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第一章导数及其应用 1 1 1变化率问题 问题1气球膨胀率 在吹气球的过程中 可发现 随着气球内空气容量的增加 气球的半径增加得越来越慢 从数学的角度 如何描述这种现象呢 气球的体积v 单位 l 与半径r 单位 dm 之间的函数关系是 若将半径r表示为体积v的函数 那么 当空气容量v从0l增加到1l 气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 当空气容量v从1l增加到2l 气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 随着气球体积逐渐变大 它的平均膨胀率逐渐变小 思考 当空气容量从v1增加到v2时 气球的平均膨胀率是多少 问题2高台跳水 在高台跳水运动中 运动员相对于水面的高度h 单位 m 与起跳后的时间t 单位 s 存在函数关系 如果用运动员在某段时间内的平均速度描述其运动状态 那么 在0 t 0 5这段时间里 在1 t 2这段时间里 平均速度不能反映他在这段时间里运动状 需要用瞬时速度描述运动状态 计算运动员在这段时间里的平均速度 并思考下面的问题 1 运动员在这段时间里是静止的吗 2 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗 探究 现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载 观察 3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度 变化 用曲线图表示为 注 3月18日为第一天 问题3 问题1 气温陡增 是一句生活用语 它的数学意义是什么 形与数两方面 问题2 如何量化 数学化 曲线上升的陡峭程度 1 曲线上bc之间一段几乎成了 直线 由此联想如何量化直线的倾斜程度 2 由点b上升到c点 必须考察yc yb的大小 但仅仅注意yc yb的大小能否精确量化bc段陡峭程度 为什么 在考察yc yb的同时必须考察xc xb 函数的本质在于一个量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一个量的改变 3 我们用比值近似地量化b c这一段曲线的陡峭程度 并称该比值为 32 34 上的平均变化率 4 分别计算气温在区间 1 32 32 34 的平均变化率 现在回答问题1 气温陡增 是一句生活用语 它的数学意义是什么 形与数两方面 定义 平均变化率 式子称为函数f x 从x1到x2的平均变化率 令 x x2 x1 y f x2 f x1 则 理解 1 式子中 x y的值可正 可负 但的 x值不能为0 y的值可以为02 若函数f x 为常函数时 y 03 变式 思考 观察函数f x 的图象平均变化率表示什么 o a b x y y f x x1 x2 f x1 f x2 x2 x1 f x2 f x1 直线ab的斜率 做两个题吧 1 已知函数f x x2 x的图象上的一点a 1 2 及临近一点b 1 x 2 y 则 y x a 3b 3 x x 2c 3 x 2d 3 x d 2 求y x2在x x0附近的平均变化率 2x0 x
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