高考数学理二轮ppt课件：等差数列和等比数列.ppt

专题四数列 推理与证明 第1讲等差数列和等比数列 主干知识梳理 热点分类突破 真题与押题 主干知识梳理 1 an与Sn的关系Sn a1 a2 an an 2 等差数列和等比数列 热点一等差数列 热点二等比数列 热点三等差数列 等比数列的综合应用 热点 分类突破 例1 1 等差数列 an 的前n项和为Sn 若a2 a4 a6 12 则S7的值是 A 21B 24C 28D 7 热点一等差数列 思维启迪利用a1 a7 2a4建立S7和已知条件的联系 解析由题意可知 a2 a6 2a4 则3a4 12 a4 4 C 2 设等差数列 an 的前n项和为Sn 若 1 a3 1 0 a6 3 则S9的取值范围是 思维启迪将a3 a6的范围整体代入 解析S9 9a1 36d 3 a1 2d 6 a1 5d 又 1 a3 1 0 a6 3 3 3 a1 2d 3 0 6 a1 5d 18 故 3 S9 21 3 21 变式训练1 1 已知等差数列 an 中 a7 a9 16 S11 则a12的值是 A 15B 30C 31D 64 解析因为a8是a7 a9的等差中项 所以2a8 a7 a9 16 a8 8 再由等差数列前n项和的计算公式可得 所以a12 a8 4d 15 故选A 答案A 2 在等差数列 an 中 a50且a6 a5 Sn是数列的前n项的和 则下列说法正确的是 A S1 S2 S3均小于0 S4 S5 S6 均大于0B S1 S2 S5均小于0 S6 S7 均大于0C S1 S2 S9均小于0 S10 S11 均大于0D S1 S2 S11均小于0 S12 S13 均大于0 解析由题意可知a6 a5 0 答案C 例2 1 2014 安徽 数列 an 是等差数列 若a1 1 a3 3 a5 5构成公比为q的等比数列 则q 热点二等比数列 思维启迪列方程求出d 代入q即可 解析设等差数列的公差为d 则a3 a1 2d a5 a1 4d a1 2d 3 2 a1 1 a1 4d 5 解得d 1 1 思维启迪求出a1 q 代入化简 答案D 变式训练2 1 已知各项不为0的等差数列 an 满足a4 2a 3a8 0 数列 bn 是等比数列 且b7 a7 则b2b8b11等于 A 1B 2C 4D 8 D 2 在等比数列 an 中 a1 an 34 a2 an 1 64 且前n项和Sn 62 则项数n等于 A 4B 5C 6D 7 解析设等比数列 an 的公比为q 由a2an 1 a1an 64 又a1 an 34 解得a1 2 an 32或a1 32 an 2 又an a1qn 1 所以2 2n 1 2n 32 解得n 5 综上 项数n等于5 故选B 答案B 例3已知等差数列 an 的公差为 1 且a2 a7 a12 6 1 求数列 an 的通项公式an与前n项和Sn 热点三等差数列 等比数列的综合应用 思维启迪利用方程思想求出a1 代入公式求出an和Sn 解由a2 a7 a12 6得a7 2 a1 4 2 将数列 an 的前4项抽去其中一项后 剩下三项按原来顺序恰为等比数列 bn 的前3项 记 bn 的前n项和为Tn 若存在m N 使对任意n N 总有Sn Tm 恒成立 求实数 的取值范围 思维启迪将恒成立问题通过分离法转化为最值 解由题意知b1 4 b2 2 b3 1 设等比数列 bn 的公比为q Tm 为递增数列 得4 Tm 8 故 Sn max S4 S5 10 若存在m N 使对任意n N 总有Sn6 即实数 的取值范围为 6 变式训练3 已知数列 an 前n项和为Sn 首项为a1 且 an Sn成等差数列 1 求数列 an 的通项公式 证明bn log2a2n 1 log2a2n 3 log222n 1 2 log222n 3 2 2n 1 2n 1 1 在等差 比 数列中 a1 d q n an Sn五个量中知道其中任意三个 就可以求出其他两个 解这类问题时 一般是转化为首项a1和公差d 公比q 这两个基本量的有关运算 2 等差 等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现 是解决等差 等比数列问题既快捷又方便的工具 应有意识地去应用 但在应用性质时要注意性质的前提条件 有时需要进行适当变形 本讲规律总结 3 等差 等比数列的单调性 1 等差数列的单调性d 0 an 为递增数列 Sn有最小值 d 0 an 为递减数列 Sn有最大值 d 0 an 为常数列 2 等比数列的单调性 4 常用结论 1 若 an bn 均是等差数列 Sn是 an 的前n项和 则 man kbn 仍为等差数列 其中m k为常数 2 若 an bn 均是等比数列 则 can c 0 an an bn manbn m为常数 a 仍为等比数列 3 公比不为1的等比数列 其相邻两项的差也依次成等比数列 且公比不变 即a2 a1 a3 a2 a4 a3 成等比数列 且公比为 q 4 等比数列 q 1 中连续k项的和成等比数列 即Sk S2k Sk S3k S2k 成等比数列 其公差为qk 等差数列中连续k项的和成等差数列 即Sk S2k Sk S3k S2k 成等差数列 公差为k2d 5 易错提醒 1 应用关系式an 时 一定要注意分n 1 n 2两种情况 在求出结果后 看看这两种情况能否整合在一起 2 三个数a b c成等差数列的充要条件是b 但三个数a b c成等比数列的充要条件是b2 ac 真题感悟 押题精练 真题与押题 1 2 真题感悟 1 2014 大纲全国 等比数列 an 中 a4 2 a5 5 则数列 lgan 的前8项和等于 A 6B 5C 4D 3 解析数列 lgan 的前8项和S8 lga1 lga2 lga8 lg a1 a2 a8 lg a1 a8 4 lg a4 a5 4 lg 2 5 4 4 C 真题感悟 2 1 2 2014 北京 若等差数列 an 满足a7 a8 a9 0 a7 a10 0 则当n 时 an 的前n项和最大 解析 a7 a8 a9 3a8 0 a8 0 a7 a10 a8 a9 0 a9 a8 0 数列的前8项和最大 即n 8 8 押题精练 1 2 3 1 已知等比数列 an 的前n项和为Sn 则下列一定成立的是 A 若a3 0 则a20130 则a20140 则a2013 0D 若a4 0 则a2014 0 解析因为a3 a1q2 a2013 a1q2012 而q2与q2012均为正数 若a3 0 则a1 0 所以a2013 0 故选C C 押题精练 1 2 3 2 已知数列 an 是首项为a 公差为1的等差数列 bn 若对任意的n N 都有bn b8成立 则实数a的取值范围为 解析an a n 1 1 n a 1 押题精练 1 2 3 因为对任意的n N 都有bn b8成立 答案 8 7 押题精练 1 2 3 3 设各项均为正数的数列 an 的前n项和为Sn 满足 4Sn 4n 1 n N 且a2 a5 a14恰好是等比数列 bn 的前三项 1 求数列 an bn 的通项公式 押题精练 1 2 3 an 0 an 1 an 2 当n 2时 an 是公差d 2的等差数列 a2 a5 a14构成等比数列 a2 a1 3 1 2 an 是首项a1 1 公差d 2的等差数列 押题精练 1 2 3 等差数列 an 的通项公式为an 2n 1 等