2018_2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程学案.docx

231双曲线及其标准方程1了解双曲线的定义，几何图形和标准方程的推导过程2掌握双曲线的标准方程3会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题1双曲线的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹(2)符号表示：|MF1|MF2|2a(常数)(02a0，b0且ab()答案：(1)(2)(3) 已知双曲线1，则双曲线的焦点坐标为()A(，0)，(，0) B(5，0)，(5，0)C(0，5)，(0，5) D(0，)，(0，)答案：B 双曲线的两焦点坐标是F1(3，0)，F2(3，0)，2b4，则双曲线的标准方程是()A1 B1C1 D1答案：A 设双曲线1的右支上一点P到左焦点F1的距离是15，则P到右焦点F2的距离是_答案：7探究点1求双曲线的标准方程根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)半焦距为，经过点(5，2)，且焦点在x轴上；(2)过点P，Q，且焦点在坐标轴上【解】(1)因为半焦距为，且焦点在x轴上，则可设双曲线的标准方程为1(a26)因为双曲线经过点(5，2)，所以1，解得a25或a230(舍去)于是双曲线的标准方程为y21(2)设双曲线的方程为mx2ny21(mn0)，因为P，Q两点在双曲线上，所以解得所以所求双曲线的方程为x21，即1求双曲线的标准方程的方法(1)求双曲线的标准方程与求椭圆标准方程类似，也是“先定型，后定量”，利用待定系数法求解(2)当焦点位置不确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论(3)当已知双曲线经过两点，求双曲线的标准方程时，可把双曲线方程设成mx2ny21(mn0)的形式求解 求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)a2，经过点A(2，5)，焦点在y轴上；(2)与椭圆1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4解：(1)因为双曲线的焦点在y轴上，所以可设双曲线的标准方程为1(a0，b0)由题意知，a2，且点A(2，5)在双曲线上，所以解得a220，b216故所求双曲线的标准方程为1(2)椭圆1的两个焦点为F1(0，3)，F2(0，3)，双曲线与椭圆的一个交点为(，4)或(，4)设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则解得故所求双曲线的标准方程为1探究点2双曲线定义的应用设P为双曲线x21上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|PF2|32，求PF1F2的面积【解】由已知得2a2，又由双曲线的定义得|PF1|PF2|2，因为|PF1|PF2|32，所以|PF1|6，|PF2|4又|F1F2|2c2，由余弦定理，得cosF1PF20，所以F1PF2为直角三角形SPF1F264121变条件若将“|PF1|PF2|32”改为“|PF1|PF2|24”，求PF1F2的面积解：由双曲线方程为x21，可知a1，b2，c因为|PF1|PF2|24，则cosF1PF20，所以PF1F2为直角三角形所以SPF1F2|PF1|PF2|122变条件本例中将条件“|PF1|PF2|32”改为“F1PF2120”，求PF1F2的面积解：由已知得2a2，c，又由双曲线定义得|PF1|PF2|2，在PF1F2中，由余弦定理可得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cosF1PF2|F1F2|2(2c)2(2)252，由可得|PF1|PF2|16所以SPF1F2|PF1|PF2|sinF1PF2164求双曲线中焦点三角形面积的方法(1)方法一：根据双曲线的定义求出|PF1|PF2|2a；利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；通过配方，利用整体的思想求出|PF1|PF2|的值；利用公式SPF1F2|PF1|PF2|sinF1PF2求得面积(2)方法二：利用公式SPF1F2|F1F2|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积 