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椭圆焦半径公式的证明及巧用2008年08月31日 星期日 21:56命题：证明：说明：巧用焦半径公式能妙解许多问题，下面举例说明。一、用于求离心率例分析：所以，所以。二、用于求椭圆离心率的取值范围例分析：由得故，即，又。所以。三、用于求焦半径的取值范围例分析：所以。四、用于求两焦半径之积例分析：由知，所以的最小值为，最大值为。五、用于求三角形的面积例分析：。由余弦定理得。解得所以六、用于求点的坐标例分析：及得，解得所以。七、用于证明定值问题例分析：化简得所以为定值。八、用于求角的大小例分析：所以所以。九、用于求线段的比。例分析：由两式相减并化简得。所以。所以。令，则，故所以，所以。如图 设的坐标为，椭圆与双曲线的离心率分别为，则，消去得，。不妨设，由成等差数列得，即。 易知易知 的最值不妨设为椭圆的左焦点，而，则。故。 设的坐标为，则 如图，连，则，由焦半径公式得，即。 若椭圆的焦点在轴上，则有。我们把椭圆上的点到两焦点的距离称为焦半径，而（或）、（或）称为焦半径公式。如图1，椭圆的准线方程为和。由椭圆的第二定义得，化简即得1如图为椭圆的两个焦点，以线段为直径的圆交椭圆于四点，顺次连结这四点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则离心率。2已知为椭圆的焦点，若椭圆上恒存在点，使，求离心率的取值范围。3若是椭圆上的点，为椭圆的焦点，求的取值范围。4若为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，求的最值。5 若是椭圆上一点，为椭圆的左、右焦点，且，求的面积S。 。6 若为椭圆上的点，为椭圆的焦点，且，则的横坐标为_。 由， ，7已知为椭圆上两点，为椭圆的顶点，F为焦点，若成等差数列，求证：为定值。 ，8 如图3，设椭圆与双曲线有公共焦点，为其交点，求。9过椭圆的左焦点作与长轴不垂直的弦的垂直平分线交轴于，则。4，设的坐标分别为，AB的中点为，则。
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