三角恒等变换与求值.doc

三角恒等变换与求值【热点聚焦】三角函数式的恒等变换与求值是高考考查的重点内容之一 通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍【基础知识】1.任意角的三角函数：设是一个任意角，的终边上任意一点P（x，y）与原点的距离是r（r=0），则sin=，cos=，tan=.上述三个比值不随点P在终边上的位置改变而改变.2.同角三角函数关系式：sin2+cos2=1；=tan；tancot=1.3.诱导公式：+2k（kZ）、2的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号. 即“函数名不变，符号看象限！”另外再加上：sin（）=cos，cos（）=sin.所以诱导公式即与之间函数值关系（kZ），其规律是“奇变偶不变，符号看象限”。4两角和与差的三角函数 5倍角公式.6.几个常用的派生公式（1）sincossincos（2）asinbcossin（）（其中）（3）asinbcoscos（1）（其中）（辅助角公式）（4）cos2；.（降幂公式）7 求值问题的基本类型 给角求值，给值求值，给式求值，求函数式的最值或值域，化简求值 8 技巧与方法 要寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，熟练准确地应用公式 注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用 对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法 求最值问题，常用配方法、换元法来解决【课前训练】1已知(,)，sin=,则tan()等于（）A. B.7 C. D.72若的内角满足，则（）A. B C D3 等式sin(+)=sin2成立是、成等差数列的( )A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件4已知，则 。5如果，且是第四象限的角，那么 【试题精析】【例1】【思路点拨】本题考查三角公式的记忆及熟练运用三角公式计算求值【解后反思】方法不拘泥,要注意灵活运用,在求三角的问题中,要注意这样的口决“三看”即(1)看角,把角尽量向特殊角或可计算角转化，(2)看名称,把一道等式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切，(3)看式子,看式子是否满足三角函数的公式.如果满足直接使用,如果不满足转化一下角或转换一下名称,就可以使用.【例2】已知（）求的值；（）求的值。【例3】已知，求和的值【例4】已知函数.(I)求的最小正周期；(II)求的的最大值和最小值；(III)若，求的值.【例5】已知a=（cosx，sinx），b=（cos，sin），x0，.（1）求ab及|a+b|；（2）若f（x）=ab2|a+b|的最小值是，求的值.【例6】已知向量，求的值.【针对练习】1函数ysin2xcos2x的最小正周期是（）（A）2 （B）4 （C） （D）2若f（tanx）=sin2x，则f（1）的值是A.sin2B.1C.D.13已知f（x）=，当（，）时，f（sin2）f（sin2）可化简为A.2sinB.2cosC.2sinD.2cos4函数y=sin2+4sinx,x的值域是（）(A), (B), (C) (D)5若，,，则的值等于（A） （B） （C） （D）6已知，sin()= sin则cos=_.7函数的最小正周期是_。8已知则.9已知是第一象限的角，且，求的值。10已知.参考答案【课前训练】1答案：A解析：由则，=，选A.2答案：A解析：由sin2A2sinAcosA0，可知A这锐角，所以sinAcosA0，又，故选A3答案：A解析：若等式sin(+)=sin2成立，则+=k+(1)k2，此时、不一定成等差数列，若、成等差数列，则2=+，等式sin(+)=sin2成立，所以“等式sin(+)=sin2成立”是“、成等差数列”的必要而不充分条件。选A4答案：2解析：由，cosa，所以2.5答案：解析：已知【试题精析】【例1】【解】【例2】【解】()由，得，所以.（），【例3】【解】解法一：由得则因为所以解法二：由得解得或由已知故舍去得因此，那么且故【例4】【解】（）的最小正周期为;（）的最大值为和最小值；（）因为，即,即 【例5】【解】（1）ab=cosxcossinxsin=cos2x.|a+b|=2=2cosx（x0，）.（2）f（x）=cos2x4cosx=2（cosx）2122.x0，cosx0，1.当0，cosx=0时，f（x）min=1，矛盾.当01，cosx=时，f（x）min=122，由122=，得=.当1，cosx=1时，f（x）min=14，由14=，得=1，矛盾.综上，=为所求.【例6】解法一： 由已知，得，又 所以.。题你v 解法二： 由已知，得, 【针对练习】1答案：D解析: 所以最小正周期为,故选D2答案：B解析：f（1）=ftan（）=sin=1.3答案：D解析：f（sin2）f（sin2）=sincossin+cos.（，），1sincos0.cossin0，cos+sin0.原式=cossin+cos+sin=2cos.4答案C解析：，故选择C。【名师点拔】本题是求有关三角函数的值域的一种通法，即将函数化为或的模式。5解：由，则，又 ，所以，解得，所以 ，故选B6答案：解析： ， ，则=7.答案：解析：函数=sin2x，它的最小正周期是.8.答案： 解析：由已知条件得.即.解得.由0知，从而.9解：=由已知