1已知双曲线x2y21，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1PF2，则|PF1|PF2|的值为_解析：不妨设点P在双曲线的右支上，因为PF1PF2，所以|F1F2|2|PF1|2|PF2|2(2)2，又|PF1|PF2|2，所以(|PF1|PF2|)24，可得2|PF1|PF2|4，则(|PF1|PF2|)2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|12，所以|PF1|PF2|2答案：22F1、F2是双曲线1的两个焦点，点P在双曲线上且满足|PF1|PF2|32，则F1PF2_解析：设F1PF2，|PF1|r1，|PF2|r2在F1PF2中，由余弦定理，得(2c)2rr2r1r2cos ，所以cos 0所以90答案：90探究点3与双曲线有关的轨迹问题如图，在ABC中，已知|AB|4，且三个内角A，B，C满足2sin Asin C2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程【解】以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A(2，0)，B(2，0)由正弦定理得sin A，sin B，sin C(R为ABC的外接圆半径)因为2sin Asin C2sin B，所以2|BC|AB|2|AC|，从而有|AC|BC|AB|2|AB|由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)因为a，c2，所以b2c2a26，即所求轨迹方程为1(x)定义法求双曲线方程的注意点(1)注意条件中是到定点距离之差，还是差的绝对值(2)当差的绝对值为常数时要注意常数与两定点间距离的大小问题(3)求出方程后要注意表示满足方程的解的坐标的点是否都在所给的曲线上 已知圆C1：(x3)2y29，圆C2：(x3)2y21(1)若动圆M与圆C1外切，且与圆C2内切，求动圆圆心M的轨迹方程；(2)若动圆M同时与圆C1及圆C2外切，求动圆圆心M的轨迹方程解：(1)设动圆半径为R，因为圆M与圆C1外切，且与圆C2内切，所以|MC1|R3，|MC2|R1，所以|MC1|MC2|4所以点M(x，y)的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的右支，且有a2，c3，b2c2a25，所以所求轨迹方程为1(x2)(2)如图，设动圆半径为R，根据两圆外切的条件，得|MC2|R1，|MC1|R3，则|MC1|MC2|2这表明动点M与两定点C1，C2的距离的差是常数2根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的右支(点M与C1的距离大，与C2的距离小)，这里a1，c3，则b28，设点M的坐标为(x，y)，则其轨迹方程为x21(x1)1已知双曲线的一个焦点F1(0，5)，且过点(0，4)，则该双曲线的标准方程为()A1 B1C1 D1解析：选B由已知得，c5，a4，所以b3所以双曲线的标准方程为12若kR，方程1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围是()A3k2Bk3Ck3或k2 Dk2解析：选A由题意可知解得3k2，选择A3设m是常数，若点F(0，5)是双曲线1的一个焦点，则m_解析：由点F(0，5)可知该双曲线1的焦点落在y轴上，所以m0，且m952，解得m16答案：164求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)已知焦点F1(0，6)，F2(0，6)，双曲线上的一点P到F1，F2的距离的差的绝对值等于8；(2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点(3，2)解：(1)因为双曲线的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为1(a0，b0)因为2a8，2c12，所以a4，c6，所以b2624220所以所求双曲线的标准方程为1(2)因为焦点相同，所以设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，所以c216420，即a2b220因为双曲线经过点(3，2)，所以1由得a212，b28，所以双曲线的标准方程为1 知识结构深化拓展1对双曲线定义的理解设M(x，y)为双曲线1(a0，b0)上的任意一点，左、右焦点分别为F1，F2若点M在双曲线的右支上，则|MF1|MF2|，|MF1|MF2|2a；若点M在双曲线的左支上，则|MF1|MF2|，|MF1|MF2|2a因此得到|MF1|MF2|2a，这与椭圆的定义中|MF1|MF2|2a是不同的注意双曲线定义中|MF1|MF2|2a(02a0，b0)有公共焦点的双曲线的方程为1(a0，b0)；与双曲线1(a0，b0)有公共焦点的双曲线的方程为1(a0，b0)学生用书P113(单独成册)A基础达标1已知双曲线方程为x22y21，则它的右焦点坐标为()A