求函数所满足的方程。三、（15分）（1）计算积分；（2）计算积分。其中积分区域是由柱面与平面围成的有界闭区域。四、（15分）（1）计算曲线积分。其中L是从A(1,0)到B(0,1)再到C(-1,0)点的折线段；（2）计算第二类曲面积分。其中是半椭球面，积分沿关于z轴的上侧。五、（10分）设在内连续且。，分别以和表示三维球形区域和二维圆形区域。又设。求证：对任意的t0，。六、（10分）设函数和在内连续，且极限与存在，求证：。七、（10分）设