BC D(，0)解析：选C将双曲线方程化成标准方程为1，所以a21，b2，所以c，故右焦点坐标为2以椭圆1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是()Ay21 By21C1 D1解析：选B由题意知，双曲线的焦点在y轴上，且a1，c2，所以b23，所以双曲线的方程为y213椭圆1与双曲线1有相同的焦点，则a的值是()A B1或2C1或 D1解析：选D依题意：解得a14已知点A(0，4)，B(0，4)，|PA|PB|2a，当a分别为3，4时，点P的轨迹为()A双曲线和一条直线B双曲线和两条射线C双曲线一支和一条直线D双曲线一支和一条射线解析：选D当a3时，2a68，又|PA|PB|2a，故点P的轨迹是双曲线的一支；当a4时，2a8，又|PA|PB|2a，故点P的轨迹是一条射线5已知平面内两定点A(5，0)，B(5，0)，动点M满足|MA|MB|6，则点M的轨迹方程是()A1 B1(x4)C1 D1(x3)解析：选D由|MA|MB|6，且6|AB|10，得a3，c5，b2c2a216故其轨迹为以A，B为焦点的双曲线的右支所以方程为1(x3)6若点P到点(0，3)与到点(0，3)的距离之差为2，则点P的轨迹方程为_解析：由题意并结合双曲线的定义，可知点P的轨迹方程为双曲线的上支，且c3，2a2，则a1，b2918，所以点P的轨迹方程为y21(y1)答案：y21(y1)7在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线1上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为_解析：双曲线右焦点为(4，0)，将x3代入1，得y所以点M的坐标为(3，)或(3，)，所以点M到双曲线右焦点的距离为4答案：48设F1，F2是双曲线x21的两个焦点，P是双曲线上一点，且3|PF1|4|PF2|，则PF1F2的面积为_解析：由题意知|PF1|PF2|2a2，所以|PF2|PF2|2，所以|PF2|6，|PF1|8，又|F1F2|10，所以|PF2|2|PF1|2|F1F2|2，所以PF1F2为直角三角形，且F1PF290，所以SPF1F224答案：249已知1，当k为何值时：(1)方程表示双曲线；(2)方程表示焦点在x轴上的双曲线解：(1)原方程可变形为1要使方程表示双曲线，必须满足(|k|3)(1k)0，即或，解得k3或1k3(2)若方程表示焦点在x轴上的双曲线，则，解得1k310焦点在x轴上的双曲线过点P(4，3)，且点Q(0，5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程解：因为双曲线焦点在x轴上，所以设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，F1(c，0)，F2(c，0)因为双曲线过点P(4，3)，所以1又因为点Q(0，5)与两焦点的连线互相垂直，所以0，即c2250解得c225又c2a2b2，所以由可解得a216或a250(舍去)所以b29，所以所求的双曲线的标准方程是1B能力提升11设F1，F2是双曲线y21的两个焦点，点P在双曲线上，当F1PF2的面积为2时，的值为()A2 B3C4 D6解析：选B设点P(x0，y0)，依题意得，|F1F2|24，SPF1F2|F1F2|y0|2|y0|2，所以|y0|1又y1，所以x3(y1)6所以(2x0，y0)(2x0，y0)xy4312已知双曲线的中心在坐标原点，且一个焦点为F1(，0)，点P在该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0，2)，则该双曲线的标准方程为()Ay21 Bx21C1 D1解析：选B设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则c，即a2b25设P(x，y)，由线段PF1的中点坐标为(0，2)，可知，得，即点P的坐标为(，4)，代入双曲线方程，得1联立，得a21，b24，即双曲线的标准方程为x21故选B13求与椭圆x24y28有公共焦点的双曲线的方程，使得以此双曲线与椭圆的四个交点为顶点的四边形的面积最大解：椭圆的方程可化为1，所以c2826因为椭圆与双曲线有公共焦点，所以在双曲线中，a2b2c26，即b26a2设双曲线的方程为1(0a26)由解得由椭圆与双曲线的对称性可知四个交点构成一个矩形，其面积S4|xy|4 8，当且仅当a26a2，即a23，b2633时，取等号所以双曲线的方程是114(选做题)已